tech-主动滤波器(7)：频率变换(2)

在上一节中，我们讨论了频率变换的工程直觉。简而言之，频率变换的核心准则只有一条：

零频点应映射到新的零点，无穷频点应映射到新的极点。

基于这一原则，我们通过直觉推导了从低通滤波器到其他类型滤波器的映射关系。然而，这些推导仅能得到“成正比”的关系，属于必要但不充分条件。

本节将进一步探讨纯LC电路的实现特性，并给出充分性证明。

特勒根定理（Tellegen’s Theorem）

在深入分析任何网络之前，我们先引入特勒根定理，为后续推导提供新的数学工具。

考虑如下图所示的网络，底部节点接地，各节点已标注电压与电流。每条支路可包含任意被动或主动元件，且可能为线性或非线性。

我们约定如下：

电流方向：流入节点为正，流出为负。
电压极性：高电位端为正，低电位端为负。

首先，我们可在节点1、2、3建立KCL方程，或用矩阵形式表示：

$$\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5 \\ i_6
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} $$

记为 $\textbf{A}\textbf{I} = \textbf{0}$。

这一关系总是成立，否则电流将无故产生或消失，违背物理定律。$\textbf{A}$ 的每一行对应一个节点的KCL，每一列对应一条支路的电流方向。

定义支路电压（Branch Voltage）为第n支路的电压，例如支路1的电压为 $V_1 - V_2$。构建支路电压向量，满足：

$$ \textbf{V}_B = - \textbf{A}^T \textbf{V} $$

以本例验证：

$$\textbf{V}_B=\begin{bmatrix}
V_1 - V_2 \\
-V_2 + V_3 \\
-V_2 \\
-V_1 \\
V_1 - V_3 \\
-V_3
\end{bmatrix} = -\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
V_1 \\
V_2 \\
V_3 \end{bmatrix}
= -A^T V $$

由能量守恒，有：

$$ \textbf{V}_B^T \textbf{I} = 0 $$

或展开为：

$$ \sum_k v_{bk}i_k = 0 $$

证明如下：

$$
\begin{aligned}
\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{I} &= (-A^T \textbf{V}_B)^T \cdot \textbf{I} \\
&= -\textbf{V}_B^T A \cdot \textbf{I} \\
&= -\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{0} \\
&= 0
\end{aligned}
$$

上述推导基于KCL和KVL，并未假设元件类型或线性特性。特勒根定理进一步指出，即使支路电流和支路电压分别对应不同网络的元件，这一广义能量守恒关系依然成立。

考虑如下两个网络，A与B实现方式完全不同，A可能由电容、电感组成，B则可能包含主动源或其他元件。

同样有：

$$
\begin{aligned}
\sum_k{v_{b1k}i_{2k}} &= - [A^T \textbf{V}_1]^T \textbf{I}_2 \\
&= - \textbf{V}_1^T A \cdot \textbf{I}_2 \\
&= - \textbf{V}_1^T \cdot \textbf{0} \\
&= 0
\end{aligned}
$$

这一结论极具普适性，表明只要网络结构相同，无论元件如何分布，广义能量守恒都成立。该定理适用于任意线性或非线性电路。

对于感性元件，功率定义为 $P = VI^*$，因此可得：

$$\textbf{V}^T_B \textbf{I}^* = \sum_k v_{bk} i_k^* = 0 $$

LC网络的极点与零点

考虑一个仅由LC元件组成的无损耗网络：

由能量守恒，有：

$$
\begin{aligned}
|I_{1}(s)|^2 Z(s) &=
\sum_{\text{All L and C}} v_k(s) i_k^*(s) \\
&= \sum_{\text{All L}} s L_k i_k(s) i_k^*(s) + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} i_k(s) i_k^*(s) \\
&= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s C_k} |I_k(s)|^2
\end{aligned}
$$

令 $I_1(s) = 1$，则

$$
\begin{aligned}
Z(s) &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} |I_k(s)|^2 \\
&= \sum_{\text{All L}} s P_1 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s} P_2
\end{aligned}
$$

其中 $C$, $L$, $|I|^2$ 均为正实数，因此 $P_1, P_2 > 0$。

由此可得两点结论：