四方喫茶舘

Feedback Linearization, Part 3

Sun, 14 Jun 2026 14:51:26 +0800

Feedback Linearization Theorem

We talked about feedback linearization theorem last time. As a recap:

Feedback Linearization Theorem: Nonlinear system $\Sigma: \dot{x} = f(x) + g(x)u$ is feedback linearizable if:

$[g(x), ad_fg(x), \ldots, ad_f^{n-1}g(x)]$ has rank $n$ $\forall x$.
$\Delta = \text{span}{g(x), ad_fg(x), \ldots, ad_f^{n-2}g(x)}$ is involutive.

The first condition guarantees controllability, while the second condition guarantees that we can always find an output $y = h(x)$ that has relative degree equal to the system degree, according to Frobenius theorem. Actually, this is also just observability.

We now look at some examples.

Consider the system

$$ \dot{x} = \begin{pmatrix} a \sin x_2 \\ -x_1^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}u $$

We would like to ask 2 questions:

Is the system feedback linearizable?
If so, how shall we find the output $y = h(x)$?

To answer the first question, we first validate if the first condition is met from feedback linearization theorem.

$$ g(x) = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ad_fg = [f, g] = \begin{pmatrix} -a \cos x_2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Therefore,

$$ [g(x), ad_fg(x)] = \begin{pmatrix}0 & -a \cos x_2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

This new matrix is always rank 2, for all $x$, except when $\cos x_2 = 0$. The distribution $\Delta = \text{span}{g(x) }$ has only one element, so it’s trivially involutive. Therefore we conclude the system is feedback linearizable.

Now, how shall we find the output $y$? We would like to find an output $y = h(x)$ such that it has relative degree of $2$, i.e.:

$$\begin{cases} \begin{align} \frac{\partial h}{\partial x} g(x) &= 0 \\ \frac{\partial L_f h}{\partial x} g(x) &\neq 0 \end{align} \end{cases} $$

The first PDE will give us

$$ \frac{\partial h}{\partial x_2} = 0 $$

meaning $h(x)$ shall be independent of $x_2$. We sub this fact into the second PDE:

$$ \frac{\partial L_f h}{\partial x} g(x) = \frac{\partial L_fh}{\partial x_2} = \frac{\partial h}{\partial x_1}a \cos x_2 \neq 0$$

Therefore, we can pick a few candidate $h(x)$, for example: $x_1$, $x_1^5$, and so forth. If we pick $h(x) = x_1$, then we can linearize the system as

$$ \ddot{y} = v$$

where the state and control transform is given by

$$ \begin{cases} \begin{align} y &= x_1 \\ \dot{y} &= a\sin x_2 \\ u &= (x_1^2 + v) \frac{1}{a\cos x_2} \end{align} \end{cases} $$

The audience is encouraged to verify the linearization by substituting the transforms back into the original system.

As a result, we are able to design a linear control between $y$ and $v$ by LQR or pole placement, and we utilize the state and control transform to convert the system back into the original nonlinear system.

MIMO Feedback Linearization

We now move forward to a more complex and generalized system: the multi-input multi-output nonlinear system. For the sake of simplicity, we limit the MIMO to be the square case (meaning we have the same number of inputs and outputs).

If we have a square MIMO system that looks like:

$$ \begin{align} \displaystyle \Sigma: \dot{x} &= f(x) + \Sigma_{i=1}^n g_i(x) u_i \quad x \in \mathbb{R}^n \\ &= g(x)u \\ y &= \begin{pmatrix} h_1(x) \\ \vdots \\ h_n(x) \end{pmatrix} \end{align} $$

where

$$ \begin{align} g(x) &= \begin{pmatrix} g_1(x) & \cdots & g_n(x) \end{pmatrix} \\ u &= \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n\end{pmatrix} \end{align} $$

The question is now, how shall we define the relative degree of the MIMO system?

Vector Relative Degree

We introduce the concept of vector relative degree in this case. (Definition) Vector Relative Degree: Nonlinear system $\Sigma$ has relative degree $(r_1, r_2, \ldots, r_n)$ at $x_0$ if:

For all $1 \le j \le n, 1 \le i \le n, 0 \le k \le r_i - 2$, $$ L_{g_j}L_f^kh_i = 0, \quad \forall x \text{ in a neighborhood of } x_0 $$
The $n \times n$ matrix, also known as the Decoupling Matrix, $$ A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{r_1-1}h_1 & \cdots & L_{g_n}L_f^{r_n-1}h_n \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ L_{g_1}L_f^{r_n-1}h_1 & \cdots & L_{g_n}L_f^{r_n-1}h_n \end{pmatrix} $$ Then, for the i-th output, we can always express it in terms of $$ \begin{align} y_i^{(r_i)} &= L_f^{r_i} h_i(x)+ L_{g_1}L_f^{r_i-1}h_i(x)u_1 + \cdots + L_{g_n}L_f^{r_i-1}h_i(x)u_n \\ &= L_f^{r_i} h_i(x) + \displaystyle \Sigma_j L_{g_j}L_f^{r_i-1}h_i(x)u_j \end{align} $$

If, at least one $L_{g_j}L_f^{r_i-1}h_i(x)$ is non-zero, then the system is feedback linearizable. Therefore, we can also do IO linearization:

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} y_1^{(r_1)} \\ \vdots \\ y_n^{(r_n)} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} L_f^{r_1}h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_n}h_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} L_f^{r_1} h_1(x) & \cdots & L_{g_n}L_f^{r_1-1}h_1(x) \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ L_f^{r_n} h_n(x) & \cdots & L_{g_n}L_f^{r_n-1}h_n(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \\ &= L_fh(x) + A(x) u \end{align} $$

where, notice that we implicitly extended the definition of Lie derivative to its vector form. And the control can be transformed as:

$$ u(x) = A^{-1}(x)(L_fh(x)+ v) \rightarrow \begin{pmatrix} y_1^{(r_1)} \\ \vdots \\ y_n^{(r_n)} \end{pmatrix} = v $$

MIMO Feedback Linearization Theorem

Now we state the feedback linearization theorem in MIMO form: Theorem(MIMO Feedback Linearization): A MIMO nonlinear system $\Sigma$ is:

feedback linearizable, if its vector relative degree $r = (r_1, r_2, \ldots, r_n)$ satisfies such that $$ r_1 + \ldots + r_n = \displaystyle \Sigma_{i=1}^n r_i \ge n$$
If the sum $$ r_1 + \ldots + r_n = \displaystyle \Sigma_{i=1}^n r_i < n$$ , then the system can only be IO linearizable, where we have to rely on the internal zero dynamic to be also stable in order for the full system to be stable.

Examples

Consider a motion of a wheeled vehicle moving in a horizontal plane. The kinematics of the vehicle are given by the differential equations:

$$ \begin{align} \dot{x} &= V \cos \theta \\ \dot{y} &= V \sin \theta \\ \dot{\theta} &= \omega \end{align} $$

Here $(x, y)$ is the location in the horizontal 2D plane, $V$ is the vehicle speed, and $\theta$ denotes the vehicle heading angle, and $\omega$ denotes the vehicle turning rate.

Ill-defined Vector Relative Degree

If we consider the vehicle speed $V$ and the vehicle turning range $\omega$ as two control inputs, and the vehicle locations in the plane as two outputs, the vector relative degree is not well-defined. We notice the system now looks like:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \theta \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}u_1 \cos \theta \\ u_1 \sin \theta \\ u_2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} $$

If we take the first time derivative of the outputs

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \cos \theta \\ u_1 \sin \theta \end{pmatrix} \end{align} $$

Only the first control input shows up, which is a red flag. If we consider the coupling matrix

$$ A(x) = \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 \end{pmatrix} $$

is actually singular. Therefore the relative degree in this case is not well defined.

Well-defined Vector Relative Degree

If we now consider the vehicle acceleration and the vehicle turning rate as the two control inputs, and we still use the vehicle position as the two outputs, this time the vehicle relative degree is actually well-defined, so long as $V > 0$ for this 4-th order nonlinear system. We have the original system expressed as:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \theta \\ V \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} V \cos \theta \\ V \sin \theta \\ u_2 \\ u_1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} $$

If we take the first time derivative of the output vector:

$$ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V \cos \theta \\ V \sin \theta \end{pmatrix} $$

We realize that both inputs don’t explicitly show up, therefore we take another round of differentiation:

$$ \frac{d^2}{dt^2}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \cos \theta - u_2 V \sin \theta \\ u_1 \sin \theta + u_2 V \cos \theta \end{pmatrix} $$

Now, both inputs show up which is a good sign. We verify this by considering the decoupling matrix:

$$ A(x) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -V \sin \theta \\ \sin \theta & V \cos \theta \end{pmatrix} $$

And the determinant is given by

$$ \text{det}(A(x)) = V $$

We now realize that the decoupling matrix is non-singular, as long as the speed is non-zero. Therefore the vector relative degree is well-defined.

Control Law

Given that $r_1 = r_2 = 2$ in this case, and we satisfy $r_1 + r_2 = 4 = n$, we can find a state transformation and a control transformation so that the original system can be feedback linearized. We consider the control transformation as

$$ \begin{pmatrix} \xi_1 = y_1 = x\\ \xi_2 = y_2 = y\\ \xi_3 = \dot{y_1} \\ \xi_4 = \dot{y_2} \end{pmatrix} $$

And we can derive the control transformation as

$$ \begin{pmatrix} v_1 = u_1 \cos \theta - u_2 V \sin \theta \\ v_2 = u_2 \sin \theta + u_2 V \cos \theta \end{pmatrix} $$

and the resulting system now looks like

$$ \begin{align} \begin{cases} \dot{\xi_1} &= \xi_3 \\ \dot{\xi_2} &= \xi_4 \\ \dot{\xi_3} &= v_1 \\ \dot{\xi_4} &= v_2 \end{cases} \end{align} $$

Which is happily a double integrator system, thus can be controlled (pole placed, or LQRed) to be stable.

Feedback Linearization, Part 2

Fri, 12 Jun 2026 19:33:35 +0800

More Facts about IO Linearization

We are now aware of how to perform input-output linearization. To summarize:

For an output with relative degree $r$, we are able to construct a feedback linearization mapping such that the input-output linearized system is of order $r$.
The remaining state will construct a “zero plane” $Z$ where the zero dynamics on the plane will determine the stability of the overall system.

Now, we can draw an obvious conclusion if the zero dynamic is indeed stable:

Theorem: If $z = 0$ is locally exponentially stable for the zero dynamics, $\dot{z} = q(0, z)$, then $u_{IO}, v$ locally exponentially stabilizes $x = 0$.

The proof is as follows:

Proof: The closed loop system is given by

$$ \begin{align} \dot{\xi} &= A_{CL} \xi, A_{CL} = A - BK \\ \dot{z} &= q(\xi, z) \end{align} $$

where

$$ A_{CL} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -k_1 & -k_2 & -k_3 & \ldots & -k_r \end{pmatrix} $$

where $\Re{\lambda_i} < 0$ for all $i = 1, \ldots, r$. If we linearize the system at $\xi = z = 0$, we get the following:

$$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} \delta \xi \\ \delta z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{CL} & 0 \\ \frac{\partial q}{\partial \xi}(0, 0) & \frac{\partial q}{\partial z}(0, 0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \delta \xi \\ \delta z \end{pmatrix} $$

The matrix is Hurwitz, thus the end of the proof.

We notice that the relationship between the new states $\xi$ and original states $x$ is such that

$$ \xi = T(x)$$

To verify if $T$ is a diffeomorphism, we introduce the following theorem:

Inverse Function Theorem: A function $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $T \in C^1$ satisfies

$$ \frac{\partial T}{\partial x}(x_0) \neq 0 $$

is full rank, then $T^{-1}$ exists, and is continuous and differentiable.

Now let’s connect IO linearization back to feedback linearization. It’s not hard to see that if we can guarantee the zero dynamic to be stable, then the original system will be stable; the best way to make sure the zero dynamic is always stable is that the zero plane shrinks to just a point, and this is done if $r = n$. Therefore we have the following theorem:

Isidori, chapter 4: If a nonlinear system $\Sigma$ has a relative degree $r$ at $x_0$, then on the neighborhood of $x_0$, the functions

$$ \{ h(x), L_fh(x), \ldots, L_f^{r-1}h(x) \} $$

are independent. Then, we can conclude that, $\Sigma$ is feedback linearizable, if and only if $\exists y = h(x)$ such that the output has relative degree $r = n$.

In short, if the output of the system satisfies that the relative degree equals to the system degree, then the system is always linearizable. However, if the output has a relative degree smaller than the system degree, it’s possible that we didn’t pick a good output – how do we know if a system can in fact be feedback linearizable? We’ll have to introduce some more new concepts to answer the question.

Introduction to Differential Geometry

Our audience may find themselves familiar with these concepts, if they have taken classes in general relativity.

Manifold

Let $M$ be a non-empty set of $\mathbb{R}^n$ and let $1 \le m < n$, then $M$ is an n-dimensional smooth Manifold of $\mathbb{R}^n$ if, $\forall p \in M$, $\exists r > 0$, $F:B_r(p) \to \mathbb{R}^{n-m}$ such that:

$M \cap B_r(p) = { x \in \mathbb{R}^n | F(x) = 0 }$
$ F \in C^0 $
$ \forall \bar{x} \in M \cap B_r(p)$, $\text{rank} \frac{\partial F}{\partial x}(\bar{x}) = n - m $

Intuitively, a manifold is a shape that “embeds” into a Euclidean space. We can always find a local mapping (also known as the “atlas”) to map the manifold into another local region in Euclidean space, given these two spaces have the same dimension.

Some well-known manifolds are:

Circle, a 1D manifold in $\mathbb{R}^2$
Mobius strip, a 2D manifold in $\mathbb{R}^3$
Sphere, a 2D manifold in $\mathbb{R}^3$
Klein bottle, a 2D manifold in $\mathbb{R}^4$

Tangent Space

Let $M$ be a smooth manifold in $\mathbb{R}^n$ and let $p \in M$, suppose $F: B_r{p} \to \mathbb{R}^{n-1}$ satisfies conditions from definitions of $M$. Then the Tangent Space of $p$, denoted as $T_pM$ is such that

$$ T_pM = \{ v \in \mathbb{R}^n | \frac{\partial F}{\partial x}(p) v = 0 \} = \mathbb{N}(\frac{\partial F}{\partial x}(p)) $$

Note that, $\text{dim}(T_pM) = m$.

Tangent Vector

The Tangent Vector is a vector in tangent space.

We denote the relationship of manifold, tangent space and tangent vector like below:

Vector Field

Vector Field $f$ on manifold $M$ is an assignment to each $p \in M$ a vector $f(p) \in T_pM$. Note that, the vector field is $C^k$ if $f \in C^k$.

Lie Bracket

Given $f, g$ as two different vector fields, the Lie Bracket is defined as

$$ \begin{align} [f, g](x) &= \frac{\partial g}{\partial x}(x) f(x) - \frac{\partial f}{\partial x}(x) g(x) \\ &= L_fg - L_gf \\ \end{align} $$

The Lie bracket can also be expressed in terms of “adjoint” operator, i.e.:

$$ ad_f g(x) = [f, g](x) $$

We can use adjoint operator to express nested Lie brackets:

$$ \begin{align} ad_f^2g(x) &= [f, ad_f g(x)] \\ &= [f, [f, g]](x) \end{align} $$

In general, we have

$$ ad_f^kg(x) = [f, ad_f^{k-1}g(x)] $$

An example of Lie bracket calculation is as follows:

$$ \begin{align} f &= \begin{pmatrix} x_2 \\ -\sin x_1 - x_2 \end{pmatrix} \\ g &= \begin{pmatrix} 0 \\ x_1 \end{pmatrix} \\ [f, g](x) &= L_fg - L_gf \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -x_1 \\ x_2 + x_1 \end{pmatrix} \end{align} $$

Some useful properties of Lie bracket:

$[f, f ] = 0$
$[f, g] = -[g, f]$
If $f$ and $g$ are constant vectors, then $[f, g] = 0$.

Now let’s consider a linear system $\dot{x} = Ax + Bu$, if we express this in terms of control-affine system form, we have

$$\begin{align} \dot{x} &= f(x) + g(x)u \\ f(x) &= Ax \\ g(x) &= B \end{align} $$$$ \begin{align} ad_fg &= -AB \\ ad_f^2g &= A^2B \\ ad_f^3g &= -A^3B \\ \vdots \\ ad_f^kg &= (-1)^k A^k B \end{align} $$

Tangent Bundle

The Tangent Bundle of a manifold $M$ is defined as

$$ TM = \bigcup_{p \in M} T_pM $$

That is, it’s the “bundle” of all tangent spaces at each point in the manifold.

Distribution

Suppose $f_1, f_2, \ldots, f_n$ are vector fields, the Distribution is defined as

$$ \Delta (x) = \text{span}\{f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)\} $$

whereas at each specific point $x$, $\Delta(x)$ represents the subspace of the tangent space $T_xM$.

$\Delta$ is non-singular distribution if $\text{dim}(\Delta(x))$ is a constant $\forall x$.
$\Delta$ is involutive if $$ \forall f, g \in \Delta \Rightarrow [f, g] \in \Delta $$

Let’s consider the following example:

$$ \begin{align} f_1 &= \begin{pmatrix} 2x_2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ f_2 &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ x_2 \end{pmatrix} \\ \Delta &= [f_1, f_2] \end{align} $$

Because $\text{dim}\Delta(x) = 2$ for all $x$, the distribution $\Delta$ is non-singular.

$\Delta$ is involutive is equivalent to

$$ [f_1, f_2] = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \in \Delta $$

if and only if $\text{rank}(f_1, f_2, [f_1, f_2]) = 2 \quad \forall x$. Unfortunately the rank is 3, therefore $\Delta$ is not involutive.

Feedback Linearizability

With all these mathematical definitions, we are finally able to determine whether a nonlinear system can actually be feedback linearized, using the following theorem:

A nonlinear system $\Sigma$ is feedback linearizable, if an only if:

$[g(x), ad_fg(x), \ldots, ad_f^{n-1}g(x) ]$ has rank $n$, $\forall x$. This condition guarantees controllability.

$\Delta = \text{span}{g, ad_fg, \ldots, ad_f^{n-2}g}$ is involutive.

If we are able to determine whether the system is feedback linearizable, the next step will be to look for the specific output with relative degree $n$. From our earlier discussion, we are looking for a function $y = h(x)$ such that it meets the following conditions:

$$\begin{align} \begin{cases} L_gh = L_gL_f = &\ldots = L_gL_f^{n-2}h = 0 \forall x \\ L_gL_f^{n-1}h &\neq 0 \end{cases} \end{align} $$

In fact, these two conditions are equivalent to the following two conditions:

$$\begin{align} \begin{cases} L_gh = L_{ad_fg}h = &\ldots = L_{ad_f^{n-2}g}h = 0 \forall x \\ L_{ad_f^{n-1}g}h &\neq 0 \end{cases} \end{align} $$

The advantage of the latter formulation is that we can write the first condition as:

$$ \frac{\partial h}{\partial x} \begin{pmatrix} g(x) & ad_fg(x) & \cdots & ad_f^{n-2}g(x) \end{pmatrix} = 0 $$

The important fact here is that, the solution for this partial differential equation only exists, if $\Delta = {g, ad_fg, \ldots, ad_f^{n-2}g}$ is involutive, according to the (Frobenius theorem)[https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_theorem_(differential_topology)].

To prove that the two conditions are indeed equivalent, we use the following lemma:

Lemma: Given $L_gh = L_gL_f h = \ldots = L_gL_f^{n-2}h = 0$ for all $x \in B_\delta (x_0)$, then we have
$$L_gL_f^kh = (-1)^k L_{ad_f^kg}h, \forall k = 0,1,\ldots, r-1$$
.

This lemma can be proven using induction, and we skip the full proof here.

In this chapter, we discussed the condition for a nonlinear system to be fully feedback linearizable. In the final chapter, we’ll give some examples and extend to multi-input multi-output case.

Feedback Linearization, Part 1

Thu, 11 Jun 2026 21:38:58 +0800

Feedback linearization is a seemingly obvious but powerful technique in control theory that transforms a nonlinear system into a linear one through state and input feedback.

I learned this technique when I was taking MEC237 from Berkeley, and I later realized it’s actually pretty useful and one of the most universal techniques in nonlinear control.

Motivation

Let’s consider a first-order nonlinear system:

$$ \dot{x} = x^3 + u $$

Where $x$ is our internal state, and $u$ is our control input. If the system has no control, state $x$ is unstable. Intuitively, if $x$ is greater than 0, $\dot{x}$ is also greater, pushing it away from the equilibrium point, and vice versa if $x < 0$.

One caveat here is that, we can’t use Lyapunov indirect method to conclude instability, because the Jacobian matrix is 0, and nothing can be concluded from a both non-positive and non-negative Jacobian matrix eigenvalue.

How shall we use the control input to stabilize the system? Let’s consider the input $u = -x^3 - x$, where if we sub-into the original system:

$$ \dot{x} = x^3 + (-x^3 - x) = -x $$

This is now a negative feedback system with eigenvalue strictly negative, and we can therefore conclude stability.

What did we make the control input do? We use a nonlinear term $-x^3$ in the control input to cancel the original system’s unstable term, and introduce another stabilizing linear term $-x$ to ensure stability. The mechanism where we use feedback to achieve a stable linear system is called Feedback Linearization.

However, is this technique universal? The answer is no. Look at the following system:

$$ \begin{align} \begin{cases} \dot{x}_1 = a \sin x_2 \\ \dot{x}_2 = -x_1^2 + u \end{cases} \end{align} $$

In fact, any input $u$ can’t linearize both states $x_1$ and $x_2$. However, if we do a state transformation like below:

$$ \begin{align} z_1 &= x_1 \\ z_2 &= a \sin x_2 \end{align} $$

Then it’s not too hard to verify that the transformed system can actually be linearized. Thus by combining state transform and control transform, we are able to achieve feedback linearization.

Some Definitions

We now give some useful definitions to help understand the feedback linearization technique.

Control-Affine System

A system that has the following form is called a Control-Affine System:

$$ \dot{x} = f(x) + g(x)u $$

where $f(x)$ and $g(x)$ are smooth vector fields.

An example of a system that’s not control-affine is:

$$ \dot{x} = f(x) + g(x)u^2 $$

Diffeomorphism

In differential geometry, a diffeomorphism is a smooth invertible map between differentiable manifolds, whose inverse is also smooth. To express in mathematical language, such mapping $T$ satisfies $T \in C^1$ and $T^{-1} \in C^1$.

Feedback Linearizable

A nonlinear control-affine system $\Sigma: \dot{x} = f(x) + g(x)u$ is said to be feedback linearizable if there exists a control law $u = \alpha (x) + \beta (x)v$ and state transform $z = T(x)$, where $T$ is a diffeomorphism, such that the transformed system $\dot{z} = Az + Bv$ satisfies $(A, B)$ is controllable.

Lie Derivative

The Lie Derivative is an operator such that:

$$ L_f u = \frac{\partial u}{\partial x} f(x) $$

We will see how Lie derivative helps us simplify some notations later.

Input-Output Linearization

There are cases that we can’t perform full feedback linearization, but we can still achieve input-output linearization.

Consider the same system that we defined earlier:

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = a \sin x_2 \\ \dot{x}_2 = -x_1^2 + u \\ y = x_2 \end{cases} $$

Note that now we assign the output $y$ to be only a function of $x_2$. Now, we can perform Input-Output Linearization $ u = x_1^2 + v$ such that:

$$ y = x_2 = -x_1^2 + x_1^2 +v = v$$

from there, we manage to achieve a linear relationship between the new control law $v$ and output $y$. However, since $x_1$ is an unobservable state from $y$, we can’t tell just from $y$ whether the inner system is stable – therefore it’s possible for the inner state to explode while the output shows nothing, causing system failure.

Now with all these definitions, we would like to answer the following questions:

When is a system feedback linearizable?
If not feedback linearizable, when is the system IO linearizable?
Is there connection between IO linearization and system linearization?

Relative Degree of Output $y$

Let’s consider the following system that is a generalization of a SISO control-affine system:

$$ \begin{align} \dot{x} &= f(x) + g(x)u \\ y &= h(x) \end{align} $$

Where $f, g, h$ are sufficiently smooth.

We notice that $y$ is not a function of $u$, to the first order because there is no direct control term in $y$. Let’s try to take the derivative of $y$:

$$ \begin{align} \dot{y} &= \frac{\partial h(x)}{\partial x} \dot{x} \\ &= \frac{\partial h(x)}{\partial x} (f(x) + g(x)u) \\ &= L_f h(x) + L_g h(x) u \end{align} $$

Note that we used the Lie derivation notation.

Now assume that $L_g h(x) \neq 0$, then we have a direct term $u$ in $\dot{y}$. We can therefore make $u$ such that:

$$ u = L_g h(x) ^ {-1} (-L_f h(x) + v) $$

and so that:

$$ \dot{y} = v $$

What if $L_g h(x) = 0$? In that case, $u$ doesn’t appear in the first derivative of $y$:

$$ \dot{y} = L_f h(x) $$

But no worries, we can take another derivative operation:

$$ \ddot{y} = L_f^2 h(x) + L_gL_fh(x)u $$

Note that, $L_aL_bc(x) = L_a(L_b c(x))$. Suppose we have $L_gL_fh(x) \neq 0$, then we can again IO linearize the system as:

$$ u = L_gL_f h(x)^{-1}[-L_f^2 h(x) + v] $$

and thus:

$$ \ddot{y} = v $$

If we continue doing this, we will arrive at step $r$:

$$ y^{(r)} = L_f^rh(x) +L_gL_f^{r-1}h(x)u $$

And if we have $L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0$, we can make it such that:

$$ u = L_gL_f^{r-1}h(x)^{-1}[-L_f^r h(x) + v] $$

and therefore

$$ y^{r} = v $$

In this case, the IO linearized system is a $r^{th}$ order linear system.

We now give the definition of $r$:

A SISO system $\dot{x} = f(x) + g(x)u, y = h(x)$ has relative degree $r$ with respect to the output $y = h(x)$ around $x_0$ if:

$\forall 0 \le k < r-1$, $L_gL_f^kh(x) = 0$, $\forall x \in $ neighborhood of $x_0$.
$L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0$, $\forall x \in $ neighborhood of $x_0$. Let’s look at some examples.

$$ \begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= -x_1^3 + u \\ y &= x_1 \end{align} $$

It’s obvious that the relative degree is not 0 because $u$ doesn’t show up directly in $y$. We take the first derivative of $y$:

$$ \dot{y} = x_2$$

Still no $u$. Differentiate again:

$$ \ddot{y}= -x_1^3 + u$$

Now $u$ shows up, therefore the relative degree of $y$ is 2. Note that the coefficient of $u$ is always a well-defined 1, therefore output $y$ always has relative degree of 2 anywhere in $\mathbb{R}$.

$$ \begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 + x_3^3 \\ \dot{x}_2 &= x_3 \\ \dot{x}_3 &= u \\ y &= x_1 \end{align} $$

We differentiate $y$ twice:

$$ \ddot{y} = x_3 + 3x_3 u $$

Now we realize that $y$ doesn’t have a well-defined degree around $x_3 = 0$, and has a relative degree of 2 anywhere else.

Let’s try to apply the concept to our familiar linear system:

$$ \begin{align} \dot{x} &= Ax + Bu \\ y &= Cx \end{align} $$

If we differentiate $y$:

$$ \dot{y} = CAx + CBu $$

Now, if $CB = 0$, we’ll have to differentiate again:

$$ \ddot{y} = CA^2x + CAB u $$

continue doing this, we have relative degree $r$ if

$ CB = CAB = \ldots = CA^{r-2}B = 0$
$ CA^{r-1}B \neq 0$

Isn’t the quantity $CA^{r-1}B$ familiar? It’s a composite of the controllability matrix and observability matrix. In fact, this conclusion leads directly to the concept of Kalman decomposition.

Zero Dynamics

A fact regarding the relative degree $r$:

$r$ is always less than or equal to the order of the system $n$, and cannot be greater than $n$. If we keep differentiating without getting $u$ show up in $y$, the relative degree is usually undefined.

Now, for the IO linearized system $y^{(r)} = v$, we can choose the state vector:

$$ z = \begin{pmatrix} y \\ \dot{y} \\ \vdots \\ y^{(r-1)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^r $$

Thus, we will arrive at:

$$ \dot{z} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} z + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} v $$

If you have read another article of mine: Mason’s Gain Formula and Control Canonical Forms, you’ll realize system follows the controllability canonical form, thus $z$ is always controllable, given matrix $A$ is a complete Jordan block. Therefore, we can always define a feedback control mechanism

$$ v = -Kz$$

such that

$$ \dot{z} = (A - BK)z $$

is always stable, or

$$\Re(\lambda(A - BK)) < 0$$

If we convert $v$ back in terms of $x$, we will get

$$ v = -k_1 h(x) - k_2 L_f h(x) - \ldots - k_r L_f^{r-1} h(x) $$

Now that if we have $z(t) \to 0$ as $ t \to \infty$, $y \to 0$, $\dot{y} \to 0$, etc. We can guarantee the output $y$ is stable. But, how about $x$? Is the original system stable? This leads to the discussion of zero dynamics.

If we define the set $Z = {x \in \mathbb{R}^n : h(x) = \dot{h}(x) = \ldots = h^{(r-1)}(x) = 0}$, then $Z$ is called the zero dynamics of the system. It stands for the part of the system where it’s not shown explicitly on the output $y$, or it’s unobservable.

Note that the dimension of the zero dynamics set is $n - r$.

What we did for IO linearization are the following:

We construct the surface $Z$ with dimension $n - r$.
We make $Z$ attractive, i.e. we let $x$ approach the surface asymptotically.
We also make $Z$ invariant, i.e. $x$ never leaves the surface once it’s on the surface.

However, whether the dynamics on the surface is stable dictates whether the original system $x$ is stable. The dynamic on the surface is also known as the zero dynamics. Let’s take an example to illustrate the zero dynamics. Consider the following system:

$$ \begin{align} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= \alpha x_3 + u \\ \dot{x}_3 &= \beta x_3 - u \\ y &= x_1 \end{align} $$

It’s easy to get relative degree of 2 for output $y$ because

$$ \ddot{y} = \alpha x_3 + u $$

Now, suppose when $t \to \infty$, both $y$ and $\dot{y}$ approach zero. What happens to the state $x$? If $y = 0, \dot{y} = 0$, then $x_1 = x_2 = 0$, and we have

$$ \dot{x}_3 = (\beta + \alpha) x_3 $$

Therefore, the zero dynamic on $x_3$ is stable if and only if $\beta + \alpha < 0$.

In fact, in this case $x_3$ is the uncontrollable state of the nonlinear system. Just like linear system theory, if the uncontrollable state is stable, the entire system can be stabilized.

We discussed IO linearization in this article. In part 2, we are going to talk about actual feedback linearization.

Steady-state Error, part 1

Thu, 30 Apr 2026 22:09:36 +0800

Before we resume talking about why adding a capacitor solves the step input problem without solving the ramp input problem, let’s review some basic knowledge from linear system.

Linear System Basics

Initial Value Theorem

For a function $f(t)$ and its Laplace transform $F(s)$, the initial value theorem states that

$$ \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) $$

Final Value Theorem

For a function $f(t)$ and its Laplace transform $F(s)$, the final value theorem states that

$$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) $$

Types of Inputs

There are a few basic types of inputs that we use to kickstart the system. Here is a summary table:

Input Type	Time Domain Response $f(t)$	Laplace Transform $F(s)$	Order
Impulse	$\delta(t)$	1	undefined
Step	$u(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s}$	0
Ramp	$t \cdot u(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s^2}$	1
Parabolic	$\displaystyle \frac{t^2}{2} \cdot u(t)$	$\displaystyle\frac{1}{s^3}$	2
…	…	…	…

Unity Feedback System

We call the following system a Unity-Feedback System, if the feedback path has a gain of 1.

System Types

For a unity feedback system, we assume the controller has a transfer function that looks like:

$$ \displaystyle H(s) = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} $$

That is, the controller has $m$ zeros, $n+k$ poles where $k$ poles are at the origin. To satisfy stability, $m < n+k$ otherwise the transfer function will not be a proper transfer function.

We define the type of the system as the number of pure integrators in $H(s)$. In our definition of $H(s)$, the type is $k$.

Now, if we sub $H(s)$ into the unity feedback system, using Mason’s Gain Formula, we have the closed-loop transfer function of the overall system:

$$ \begin{align} \displaystyle H_{cl}(s) &= \frac{H(s)}{1 + H(s)} \\ &= \frac{K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) + K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} \end{align} $$

Therefore the transfer function of the steady-state error is given by:

$$ \begin{align} E(s) &= 1 - H_{cl}(s) \\ &= \frac{1}{1 + H(s)} \\ &= \frac{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) + K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} \end{align} $$

Now, let’s say if our input is type-N:

$$ \begin{align} F(s) &= \frac{1}{s^{N+1}} \end{align} $$

Then the resulting steady-state error is going to be:

$$ \begin{align} e(s) &= E(s) \cdot F(s) \\ &= \frac{s^{k-N-1}(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) + K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} \end{align} $$

If we apply final value theorem, we get

$$ \begin{align} \lim_{t \to \infty} e(t) &= \lim_{s \to 0} s \cdot e(s) &=\frac{s^{k-N}(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}{s^k(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n) + K(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} \end{align} $$

It’s not too hard to see that the term of interest is $s^{k-N}$. We conclude therefore:

$$ \begin{cases} \lim_{t \to \infty} e(t) = 0 & \text{if } k > N \\ \lim_{t \to \infty} e(t) = \frac{1}{K} & \text{if } k = N \\ \lim_{t \to \infty} e(t) = \infty & \text{if } k < N \end{cases} $$

This is a pretty elegant result, in other words, the convergence of steady state error follows such conditions:

If the system type (k) is greater than the input type (N), the steady-state error is zero.
If the system type (k) is smaller than the input type (N), the steady-state error will diverge to infinity.
If the system type and input type are the same, the steady state error will converge to a non-zero number, which will be a finite fraction of the input, depending on the DC gain of the system.

Another intuitive way to look into this is that, if our input is of a higher system and the system itself can’t generate fast enough response, the system will always fall behind the input, and vice versa.

The problems with higher order system

Now if we take the original system we discussed last time when we added a capacitor, we realize that adding that capacitor helped us to increase the system type, and thus we are able to track the input better.

Here is the further question: what if the input is of type 2? Based off our discussion just now, we might just want to add another integrator so as to further increase the system type, like below:

This makes plausible sense; however this system will unfortunately fail. Why? Let’s try to simplify the system by assuming $g_m = 1$ and $C=1$. If we perturb our system by a step input, according to our discussion above, the system should be able to track it without problem. First, the open loop gain is given by:

$$ H_{ol} = \frac{1}{s^2} $$

Now, if we closed the loop and calculate the closed loop gain:

$$ H_{cl} = \frac{1}{1 + H_{ol}(s)} = \frac{s^2}{1+s^2} $$

With a step input, the output has a frequency domain representation of:

$$ V_{out}(s) = H_{cl} \cdot \frac{1}{s} = \frac{s}{1+s^2} $$

Now if we perform inverse laplace transform of the s-domain representation, we will get:

$$ V_{out}(t) = \sin t$$

That is to say, we increased the system type and we wished for the steady state error to converge faster, however the system is not even able to track a type-1 input, but start oscillating. What’s the problem here?

The reason is that by introducing another pole, we introduced 90 degrees more input phase, and thus the effective phase margin of the system is 0. From another angle, we can apply Barkhausen stability criterion and realize that the system automatically satisfies that criterion, and immediately realize that the system is oscillatory.

The fix is to introduce damping to either of the integrator to produce a zero in the forward gain, thus making the phase margin positive.

The derivation is left to our audience if you would like to give it a try.

For the next part, we will further expand the damping concept and introduce a few compensation techniques we can use: lead, lag, and lead-lag compensation to improve the system response.

Mason's Gain Formula and Control Canonical Forms

Thu, 23 Apr 2026 00:28:37 +0800

Introduction

Pop quiz: what’s the transfer function $H(s) = V_{out} / V_{in}$ in the following circuit?

Assumptions:

$C_c$ is a big coupling capacitor.
No channel-length modulation.
You don’t have to solve for DC, all small signal parameters are given. Don’t assume unspecified parameters, for example $r_o$, $C_g$, etc.
The circuit is linear.

OK this circuit does look a bit intimidating. For entry-level analog circuit class takers, they might take out pencil to work through the analysis, but it’s super tedious, time consuming and error-prone.

Look at the circuit, what is the main reason that makes analysis difficult? Feedback. Not just one feedback path, there are two feedbacks from each of the two stages rendering the overall analysis not so straightforward. However, we are going to introduce a very elegant mathematical tool to deal with all these kinds of closed-loop structures.

Mason’s Gain Formula

Samuel Jefferson Mason was born in 1921. As a distinguished electronics engineer, his most famous scientific contributions are Mason’s invariant and Mason’s rule, or Mason’s gain formula, both named after him.

Mason’s gain formula is used to find the transfer function of a closed-loop system. A closed loop system doesn’t need to contain only one loop; it could contain multiple loops, and they can even interact with each other. Conventional algebraic way to find the transfer function usually requires solving complex simultaneous systems, but Mason’s gain formula provides an easy way to find it.

Mason’s gain formula is particularly suitable for a system that can be described using a Signal Flow Graph.

Signal Flow Graph (SFG)

A Signal Flow Graph (SFG) is a graphical representation of a system. As the name suggests, an SFG is a directed graph, meaning it has the following components:

Node: a node is a vertex that represents a variable in a system.
Branch: a branch is a directed edge that represents a transfer function between two nodes. It has a linear gain. If the gain is 1, we don’t annotate it on the SFG.
Input/Output: Input / Output nodes are special nodes where we use to denote the transfer function’s departure and arrival points.
Addition: Two signals could be added together, given SFG is targeting linear systems.

Now, with these simple definitions, we are able to construct more complex notations + structures:

Path: a path is a sequence of branches that connect nodes in the graph, such that no node is visited more than once.
- Forward Path: a forward path is a path from the input node to the output node.
- Path Gain: the product of the gains of all branches in a path.
Loop: a loop is a path that starts and ends at the same node. A loop is a specific type of path.
- Loop Gain: the product of the gains of all branches in a loop.

Example: Type 2 PLL

Shown below is a type-2 PLL:

We are able to see 5 paths here and a simple loop. We defined 4 nodes, with 1 input node and 1 output node.

The Formula

Mason’s Gain Formula states the following:

Mason’s Gain Formula:
$$H(s) = \frac{\sum_{k=1}^{N} P_k \Delta_k}{\Delta}$$
where:

$N$ is the number of forward paths from input to output

$P_k$ is the path gain of the $k$-th forward path

$\Delta$ is the determinant of the system: $\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_i L_j - \sum L_i L_j L_k + \ldots$

$\sum L_i$ is the sum of all individual loop gains

$\sum L_i L_j$ is the sum of products of all pairs of non-touching loops

$\sum L_i L_j L_k$ is the sum of products of all triplets of non-touching loops

and so on…

$\Delta_k$ is the cofactor of the $k$-th forward path, obtained by removing all loops that touch the $k$-th path from $\Delta$

Examples

A Type 2 Charge Pump PLL

Let’s take the type-2 PLL system shown above for example. In this example, there is 1 single loop, and only 1 forward path from input to output. Therefore, $N=1$, and:

$$\begin{align} \Delta &= 1 - L_1 = 1 + K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s / N \\ \Delta_1 &= 1 \\ \displaystyle \Sigma_{k=1}^{N}P_k \Delta_k &= K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s \end{align}$$

Bear in mind that $\Delta_1 = 1$ because there is only one loop, and it does touch the forward path, therefore we remove the only contributing loop gain from $\Delta$.

Thus, combining the terms together, we have the expression for the closed loop gain:

$$ H(s) = \frac{K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s}{1 + K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s / N} $$

We realize that the loop gain is large when frequency is low, the loop gain dominates and $H(s) = N$, meaning the low-frequency phase noise of the PLL will be the reference times $N^2$. At high frequency, the loop gain dies out and $H(s) = 0$. Therefore the reference to output phase transfer function is a low-pass filter.

A Triple Integrator System

Now, let’s compute the transfer function of the SISO system below:

We notice that there are 3 loops and 3 forwarded paths. Luckily, they all touch each other, which makes our calculation very simple.

$$ \begin{cases} \Delta = 1 + a_1/s + a_2/s^2 + a_3/s^3 \\ p_1 = b1/s \\ \Delta_1 = 1 \\ p_2 = b2/s^2 \\ \Delta_2 = 1 \\ p_3 = b3/s^3 \\ \Delta_3 = 1 \end{cases} $$

Combining all the terms, we have

$$ \begin{align} H(s) &= \frac{b_1/s + b_2/s^2 + b_3/s^3}{1 + a_1/s + a_2/s^2 + a_3/s^3} \\ &= \frac{b_1 s^2 + b_2 s + b_3}{s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3} \end{align} $$

Canonical Forms

Doesn’t the last example have a very regular transfer function? This is actually intended.

In a control system modeled in time domain, we have our system defined using state-space model:

$$ \begin{align} \dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t) \end{align} $$

and we know that, if we perform Laplace transform, while assuming a 0 initial condition, we have

$$ sX(s) = AX(s) + BU(s) $$

Therefore, by algebraic manipulation, we have

$$ Y(s)/U(s) = C(sI - A)^{-1}B $$

Which is the transformation between state space model to transfer functions.

Now, there could be only one transfer function for a state space model, but there could be infinite state space models for one simple transfer function. The general rule of thumb is that, the number of poles in a transfer function regulates the number of states in the corresponding state space model, because we need that many number of integrators. However, we could create more states (but those come with either constraints, or are redundant, meaning linearly independent of the pre-existing states).

There are some state space models that are different from generic ones, if we generate from a transfer function. Here are some of them:

Controllable Canonical Form

We already encounter the controllable canonical form in the previous example.

Controllable canonical form is a specific type of form because the generated state space model is always controllable. The state space model is given by:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 & \ldots & -a_{n-1} & -a_n \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 & \ldots & b_n \end{pmatrix}X \end{align} $$

According to Rudolf Kalman, the controllability matrix of the controllability canonical form is always going to be full rank. That’s why we call it controllable canonical form.

Observable Canonical Form

Observability, the dual of controllability, also has its canonical form. Its state space model representation is given by:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix}X \end{align} $$

If you take a closer look, you’ll notice that the observable canonical form is precisely the transpose of the controllable canonical form: $A_o = A_c^T$, $B_o = C_c^T$, and $C_o = B_c^T$. This is not a coincidence — it is a direct manifestation of the duality between controllability and observability. Taking the transpose of a state space realization preserves the transfer function, since

$$ H(s) = C(sI - A)^{-1}B = \left[ B^T (sI - A^T)^{-1} C^T \right]^T $$

and the transfer function is a scalar for SISO systems, so the transpose is itself.

By the dual of Kalman’s argument, the observability matrix of the observable canonical form is always full rank, which is why we call it the observable canonical form. Notice as well that, unlike the controllable form where the input coefficients $b_i$ are placed in the output matrix $C$, here they show up directly in the input matrix $B$. Each state $x_i$ accumulates a weighted contribution from $u(t)$ and feeds back through $-a_i$ to drive only the last state, which is then read out at the output. Reading the SFG above from right to left makes the structure obvious: it is the controllable canonical form with all arrows reversed.

Diagonal Form and Jordan Form

The controllable and observable canonical forms are built around the coefficients of the polynomials $a_i$ and $b_i$. The Jordan form takes a different approach: instead of starting from the polynomial coefficients, we start from the poles of the transfer function. Performing partial fraction decomposition,

$$ H(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \ldots + b_1 s + b_0}{(s - p_1)(s - p_2) \ldots (s - p_n)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{r_i}{s - p_i} $$

where $p_i$ are the poles and $r_i$ are the residues. Each first-order term $r_i/(s - p_i)$ corresponds to a single integrator with self-feedback $p_i$ and a gain $r_i$ at the output. The SFG above is exactly that — $n$ parallel branches, each with its own pole, all summed at the output.

Stacking these parallel branches into a state space model gives the diagonal Jordan form (assuming distinct poles):

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} p_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & p_2 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & p_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & p_n \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} r_1 & r_2 & r_3 & \ldots & r_n \end{pmatrix}X \end{align} $$

Because $A$ is diagonal, the states are completely decoupled — each $x_i$ evolves independently as $\dot{x}_i = p_i x_i + u$, and the output is just a weighted sum of these modes. This makes the Jordan form particularly useful for analysis: the eigenvalues of $A$ are read off the diagonal, so stability is immediate (all $\text{Re}(p_i) < 0$), and each mode’s contribution to the output is exactly $r_i$.

When poles are repeated, $A$ is no longer fully diagonalizable. For a pole $\lambda$ with multiplicity $k$, the corresponding diagonal block becomes a Jordan block:

$$ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$

The superdiagonal of 1’s couples adjacent states within the block, which corresponds to terms of the form $r_{i,j}/(s - \lambda)^j$ in the partial fraction expansion. The overall $A$ matrix is still block-diagonal, with one Jordan block per distinct pole.

Unlike the controllable and observable canonical forms — which are guaranteed to be controllable / observable by construction — the Jordan form is only controllable and observable when all residues $r_i$ are nonzero and all poles are distinct. A zero residue corresponds to a pole-zero cancellation in $H(s)$, which means a mode that is either uncontrollable or unobservable (or both). In that sense, the Jordan form is the most honest of the three: it makes hidden modes visible rather than burying them in the structure.

Modified Form

It becomes even trickier if the original system’s poles are not on the real axis, but contains complex conjugate pairs. In this case, we can either sub in diagonal form with the complex entries, or we use what’s called the “modified form”.

The modified Jordan form (also known as the real Jordan form) keeps the state space model entirely real-valued by replacing each pair of complex conjugate poles $p_i = \sigma \pm j\omega$ with a single $2 \times 2$ real block on the diagonal of $A$:

$$ \begin{pmatrix} \sigma + j\omega & 0 \\ 0 & \sigma - j\omega \end{pmatrix} \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} \sigma & \omega \\ -\omega & \sigma \end{pmatrix} $$

This block is similar to the diagonal complex form via the change of basis

$$ T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ j & -j \end{pmatrix}, $$

so the transfer function is preserved. Concretely, for a system whose poles consist of $m$ real poles $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ and $\ell$ complex conjugate pairs $\sigma_k \pm j\omega_k$, the modified form is

$$ A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & \lambda_m & & & & \\ & & & \sigma_1 & \omega_1 & & \\ & & & -\omega_1 & \sigma_1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & \begin{smallmatrix} \sigma_\ell & \omega_\ell \\ -\omega_\ell & \sigma_\ell \end{smallmatrix} \end{pmatrix} $$

The eigenvalues of each $2 \times 2$ block are exactly $\sigma_k \pm j\omega_k$, so spectral information is unchanged — we have only traded a complex diagonal representation for a real block-diagonal one. This is the form most software packages return by default, since real arithmetic is cheaper and avoids the bookkeeping of conjugate pairs. Repeated complex poles generalize to real Jordan blocks by replacing each scalar entry of the complex Jordan block with the corresponding $2 \times 2$ real block, and each superdiagonal $1$ with a $2 \times 2$ identity.

Where were we?

We talked a lot about the famous Mason’s gain formula, and several canonical forms that we can use to represent linear time-invariant systems. Now going back to the original question: what’s the closed loop gain of the original system?

Well, we do realize that the system had two loops, but they do touch; and the system has only one forward path. That makes our computation significantly easier.

Let’s use some notations here. Let’s denote the forward gain as $F_1, F_2$ and the loop gains as $L_1, L_2$. From basic analog circuit theory, we have:

$$ \begin{align} F_1 &= -\frac{g_{m1}R_{d_1}}{1 + g_{m1}R_{d_1}||1/sC_1} \\ F_2 &= \frac{g_{m2}R_{s2}}{1 + g_{m2}R_{s2}} \\ L_1 &= (G_m R_{gate} || R_{g1} || R_{g2} F_1) \\ L_2 &= (-g_{mp} R_{gate} || R_{g1} || R_{g2} ) F_1 F_2 \end{align} $$

And finally, our closed loop gain:

$$ \frac{V_{out}}{V_{in}}(s) = \frac{F_1F_2}{1 + L_1 + L_2} $$

This looks a lot faster compared to manually breaking down all expressions.

I would like to point out at the end of this article that the original circuit is unstable, because both loop gains are positive. Unless the loop determinant is strictly positive in real part, the circuit will be unstable.

Renko Maintenance Log - Apr 18-19th 2026

Mon, 20 Apr 2026 22:30:41 +0800

Introduction

It’s been a long while since I properly maintained my NAS. To remind our audience what I have:

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 .',;::::;,'. di_wang@renko
 .';:cccccccccccc:;,. -------------
 .;cccccccccccccccccccccc;. OS: Fedora Linux 43 (Server Edition) x86_64
 .:cccccccccccccccccccccccccc:. Host: PR2285S1 (2.2)
 .;ccccccccccccc;.:dddl:.;ccccccc;. Kernel: Linux 6.19.12-200.fc43.x86_64
 .:ccccccccccccc;OWMKOOXMWd;ccccccc:. Uptime: 1 day, 4 hours, 14 mins
.:ccccccccccccc;KMMc;cc;xMMc;ccccccc:. Packages: 1838 (rpm)
,cccccccccccccc;MMM.;cc;;WW:;cccccccc, Shell: bash 5.3.0
:cccccccccccccc;MMM.;cccccccccccccccc: Terminal: /dev/pts/0
:ccccccc;oxOOOo;MMM000k.;cccccccccccc: CPU: Intel(R) Xeon(R) E3-1280 v5 (8) @ 4.00 GHz
cccccc;0MMKxdd:;MMMkddc.;cccccccccccc; GPU: ASPEED Technology, Inc. ASPEED Graphics Family
ccccc;XMO';cccc;MMM.;cccccccccccccccc' Memory: 37.72 GiB / 62.61 GiB (60%)
ccccc;MMo;ccccc;MMW.;ccccccccccccccc; Swap: 2.85 GiB / 40.00 GiB (7%)
ccccc;0MNc.ccc.xMMd;ccccccccccccccc; Disk (/): 64.06 GiB / 865.50 GiB (7%) - xfs
cccccc;dNMWXXXWM0:;cccccccccccccc:, Disk (/storage): 8.23 TiB / 9.71 TiB (85%) - zfs
cccccccc;.:odl:.;cccccccccccccc:,. Local IP (eno1): MANUALLY REDACTED
ccccccccccccccccccccccccccccc:'. Locale: en_US.UTF-8
:ccccccccccccccccccccccc:;,..
 ':cccccccccccccccc::;,.

I still remember that it was back in late 2024 that I purchased all the parts for this NAS. I got 4 4T Seagate Skyhawks for roughly ¥CNY 400 each (roughly USD 57 each). It was quite a great deal back then, given that the price of HDDs has now gone up to around USD 30/Terabyte. I still remember last summer in Oregon when I was debating whether I should grab the USD 15/T deal from Best Buy (in hindsight I really should have, given OR doesn’t have sales tax). Now it’s 85% full and I’ll have to seriously consider buying a bunch more.

It was funny when thinking about the motherboard supermicro X11SSH-F. All of its video outputs are essentially broken – HDMI, VGA, etc. I don’t know how to use serial ports. It was quite a bargain that I bought from 咸鱼 (basically the Chinese fb marketplace) for ¥200, whereas the listed price on Amazon was like:

It was funny because the previous owner had no idea what the IPMI IP address was – it was hard coded in BIOS; however, without video output, I wasn’t able to reset the IP address, nor could I install a new OS. I spent a night writing a script on my openwrt router to try changing the subnet and pinging potential addresses, assuming it began with 192.168. I didn’t manage to find one until the next day, when the owner messaged me saying that he recalled it was under 192.168.254.xxx, and I realized the IPMI was actually at 192.168.254.1. When I opened up IPMI, I saw the BIOS startup screen as “比特币挖矿系统” (BTC mining system) and I finally understood why it was so damn cheap. That was back when BTC mining was still pretty popular.

Anyways, I installed Fedora 40 back then and never worried about it again. I ran docker containers, my own chatbot, and reverse proxy services, but after last weekend reminded me of the Fedora 44 news, I thought it was time to actually try to upgrade the very broken system, since a lot of the “DevOps” things that I did were very, very ad hoc.

Fedora 40 -> 43, RAM speed optimization

Fedora 40 was EOL like a year ago; therefore, upgrading the system was the first thing I did. It wasn’t too hard to pull the prebuilt image and install it. For safety I did this in 3 steps: 40->41, 41->42, 42->43, each taking about half an hour.

Given I had to reboot the system anyway, I realized that all 4 DDR RAMs were running at 2133 instead of their rated speed of 2400. So I went into the BIOS settings to try to manually set the RAM speed to 2400.

However, I think it’s pretty much a limitation of the motherboard not being able to support XMP; the E3-1280 V5 skylake CPU also blindly ties the memory bandwidth to 2133 (lame!), so setting the maximum frequency was the best thing I could do.

It was funny looking back at how long I spent dealing with IPMI once again. I have a custom nginx configuration where I assign the private domain name ipmi.renko.cedard.top to the IPMI port, but it wasn’t connecting at the very beginning. It took me quite a while to troubleshoot whether this was a problem with some stale nginx setting, but it wasn’t until I realized the IP wasn’t up either that I found the IPMI port wasn’t connected to an RJ45 cable, haha.

Once Fedora 43 booted up on the NAS, I finally caught up with the lifecycle of the system, and the kernel was also updated to 6.19.12.

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di_wang@renko:~$ cat /etc/os-release
NAME="Fedora Linux"
VERSION="43 (Server Edition)"
RELEASE_TYPE=stable
ID=fedora
VERSION_ID=43
VERSION_CODENAME=""
PRETTY_NAME="Fedora Linux 43 (Server Edition)"
ANSI_COLOR="0;38;2;60;110;180"
LOGO=fedora-logo-icon
CPE_NAME="cpe:/o:fedoraproject:fedora:43"
HOME_URL="https://fedoraproject.org/"
DOCUMENTATION_URL="https://docs.fedoraproject.org/en-US/fedora/f43/"
SUPPORT_URL="https://ask.fedoraproject.org/"
BUG_REPORT_URL="https://bugzilla.redhat.com/"
REDHAT_BUGZILLA_PRODUCT="Fedora"
REDHAT_BUGZILLA_PRODUCT_VERSION=43
REDHAT_SUPPORT_PRODUCT="Fedora"
REDHAT_SUPPORT_PRODUCT_VERSION=43
SUPPORT_END=2026-12-02
VARIANT="Server Edition"
VARIANT_ID=server

I set up a monthly reboot on Sunday morning at 3am to ensure the system is always up-to-date and running smoothly.

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# /var/spool/cron/root
0 3 * * 0 /sbin/reboot

Docker Stuff

I have a few services on docker, but they were all running under my own home directory instead of being properly archived. Some of them were also running on really really old images, simply because I was too lazy to pull from dockerhub.

Docker runs as a systemd service under fedora, and any docker service that has the restart flag in docker-compose.yml will be automatically registered and restarted. This is pretty convenient since I don’t really have to create separate systemd daemons for each one of these. Housekeeping: I put all of them under /opt.

I was trying to see if I could have them all automatically update themselves. Claude told me that there is a specific docker image watchtower that does this, only for me to realize that watchtower is no longer being maintained.

A simple script does this:

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# update-containers.sh

#!/bin/bash
set -euo pipefail

log() { echo "[$(date '+%Y-%m-%d %H:%M:%S')] $*"; }

log "Starting container update"

for dir in /opt/*/; do
 compose_file=""
 if [ -f "$dir/docker-compose.yml" ]; then
 compose_file="$dir/docker-compose.yml"
 elif [ -f "$dir/compose.yaml" ]; then
 compose_file="$dir/compose.yaml"
 else
 continue
 fi

 name=$(basename "$dir")
 log "Updating $name"
 docker compose -f "$compose_file" pull --quiet && \
 docker compose -f "$compose_file" up -d --remove-orphans || \
 log "WARNING: Failed to update $name"
done

docker image prune -f --filter "until=168h" > /dev/null
log "Container update complete"

I did realize the postgres image was a corner case, where pulling the latest image broke the split flow. It tried to pull PG18, and broke the PG16 data directory.

Security

I turned off all password logins, only allowing SSH key-based authentication, and disabled unused firewall ports.

ZFS

RAIDZ1

Here comes the big deal. I use raidz1 for all 4 of my drives, but I do realize that if a drive fails, during rebuild I’ll have no additional layer of protection, and rebuilding makes it pretty likely that other drives might fail too, especially if they all come from the same batch (mathematically, two independent Poisson processes can be summed in terms of fail rate. It gets even worse if they are correlated). However, I don’t really have the luxury to do raidz2 right now, so I guess I’ll have to live with it for some time.

Some optimizations

lz4 is better than lzjb in terms of data writes because it’s faster and has a higher compression ratio. atime is not necessary when doing writes. Therefore I made both changes:

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zfs set compression=lz4 storage
zfs set atime=off storage

Larger Record Size for media

I also created a separate dataset for my movies where sequential RW matters. Compared to 128K default chunk size, 1M reduces IO access counts significantly.

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zfs set recordsize=1M /your/mount/point

Auto ZFS snapshot

There is this nice repo from GitHub where we can keep continuous zfs auto snapshots. This is super useful if I ever need to roll back.

This actually did save me because I messed up postgres yesterday and I managed to recover in no time.

That’s it. I will try to write up my learnings + sharings for future sysadmin stuff as separate blogs; this is just one of them. I’ll probably try to update the system to Fedora 44 this upcoming weekend.

If you are using some of my services, I have a dedicated uppage (hopefully not a downpage) here.

BTW if you don’t know about this already, I drew the name “Renko” from the character “Renko Usami”, a physics undergrad studying supernatural encounters.

It’s funny that I named my NAS Renko because I named the reverse proxy VPS Hearn, who just so happens to be her bestie :)

Steady-state Error, part 0

Thu, 16 Apr 2026 22:08:25 +0800

Introduction

I started to have the very first question regarding “steady-state error” when I was a sophomore. I still recall the first class in EE2002: Analog Electronics when the professor introduced the very first Operational Amplifier, and here is what he said:

“An Operational Amplifier, or an OpAmp, is a circuit that has infinite gain, infinite input impedance, and 0 output impedance.”

I was very confused back then. Out from all the 3 properties, the most counterintuitive one was the “infinite gain” property. I can still understand the engineering approximation of infinite input impedance due to CMOS nature, and 0 output impedance if you treat the output as a current source, but infinite gain doesn’t make any sense. For the next few classes, I learned that infinite gain of the OpAmp allows feedback structure to kick in, so that it can provide a gain per the feedback impedance structure.

However, I feel that something is off here but I can’t quite put my finger on it. I didn’t quite get the correct terminology until I turned into a junior when I was taking EE3019: Integrated Electronics when we were introduced feedback in a more well-defined way, and I become aware that there is a term called “steady-state error” that defines the difference between the desired settling value versus the actual settled value. I feel like, yes, this is the correct word I’ve been looking for.

I came across this once again when I started my PhD and started to design what’s called “Phase-Locked Loops (PLLs)”, a specific feedback structure that’s used to amplify a clean clock. I came across two different terms now: Type-1 and Type-2 PLLs. (I doubt whether a lot of PLL designers can actually tell the difference between the two). Interestingly enough, the textbook, nor the slides talk anything about why it’s named type-1 or type-2, as if it’s just a naming convention.

I wasn’t 100% clear on this matter until I took MEC237: linear control where I was introduced the book: Control System Engineering by Norman Nise, and looking into the book actually helped me understand the entire steady-state error theory.

The Problem Setup

Let’s go back and give the problem intuition. Suppose we have an OpAmp, and we would like to use it as a voltage follower, so we configure it like it’s a unit buffer:

Elementary analog circuit professor will tell you that because an ideal OpAmp has infinite gain, and it will always make sure both inputs are equal to each other. WRONG. There are at least two very hand-wavy explanation here:

The assumption of infinite gain is an idealization that doesn’t hold in practice.
The infinite gain assumption also doesn’t explain why it will make two inputs equal to each other.

In reality, the OpAmp’s gain depends on the transconductance gain $g_m$ and the loading impedance $R$, and we define our open loop gain to be

$$ A = g_m R$$

For the OpAmp connected in the abovementioned way, the small signal relationship between the input and output is given by:

$$ V_{out} = A(V_+ - V_-) $$

where $V_+$ and $V_-$ are the voltages at the non-inverting and inverting inputs, respectively.

Now we try to use that relationship to analyze the behavior of the unit buffer. We realize that here we have $V_- = V_{out}$, so solving the equation we have:

$$ V_{out} = A(V_{in} - V_{out}) \\ V_{out} = \frac{A}{1+A} V_{in} $$

Now, if we find the transfer function from input to output, we identify

$$ H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{A}{1+A} \neq 1 $$

which basically means that the output is going to be just slightly smaller compared to the input.

The reason we would like to make our amplifier to be infinite gain is that, if $A \to \infty$, we easily have

$$ H(s) = \lim_{A \to \infty} \frac{A}{1+A} = 1 $$

which means that the output will approach the input as the gain approaches infinity; otherwise there will be an error term between the real output versus the desired output, which is given by

$$ \begin{align} \Delta V &= V_{out,desired} - V_{out,real} \\ &= V_{in} - V_{out,real} \\ &= V_{in} - \frac{A}{1+A} V_{in} \\ &= \frac{1}{1+A} V_{in} \end{align} $$

We can conclude two things from this expression:

The error is inversely proportional to $(1+A)$. The larger the gain is, the smaller the error is. However, if the gain is finite, no matter what non-zero input we see, the output can never achieve the desired value.
The larger the input voltage is, the larger the error is.

We call the error value between the desired and actual output the steady-state error. This phenomenon happens in closed-loop systems where we would like to control a control plant to approach a value that we want, in this example, the OpAmp is both a controller, a control plant and a detector.

Now, the question becomes if we are able to reduce this error at all.

The Temporary Elixir: A Capacitor

The fix is surprisingly simple. We replace the resistor with a pure capacitor:

Let’s do a time-domain calculation here first. Let’s assume the output current of the $g_m$ cell is defined as $i$, then we have the relationship between $V_{out}$ and $i$:

$$ \begin{align} i &= g_m (V_{in} - V_{out}) \\ i &= C\frac{dV_{out}}{dt} \end{align} $$

This ODE is not too hard to solve by hand. Assume a 0 initial condition on $V_{out}$, we have

$$ V_{out} = V_{in} (1 - e^{-\frac{g_m t}{C}}) $$

The assumption that we had initial condition 0 is equivalent to say that, if we provide a step response at the input, the output looks like an exponential decay curve that gradually goes to the input voltage. If we let $t \to \infty$, then we can easily see that

$$ \lim_{t \to \infty} V_{out} = V_{in} $$

Nothing too fancy here; however, let’s move one step further; how about it if my input is not a step function, but a ramp function?

Ramp Response

Same circuit, but now my $V_{in} = t$. What happens to $V_{out}$? The ODE now becomes:

$$ \begin{align} V_{in}(t) &= t \\ i &= g_m (V_{in}(t) - V_{out}) \\ i &= C\frac{dV_{out}}{dt} \end{align} $$

Again, we can solve the ODE system by direct integration. This gives us:

$$ V_{out}(t) = t - \tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}} $$

where $\tau = \frac{C}{g_m}$.

Interestingly, if we now consider the steady-state error as a function of time, we have

$$ \begin{align} e(t) &= V_{in}(t) - V_{out}(t) \\ &= t - (t - \tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}}) \\ &= \tau - \tau e^{-\frac{t}{\tau}} \\ &= \tau(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \end{align} $$

As $t \to \infty$, unfortunately the error doesn’t die out, which would be what we have seen for a step response case. We show the plotting here as well:

In fact, we will see in later parts of this series, step input is called a “type-0” input, and ramp input is called a “type-1” input. The original R-loaded OpAmp is called a “type-0” system, and the C-loaded improved OpAmp is called a “type-1” system.

In the next section, we will introduce some very useful mathematics tool to help us analyze the system without solving the ODE every single time.

Poisson Point Process (PPP) and Bit Error Rate (BER)

Mon, 13 Apr 2026 21:42:59 +0800

I realize when I’m sharing my knowledge with my colleagues, they are largely not Chinese users. Therefore I’ll try to mark tech-related things down in English starting from today, in my blog.

Introduction

I was taking STAT150 last semester from UC Berkeley. Although the teaching wasn’t as engaging as I wished for, I was able to grasp most of the useful key concepts. One of the very useful mathematical models was the Poisson point process.

I encountered this process once again when I was doing my link measurement, when we were supposed to benchmark the chip’s bit error rate.

Here are two questions that arise from this:

If a link has a bit error rate of $10^{-15}$, what does this mean?

Does this mean that if I send $10^{15}$ bits, I’m likely to see 1 error, or I’m likely to see some error?

If I were to benchmark a link’s performance, how many bits should I send in order to confidently say that the link has a BER less than $10^{-15}$?

Does sending $10^{15}$ bits and observing no error suffice?

Without giving direct answers to both questions, let’s review some fundamentals.

Poisson Distribution

We give the formal definition of a 1D Poisson distribution here.

Definition (Poisson Distribution): A random variable $X$ follows a Poisson distribution with parameter $\lambda > 0$, denoted $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$, if its probability mass function (PMF) is given by:
$$ > \begin{align} > P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots > \end{align} > $$
where $k!$ denotes the factorial of $k$.

Key Properties:

The mean and variance of a Poisson distribution are both equal to the parameter $\lambda$:

$$ \begin{align} E[X] &= \lambda \\ \text{Var}(X) &= \lambda \end{align} $$

Intuitive Interpretation:

The Poisson distribution models the number of events occurring in a fixed interval of time or space, given that events occur independently at a constant average rate. The parameter $\lambda$ represents the expected number of events in that interval.

Common Applications:

Number of arrivals in a queue during a time period
Number of photons detected by a sensor in a fixed duration
Number of errors in a data transmission over a fixed number of bits
Number of radioactive decays in a given time window

Poisson Point Process

Definition (Poisson Point Process):

A Poisson point process (PPP) with rate (or intensity) $\lambda > 0$ is a stochastic process ${N(t) : t \geq 0}$ that counts the number of events occurring in the time interval $[0, t]$. It satisfies the following properties:

Independent Increments: For any non-overlapping intervals $[t_1, t_2)$ and $[t_3, t_4)$ with $t_2 \leq t_3$, the number of events in these intervals are independent random variables.

Stationary Increments: The distribution of the number of events in any interval depends only on the length of that interval, not on its starting time. Specifically, for any $t > 0$ and $s \geq 0$:
$$ > \begin{align} > N(s + t) - N(s) \sim \text{Poisson}(\lambda t) > \end{align} > $$

No Multiple Events: The probability of more than one event occurring in an infinitesimal time interval $dt$ is negligible, i.e., $o(dt)$.

Initial Condition: $N(0) = 0$.

Counting Process Characterization:

For a Poisson point process with rate $\lambda$, the number of events $N(t)$ in a time interval $[0, t]$ follows a Poisson distribution:

$$ \begin{align} P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots \end{align} $$

The expected number of events in time $t$ is:

$$ \begin{align} E[N(t)] = \lambda t \end{align} $$

Inter-arrival Times:

An important consequence of the Poisson point process is that the time intervals between consecutive events (inter-arrival times) are independent and exponentially distributed with rate $\lambda$. If $T_i$ denotes the time until the $i$-th event, then:

$$ \begin{align} T_i \sim \text{Exponential}(\lambda), \quad f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0 \end{align} $$

Condition on Event Count:

If we know $N(t) = k$, the positions of the $k$ events in the interval $[0, t]$ are distributed as independent and uniformly on $[0, t]$.

How does this relate to bit error rate?

If we operate a link, whether it will yield an error depends on whether the random jitter exceeds the eye width, thus we sample the incorrect data. Random jitter, however, follows a Gaussian distribution. If we assume the clock is centered at the quadrature point, and the eye width happens to be $6\sigma$, then we immediately arrive at the conclusion that the probability of success is $99.6%$. Given the clock is usually from a PLL whose jitter profile is a stationary process (after observing longer than the loop constant), we can safely say between symbols, the error probability is independent. Of course this is a very crude assumption because factors such as inter-symbol interference from a low-pass channel are not taken into account, but for simplicity let’s move forward with this assumption.

A quick note is that an open loop oscillator’s jitter sequence is not a stationary process; it’s a random walk. Meaning if we observe long enough, the oscillator’s phase deviation will grow unbounded. In the time domain, the jitter is just the instantaneous standard deviation, which grows over time.

Now, if we observe 10 such samples, each of them has independent success probability of $99.6%$, it shouldn’t be hard to see that the probability of all 10 samples being successful is $(0.996)^{10}$. The probability of having 1 error will be if one of them is having an error, and all others are successful. To extend this result, the error profile should follow a binomial distribution:

$$ \begin{align} \text{Error} \sim \text{Bin}(N, p) \end{align} $$

where $N$ is the number of bits sent, and $p$ is the probability of error for each bit.

This whole story now sounds like we are flipping an uneven coin every single time, and the total error count follows a binomial distribution. How does this relate to Poisson process?

Law of Rare Events

Theorem (Law of Rare Events, Poisson Limit Theorem):

Let $X_n \sim \text{Bin}(n, p_n)$ be a sequence of binomial random variables where $n \to \infty$ and $p_n \to 0$ such that $n \cdot p_n \to \lambda$ for some constant $\lambda > 0$. Then:
$$ > \begin{align} > \lim_{n \to \infty} P(X_n = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots > \end{align} > $$
In other words, $X_n \xrightarrow{d} X$ where $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.

Intuitive Explanation:

The Law of Rare Events states that when we have a large number of independent trials, each with a very small probability of success, the number of successes approximately follows a Poisson distribution. The key condition is that the product $n \cdot p$ (the expected number of events) remains constant as $n$ increases and $p$ decreases.

Practical Implications for Bit Error Rate:

In our BER context:

$N$ is very large (number of bits transmitted)
$p$ is very small (bit error probability, e.g., $10^{-15}$)
The product $\lambda = N \cdot p$ is the expected number of bit errors

Why This Matters:

Computing probabilities with a binomial distribution requires calculating factorials and large powers, which is computationally expensive. The Poisson approximation provides:

$$ \begin{align} P(\text{Error count} = k) \approx \frac{(Np)^k e^{-Np}}{k!} \end{align} $$

This is much simpler to work with, especially for answering our original questions about BER testing.

Now, let’s answer the two questions we had from the beginning.

Question 1: If a link has BER = $10^{-15}$, what does this mean?

This means that, on average, we expect 1 error for every $10^{15}$ bits transmitted. In other words, the probability of any single bit being in error is $10^{-15}$. However, it’s totally possible that we receive 0 errors, 2 errors, 3 errors, and if you get super unlucky, all your received bits are erroneous, but this is super, super, super, super unlikely, although the probability is not zero.

We use the following table to illustrate the probabilities of different error counts when we send exactly $10^{15}$ bits with BER = $10^{-15}$:

Error Count $k$	$P(\text{Error} = k)$	Cumulative Probability	Notes
0	$e^{-1} \approx 0.3679$	36.79%	No errors observed
1	$e^{-1} \approx 0.3679$	73.58%	Exactly 1 error
2	$\frac{1}{2}e^{-1} \approx 0.1839$	89.97%	Exactly 2 errors
3	$\frac{1}{6}e^{-1} \approx 0.0613$	96.10%	Exactly 3 errors
4	$\frac{1}{24}e^{-1} \approx 0.0153$	98.63%	Exactly 4 errors
5	$\frac{1}{120}e^{-1} \approx 0.0031$	99.94%	Exactly 5 errors
$\geq 6$	$\approx 0.0006$	$\geq 99.94%$	6 or more errors

Interpretation:

With $\lambda = 10^{15} \times 10^{-15} = 1$, the error count follows a Poisson distribution with parameter $\lambda = 1$. The table reveals several surprising facts:

Zero errors are most likely: There’s a 36.79% chance of observing no errors at all!
One error is equally likely: One error is also expected with 36.79% probability.
Multiple errors are possible: There’s a 27.4% chance of observing 2 or more errors.

This directly answers your first question: sending $10^{15}$ bits with BER $10^{-15}$ does NOT guarantee you’ll see exactly 1 error. You’re actually more likely to see either 0 or 1 error, with roughly equal probability.

Question 2: How many bits should I send to confidently establish BER < $10^{-15}$?

This is more complex and requires statistical hypothesis testing. However, we can provide some intuition using the Poisson model.

If we observe 0 errors after sending $N$ bits, what can we claim about the BER? Using the Poisson approximation with $\lambda = N \cdot p$:

$$ \begin{align} P(\text{0 errors observed} \mid \text{true BER} = p) = e^{-Np} \end{align} $$

Now, here comes a concept called “confidence level.” Confidence level means the probability of getting ourselves right. For example, if we want to confirm our bit error rate is <1e-15, but we only send 10 bits and see 0 errors, the confidence that I can safely say my bit error rate is <1e-15 is very low. However if I send 1e27 bits and I see 0 error so far, I can very confidently say that the link has BER <1e-15.

Then, how do we set our confidence level? What does this mean intuitively? Let’s take it the contrapositive way:

If I know my bit error rate = 1e-15, that means if I send 3e15 bits, it’s 95% probable that I’ll see at least 1 error.
The contrapositive of the above statement is that, if I observe 0 errors after sending 3e15 bits, I can be 95% confident that the true BER is less than 1e-15.

The math is shown below:

$$ \begin{align} e^{-Np} &= 0.05 \\ -Np &= \ln(0.05) \\ Np &\approx 2.996 \approx 3 \end{align} $$

This means to claim BER < $10^{-15}$ with 95% confidence after observing zero errors, we need:

$$ \begin{align} N \cdot 10^{-15} &= 3 \\ N &= 3 \times 10^{15} \end{align} $$

So the answer to Question 2 is: No, sending $10^{15}$ bits and observing no error does NOT suffice. You would need to send approximately $3 \times 10^{15}$ bits to claim with 95% confidence that the BER is less than $10^{-15}$.

Beyond Raw BER testing

SiTime has this useful webpage to calculate the experiment time based on the required confidence level and desired accuracy.

In real practice, sending 1e27 bits is usually not physically possible. Take a 256Gbps parallel link for example, 1e27 bits testing will take 3.9e15 seconds, meaning 1e12 hours, meaning 123 million years to complete. I am not sure if human civilization will still exist by then. Therefore instead, people assume a jitter profile (DJ+RJ), for example dual dirac + Gaussian, and use only RJ component to estimate the true bit error rate. This is also known as the bathtub method.

城市驿站：伊利诺伊之冬

Thu, 27 Nov 2025 08:12:35 +0800

我一直对生活在大湖边的人感到好奇。我还记得小时候去江苏看到太湖，然后别人告诉我这只是一个淡水湖而不是一个海的时候我的震惊。湖与大海，真的有那么大的区别吗？在人可以观测的范围内，他们看起来毫无区别–一望无际的水面，以及湖上刮来的大风–直到2025年的感恩节。

站在密歇根湖的旁边并且被咆哮的狂风刮得闭上眼睛，我想起了苏武在贝加尔湖边放羊的那种绝望感。

Chicago, IL

November 26th, 2025

11月26号的早上三点我从伯克利出发前往SFO。说实话在拥有了车子之后去机场都显得松弛地多，起码我完全不用担心打不到车的问题。在八十迈在bay bridge上飙车了半个小时后，我把车子放在BART station便去了机场。航班虽然超售了，但我还是顺利坐上了飞机。

到达芝加哥的时候是中午十一点，天气十分阴沉，完全没有加州的那种阳光明媚的好天气。芝加哥给我的第一印象–即便我还没走到地面上–就是巨大的机场。在机场滑行了大概的十分钟的我，查了一下资料才发现ORD是美国的第三大机场，是整个中西部地区的航空枢纽。

下飞机的第一感觉就是冷。说实话，芝加哥的冷和我以前体验的那种冷完全不一样。在福建的时候的冷顶多是刺骨的湿冷，是那种会在高湿度里穿透衣服直达骨头的攻击。在东北体验过的冷则是毫不留情的严寒，是那种完全不讲道理的零下三十度。而芝加哥的冷则来源于她旁边的大湖上刮来的犹如刀割一般的大风。在没有风的时候，温度并不能算特别低，也就零下两三度左右；但是风一旦吹起来我甚至无法睁开眼睛，而且体感温度一下子会降低十度，相当惊人。

到芝加哥的第二印象就是堵车。租到车之后我一路前往L在的海德公园，但是15miles的车程竟然开了我一个小时又十五分钟。I90-这条芝加哥的主干道-竟然遭遇了五起连环车祸而让我堵在路上动弹不得将近一个小时。

到达L家里的时候大概是下午两点了，吃了点烤鸡垫了肚子。之后一路走到湖边，风大到我的嘴唇都失去知觉。

下午去了一趟科学与工业博物馆，但是因为太困了只去小逛了一圈。看到了卡尔邓尼茨喜欢的U艇，巨大无比，十分夸张：

以及三德子的一些徽章：

因为实在太困了，于是吃完晚饭之后就去休息了，从晚上七点一直睡到了早上七点，整整十二个小时。

周四是感恩节。早上醒来在吃早饭的时候和L聊起欧亨利的《最后一片叶子》，这里摘取一点内容，虽然故事并没有发生在芝加哥（而是在纽约）：

然而，看呀！经过了漫长一夜的风吹雨打，在砖墙上还挂着一片藤叶。它是常春藤上最后的一片叶子了。靠近茎部仍然是深绿色，可是锯齿形的叶子边缘已经枯萎发黄，它傲然挂在一根离地二十多英尺的藤枝上。 “这是最后一片叶子。”琼西说道。

Champaign, IL

November 27th, 2025, Thanksgiving

之后就一路前往香槟去见W。从芝加哥到香槟要在I57上开大概两个小时。沿途的风景就是一望无际的平原，以及道路两旁边的玉米地。令人高兴的是，天气着实不错，阳光明媚，风也不大。

在这种重复性很强的道路上开车真的非常容易困，我一直在打哈欠。

到了香槟之后去了一趟W的家，这时候太阳出来了，相当暖和。W开着车带我和L去逛了一圈UIUC校园，因为是感恩节当天，所以校园里的人烟相当稀少，bookstore也关门了，有点可惜。

大概逛了一下ECE和CS的楼–都是很崭新的建筑，比起伯克利的设施要好很多，让我不禁想到OSU的校园，或许所有拥有在乡间的州立大学都是这样吧。

学校里的松鼠非常肥硕，完全不怕人。我猜幸存者偏差和自然选择在这时发挥了作用：只有那些吃的肚子鼓鼓囊囊的松鼠才能在IL的严酷冬天里存活下来。

香槟的中餐馆也很不错，或许是因为当地中国留学生非常多的原因。当地的豪车就像摆在展馆里一样琳琅满目。

UIUC有一个叫Japan Garden的地方，是一个日式的园林，里面的樱花树已经落叶了，呈现出一副衰败的冬日奇景。

IL的冬天，太阳下山的很快。四点半的时候我们启程离开香槟返回芝加哥，到达芝加哥的时候天已经完全黑下来了。我们去了唐人街吃了晚饭，然后送L去了机场，我们便打道回府了。

Back to Chicago

November 28th, 2025

28号是黑色星期五。我一觉睡到了早上九点，便把L拉起来前往探索芝加哥downtown。

芝加哥被评为“美国第三大都市”，仅次于纽约和洛杉矶。她也因为她鳞次栉比的摩天大楼，以及干净而漂亮的街景而闻名于世。我们早上先去了Grant Park，这里可以从湖边看到芝加哥的天际线。

芝加哥有一条穿过城市的河流，也就是“芝加哥河”。这条河流在历史上曾经被污染得非常严重，后来经过治理才变得清澈见底。现在芝加哥河两岸已经被开发成了一个非常漂亮的步行街区，沿途有很多餐馆和咖啡厅。

中午我们坐城市捷运去了西边的麦当劳总部，这个地方叫"Hamburger University"，相当直白的名字。门口的餐厅不定期供应世界上各种麦当劳餐厅的特色菜品，我尝试了一下波兰鸡肉卷，感觉还可以。

下午我们回到市区，去了Millennium Park，这里有芝加哥著名的“云门”雕塑。这个雕塑因为其独特的外形和反射效果而成为芝加哥的地标之一。

芝加哥还有一家很著名的星巴克门店，叫做“星巴克旗舰店”，位于密歇根大道上。这家店铺面积巨大，装修豪华，是星巴克在全球范围内最大的门店之一。这家店一共有四层，每一层都有不同的主题和设计风格。我照例点了一杯Chai Latte，然后在店里恢复体温。

晚上去了Navy Pier，这里是芝加哥著名的旅游景点之一。码头上有很多餐厅、商店和娱乐设施，还有一个摩天轮，可以俯瞰整个芝加哥市区的夜景。

晚霞下的芝加哥天际线非常美丽，宛如油画一般。

November 29th, 2025

28号晚上，天气预报放出了暴雪预警，整个IL都会受到影响–芝加哥也不例外。

29号起来之后发现一夜之间外头的街道和车子都被厚厚的积雪覆盖了。L说这是芝加哥今年入冬的第二场雪，好巧不巧给我赶上了。

因为下大雪，非常不想开车–于是坐了公交去了芝加哥市区。今天要逛芝加哥艺术学院（Art Institute of Chicago）。

从小到大在比较暖和的地方生活的我在这种大雪天气简直叫苦不迭。一边要防止自己被风雪吹得闭不上眼睛，一边还要小心翼翼地走在积雪覆盖的路面上，生怕一不小心就滑倒。到艺术馆的时候是早上十一点过一点，check in之后就开始参观了。

我预留了一整天时间来逛这个著名的艺术历史博物馆。芝加哥艺术学院收藏了大量的艺术品，从古代到现代，从欧洲到美洲，种类繁多，令人目不暇接。因为艺术作品太多了，所以我索性直接把照片贴出来，配上简短的说明。

我很喜欢下面几个罗马+希腊+拜占庭馆的藏品：

我也同样很喜欢武器边馆的展品：

下面这个展品相当令我惊喜：这是斐迪南二世的甲胄，他就是那个在三十年战争中被古二爷干爆的那个神罗皇帝。甲胄的左边画着马克西米利安一世，右边则画着查理五世。这个盔甲说是有波兰风格，因为是给轻骑兵用的。

出博物馆的时候已经是四点钟，外面依然下着茫茫大雪：

November 30th, 2025

十一月的最后一天，也是我在芝加哥的最后一天。早上起来雪还在下：

下楼发现车已经埋在厚厚的积雪里好久了，雪大概有十厘米深。花了点时间把车窗上的雪刮干净，然后车子甚至还陷在雪里面，打滑了好久前后摇晃才把车弄出来。之后就缓速开往芝加哥大学。

Uchicago在芝加哥南区，离L家不远。作为美国历史悠久的顶尖大学，她的校园风格散发一种新古典主义的魅力，这点可以从各种哥特式，文艺复兴风格以及罗马式建筑中看出来。当然校园里也不乏各种现代风格一点的建筑，比如这个图书馆的穹顶：

校园里有很多爬满爬山虎的建筑，覆盖在雪地上，显得格外有气氛。L评价是芝大的建筑和冬天相性非常合得来。我是感觉在苦寒里逛这种古典建筑群有一种卡娜莎之行的无奈朝圣感。

一路走到main quadrangle，这是一个典型的大学中庭，四周被教学楼和图书馆环绕。

我们看到路边有人在尝试堆雪人。L趁这个机会教了我怎么正确堆雪人：他的评价是刚下雪的时候雪的粘性是最好的，所以最好堆；正确的堆法是先捏一个雪团，然后在雪地上滚动，直到越来越大，于是就获得了一个大雪球，以此类推。我试了一下，果然很容易就能堆出一个不错的雪球。

比较好玩的是有人在广场上真的堆了一个相当拟人的雪人，L原本还以为是个穿白色衣服的人坐在那里：

背影相当有感觉：

猫猫：

然后一路逛到Booth商学院，一栋相当气派的建筑，可惜进不去：

然后经过芝大的纪念礼拜堂，发现有人在Carillon钟楼上演奏音乐。管理员破例让我们进去参观。

这个礼拜堂是比较哥特式风格的新教建筑，里面的牌匾记录者芝大在WWI和WWII中的牺牲者。

中午离开芝大，L带我去见了他的朋友W。我们一同去北芝加哥的韩国烤肉餐厅享受了美味的烤肉，以及恢复体温。回到L家里的时候已经是下午三点多了，在L家里玩Cabo直到四点钟，于是我启程前往ORD。

我始料未及的是ORD机场外面竟然堵了一个小时，于是我不得不在还掉租车之后一路狂奔到航站楼。结果托运行李的人告诉我我迟到了，让我购买下一班航班：我直接无视他的建议快速通过安检前往登机口，甚至装满水的水壶都不要了。到登机口的时候工作人员告诉我我已经被叫两遍名字了，舱门只有三分钟就要关闭了。于是我幸运地赶上了这班飞机。

比较讽刺的是这班飞机竟然延误了两个半小时才起飞。回到湾区的时候已经是PST11点钟了；从Millbrae下BART看到我心爱的车子还在停车场等着我，我感到如释重负。

当然后来凌晨十二点在Bay Bridge上还堵了半个小时之外令我十分恼火，不过终于还是安全回家。

后记

按照惯例我想对这个城市做一个模糊的描述。L说芝加哥在冬天相当不宜居，因为风大而寒冷。我的感觉是作为中西的枢纽城市，芝加哥相当有历史底蕴和丰富的城市遗产（交通规划另说）。这里的当地人也给我一种受过良好教育的印象。但是不得不说中西的冬天确实相当寒冷，这只有在十一月底，要是到了来年的一二月份估计街上一个人都没有，所以我怀疑这个城市的夜生活是那种比较死气沉沉的类型。总的来说芝加哥是一个值得旅居一段时间的地方，但是如果长期生活的话我还是更喜欢湾区的气候条件（以及事业机会）。

一个值得一提的彩蛋：我在飞机上重新看The Matrix才发现，片中Neo在回到现实世界的传送地点竟然在Wabash & Lake的交界处，其实就是周五City Walk的时候我和L的停车地点，有点意思。

主动滤波器(9)：频率变换(4)

Mon, 25 Aug 2025 22:17:53 +0800

在频率变换（3）里，我们证明了频率变换（1）里直觉性的推导实际上是充分必要的解。基于我们的证明，我们提出了几种基本的从低通滤波器衍生其他三种高通，带通和带阻滤波器的方法。

除了这三种简单的频率变换之外，这一节我们讨论几种特殊的频率变换方法。

理查变换 (The Richard’s Transformation)

假如说我们想要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，但是这个带通滤波器要有周期性响应，如下图：

在图中，我们将原本带宽为1 rad/s的低通滤波器变换为中心频率为π，2π…以及π的整数倍的带通滤波器。我们该如何实现这种滤波器？

根据频率变换（1）里讲的两条基本原则：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点

我们知道，这个变换的零点一定在$0$, $\pm \pi, \pm 2\pi, \ldots, k\pi $的位置上，而变换的极点一定在$\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \ldots, (2k+1)\frac{\pi}{2}$的位置上$k \in \mathbb{Z}$。

也就是说，我们的变换应该满足这样的形式：

$$ \begin{aligned} f(\omega) &= \frac{l \omega (\omega^2 - \pi^2)(\omega^2 - (2\pi)^2)\ldots}{(\omega^2 - (\frac{\pi}{2})^2)(\omega^2 - (\frac{3\pi}{2})^2)\ldots} \\ &= l_1\frac{[\omega(1-\frac{\omega}{\pi}^2)(1-\frac{\omega}{(2\pi)}^2)\ldots(1-\frac{\omega}{(k\pi)}^2)]}{[(1-\frac{\omega}{(\frac{\pi}{2})}^2)(1-\frac{\omega}{(\frac{3\pi}{2})}^2)\ldots(1 - \frac{\omega}{k\pi + \frac{\pi}{2}}^2)]} \\ &= l_1 \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2)} \end{aligned} $$

实际上，如果我们绘制分子这个无限乘积，它看起来就像：

事实上，欧拉告诉我们这两个无限乘积都是三角函数：

$$ \begin{aligned} \sin(\omega) &= \prod_{k=1}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2) \\ \cos(\omega) &= \prod_{k=0}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2) \end{aligned} $$

因此，我们有：

$$ f(\omega) = l_1 \frac{\sin(\omega)}{\cos(\omega)} = l_1 \tan(\omega) $$

如果我们把复频率换回普通的频率：

$$\begin{aligned} f(s) = f(j\omega) &= jl_1 \tan(\omega) \\ &= jl_1 \tan(\frac{s}{j}) = l_1 \tanh (s) \end{aligned} $$

由于我们把$\omega \rightarrow l_1 \tan \omega$, 因此如果截止频率为1，那么新的截止频率满足$1 = l_1 \tan(\omega_{\text{bw}}) $，也就是说如果指定一个新的截止频率，$ s \rightarrow \frac{\tanh s}{\tan \omega_{\text{bw}}}$. 如果我们不想要在$\pi$的通带中心点，我们则可以使用放缩。因此，最后的变换公式为：

$$ s \rightarrow \frac{\tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}}}{\tan \omega_{\text{bw}}} $$

电路实现

为了简单起见，我们不改变截止频率，只改变中心频率，那么$ s \rightarrow l_1 \tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}} $. 在此变换下，一个电感$sL$将会变换成一个$Ll_1\tanh(\frac{s\pi}{\omega_{0}})$.那么问题来了，我们真的有这样一个电子元件可以实现$\tanh$的频率响应特性吗？

传输线(Transmission Line)理论

这个电路就是我们熟知的传输线，如果读者对射频电路有所了解的话。一个传输线由两个平行导体和一个介质组成，信号在传输线中传播时，会在导体之间形成电场和磁场，从而实现信号的传输。传输线的特性阻抗与其几何结构和介质材料有关。波方程告诉我们，传输线需要满足电报员方程，而要满足电报员方程，我们只需要令正向传播的电压与电流和反向传播的电压与电流满足如下关系：

$$ \begin{cases} V(x) = V^+(x) + V^-(x) \\ I(x) = \frac{V^+(x)}{Z_0} - \frac{V^-(x)}{Z_0} \end{cases} $$

其中$Z_0$是传输线的特性阻抗（characteristic impedance）。

要描述一段传输线，除了传输线的特性阻抗之外，我们还需要这段传输线的时间差（time delay），这段时间差告诉我们电磁波从传输线的一端发射到另一端所需的时间，通常记为$\tau$。现在，假如我们在某个点满足传输线方程，我们把考虑的点左移动时间$\tau$，那么正向传播的时间将会被提前$\tau$，反向传播的时间将会被延后$\tau$，但是传输线方程依然需要成立：

$$ \begin{aligned} V^+ &\rightarrow V^+e^{s\tau_1} \\ V^- &\rightarrow V^-e^{-s\tau_1} \end{aligned} $$

假如我们把传输线的一端短路，那么欧姆定律一定要成立：

$$ V^+ = -V^-, V^- + V^+ = 0 $$

那么在传输线的另外一端，

$$ \begin{aligned} V_{in} &= V^+ (e^{s\tau} - e^{-s\tau}) \\ &= V^+ (2\sinh(s\tau)) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I_{in} &= \frac{V^+e^{s\tau}}{Z_0} - -\frac{V^-e^{-s\tau}}{Z_0} \\ &= \frac{V^+}{Z_0} (e^{s\tau} + e^{-s\tau}) &= $$

主动滤波器(8)：频率变换(3)

Thu, 21 Aug 2025 20:58:21 +0800

在上一节中，我们得出了两个关于纯LC电路输入阻抗的重要结论：

阻抗的零点和极点必须位于虚轴上。
阻抗（以及导纳）的留数必须是正实数。

本节将进一步分析纯LC网络阻抗在虚轴上的行为，并探讨频率变换的唯一性与实现方式。

柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)

对于复平面上的解析函数 $f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 分别为实部和虚部，柯西-黎曼方程给出了函数解析的必要条件：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} $$

由于LC网络的阻抗是有理函数，必然满足解析性，因此阻抗也必须满足柯西-黎曼方程。对于 $Z(s)$，有：

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] $$

也就是说，阻抗实部对实频率的变化率等于虚部对虚频率的变化率。

结合上一节的正实性结论，进一步有：

$$ \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] > 0 $$

并且，如果输入信号频率为实数，阻抗为实数；若频率为纯虚数，阻抗也为纯虚数。因此：

$$ \left.Z(s)\right|_{s=j\omega} = jX(\omega) \quad \therefore \frac{dX(\omega)}{d\omega} > 0 $$

简单验证如下：

对于电感：$Z(j\omega) = j\omega L \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = L > 0$
对于电容：$Z(j\omega) = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{-\omega C} \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = \frac{1}{\omega^2 C} > 0$

因此，LC网络输入阻抗在虚轴上的导数始终为正。这意味着在虚轴上不可能出现连续的极点或零点，否则会与单调性矛盾。如下图所示：

所以，极点和零点在虚轴上必定交替出现：

并且，零点数与极点数的差额最多为1。综合所有结论，频率变换的推导实际上是唯一的。

充分必要的频率变换

我们建立了所有需要证明充分性的理论基础，现在是时候来检验我们之前直觉推导的频率变换的唯一性了。

低通-带通变换

低通-带通变换的映射关系如下：

根据频率变换的第一节，变换函数需满足：

$$ f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

我们无法引入新的零点，因为差额已经为1.我们也无法引入新的极点。若新的极点为0，那么极点0的重数将不是1.若新的极点模长小于1，将不满足极点-零点交替出现的原则。若新的极点模长为1，将与零点抵消。若新的极点模长大于1，在频率为无穷大的时候的响应就不满足直觉。

由于无法引入新的极点或零点，唯一可调的是比例常数 $K$，且 $K$ 必须为正实数：

$$ f(\omega) = K\frac{(\omega - 1)(\omega + 1)}{\omega} $$

假设原低通滤波器带宽为 $\omega_{LP}$，则带通滤波器的两个截止频率满足：

$$ \omega_{LP} = K\frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

舍弃负频率，解得：

$$ \begin{cases} \omega_a = \frac{\omega_{LP}}{2K} + \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \\ \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{2K} - \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \end{cases} $$

有：

$$ \omega_a \omega_b = \omega_{LP}^2 = 1 $$$$ \omega_a - \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{K} $$

即，两个截止频率的几何平均为中心频率。带通滤波器的品质因子(Q) 定义为：

$$ Q = \frac{\text{Center Frequency}}{\text{Bandwidth}} = \frac{\omega_{LP}}{\omega_a - \omega_b} = K $$

最终映射为：

$$ s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right) $$

电感的变换：

$$ sL \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)L $$

即，电感 $L$ 变为电感 $\frac{LQ}{\omega_0}$ 与电容 $\frac{1}{QL\omega_0}$ 的串联：

这个结论符合我们的工程直觉，因为在DC的电感是一个短路，而在$\omega_0$的新电路也是短路。无穷频率的电感将是断路，而DC+无穷频率的新电路也是断路。

电容的变换：

$$ C \rightarrow \frac{QC}{\omega_0} \parallel \frac{1}{QC\omega_0} $$

即，电容 $C$ 变为电容 $\frac{QC}{\omega_0}$ 与电感 $\frac{1}{QC\omega_0}$ 的并联：

DC的电容是断路，而在$\omega_0$的新电路也是断路。无穷频率的电容是短路，而DC+无穷频率的新电路也是短路。

因此，低通-带通变换后，LC滤波器的阶数翻倍：

低通-高通变换

低通-高通变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{1}{\omega} $$

我们无法引入新的极点，否则零极点差额将会超过1.我们亦无法引入新的零点，否则无穷大的响应将不满足直觉。

因此我们能改变的只有成比例常数：

$$ f(\omega) = \frac{-K}{\omega} $$

我们一定要引入负号，否则新的阻抗不会是增函数。最终映射为：

$$ j\omega \rightarrow -j\frac{K}{\omega} \rightarrow \frac{K}{j\omega} $$

若需任意高通频率：

$$ s \rightarrow \frac{\omega_0}{s} $$

低通-高通变换后，电容变为电感，电感变为电容：

低通-带阻变换

低通-带阻变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1} $$

与带通变换一样，我们无法加入任何新的极点或零点。同样，唯一未知量为比例系数，且必须为负实数：

$$ f(\omega) = \frac{-K\omega}{\omega^2 - 1} $$

带阻滤波器的两个截止频率的几何平均为中心频率，品质因子定义同前。最终映射为：

$$ s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)} $$

电感变为电容与电感的并联，电容变为电容与电感的串联：

综上，频率变换的形式和参数均由网络的物理特性唯一决定，无法随意添加极点或零点。所有变换均严格遵循正实性和极点零点交替分布的原则。

频率变换类型总结表

下表总结了几种从低通出发的频率变换类型及其特性。

变换类型	变换公式	元件变换方式	阶数变化
低通 → 带通	$s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)$	电感 $\rightarrow$ 串联电感+电容电容 $\rightarrow$ 并联电感+电容	翻倍
低通 → 高通	$s \rightarrow \frac{\omega_0}{s}$	电感 $\rightarrow$ 电容电容 $\rightarrow$ 电感	不变
低通 → 带阻	$s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)}$	电感 $\rightarrow$ 并联电感+电容电容 $\rightarrow$ 串联电感+电容	翻倍

主动滤波器(7)：频率变换(2)

Wed, 20 Aug 2025 19:57:30 +0800

在上一节中，我们讨论了频率变换的工程直觉。简而言之，频率变换的核心准则只有一条：

零频点应映射到新的零点，无穷频点应映射到新的极点。

基于这一原则，我们通过直觉推导了从低通滤波器到其他类型滤波器的映射关系。然而，这些推导仅能得到“成正比”的关系，属于必要但不充分条件。

本节将进一步探讨纯LC电路的实现特性，并给出充分性证明。

特勒根定理（Tellegen’s Theorem）

在深入分析任何网络之前，我们先引入特勒根定理，为后续推导提供新的数学工具。

考虑如下图所示的网络，底部节点接地，各节点已标注电压与电流。每条支路可包含任意被动或主动元件，且可能为线性或非线性。

我们约定如下：

电流方向：流入节点为正，流出为负。
电压极性：高电位端为正，低电位端为负。

首先，我们可在节点1、2、3建立KCL方程，或用矩阵形式表示：

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5 \\ i_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

记为 $\textbf{A}\textbf{I} = \textbf{0}$。

这一关系总是成立，否则电流将无故产生或消失，违背物理定律。$\textbf{A}$ 的每一行对应一个节点的KCL，每一列对应一条支路的电流方向。

定义支路电压（Branch Voltage） 为第n支路的电压，例如支路1的电压为 $V_1 - V_2$。构建支路电压向量，满足：

$$ \textbf{V}_B = - \textbf{A}^T \textbf{V} $$

以本例验证：

$$\textbf{V}_B=\begin{bmatrix} V_1 - V_2 \\ -V_2 + V_3 \\ -V_2 \\ -V_1 \\ V_1 - V_3 \\ -V_3 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{bmatrix} = -A^T V $$

由能量守恒，有：

$$ \textbf{V}_B^T \textbf{I} = 0 $$

或展开为：

$$ \sum_k v_{bk}i_k = 0 $$

证明如下：

$$ \begin{aligned} \textbf{V}_B^T \cdot \textbf{I} &= (-A^T \textbf{V}_B)^T \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T A \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

上述推导基于KCL和KVL，并未假设元件类型或线性特性。特勒根定理进一步指出，即使支路电流和支路电压分别对应不同网络的元件，这一广义能量守恒关系依然成立。

考虑如下两个网络，A与B实现方式完全不同，A可能由电容、电感组成，B则可能包含主动源或其他元件。

同样有：

$$ \begin{aligned} \sum_k{v_{b1k}i_{2k}} &= - [A^T \textbf{V}_1]^T \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T A \cdot \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

这一结论极具普适性，表明只要网络结构相同，无论元件如何分布，广义能量守恒都成立。该定理适用于任意线性或非线性电路。

对于感性元件，功率定义为 $P = VI^*$，因此可得：

$$\textbf{V}^T_B \textbf{I}^* = \sum_k v_{bk} i_k^* = 0 $$

LC网络的极点与零点

考虑一个仅由LC元件组成的无损耗网络：

由能量守恒，有：

$$ \begin{aligned} |I_{1}(s)|^2 Z(s) &= \sum_{\text{All L and C}} v_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k i_k(s) i_k^*(s) + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} i_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s C_k} |I_k(s)|^2 \end{aligned} $$

令 $I_1(s) = 1$，则

$$ \begin{aligned} Z(s) &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} |I_k(s)|^2 \\ &= \sum_{\text{All L}} s P_1 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s} P_2 \end{aligned} $$

其中 $C$, $L$, $|I|^2$ 均为正实数，因此 $P_1, P_2 > 0$。

由此可得两点结论：

若频率变量 $s$ 为实数，则 $Z(s)$ 也为实数。
若 $s$ 有正实部，则 $Z(s)$ 的实部也为正。

我们将满足此性质的函数称为正实函数（Positive Real Function）。即对于仅含L和C的网络，有：

$$ \Re{[Z(s)]} \begin{cases} > 0 \text{ if } \Re[s] > 0 \\ = 0 \text{ if } \Re[s] = 0 \\ < 0 \text{ if } \Re[s] < 0 \end{cases} $$

复变函数的极点行为观察

观察复变函数在极点附近的行为。以 $\frac{1}{s - p_1}$ 为例，在极点 $p_1$ 左侧，函数实部为负；在右侧，实部为正。

若引入带有相位的留数（Residue），则分界线会随留数相位旋转。例如，绘制 $\frac{\angle 45^{\circ}}{s}$ 的实部分布：

若极点为重复极点，如 $\frac{1}{s^2}$，其实部分布如下：

而我们期望的函数实部行为应如下图所示：

因此，为使函数实部符合预期，需满足以下条件：

无左半平面极点，否则分界线将不在虚轴。
无右半平面极点，同理。
虚轴上的极点必须为简单极点（重数为1），否则分界线将非对称分割复平面。
留数必须为正实数，否则分界线将发生旋转。

此外，实系数函数的极点必以共轭对出现。上述讨论对导纳同样适用，因此零点也满足类似约束。

下一节将进一步探讨LC网络在虚轴上的零极点分布。

主动滤波器(6)：频率变换(1)

Wed, 23 Jul 2025 21:35:22 +0800

到目前为止，我们的所有讨论都是基于低通滤波器的。我们讨论了：

如何进行理想低通滤波器的近似
基本的网络合成方法：使用双端LC滤波器的标准形式来设计全极点滤波器，以及第二类切比雪夫滤波器

从这一节开始，我们讨论如何将一个低通滤波器转换为其他类型的滤波器，比如高通、带通和带阻滤波器。也就是说，在以后的工程实践中，我们并不需要从头开始设计每一种滤波器，而是可以通过频率变换，将一个低通原型滤波器转换为其他类型的滤波器。

1. 频率变换的基础：缩放操作

1.1 低通缩放(Scaling)

我们知道最基本的频率变换：缩放(Scaling) 。我们之前所有设计的滤波器的截止频率都是1 rad/s，然而在现实生活中，这个值显然不现实。对于一个吉他的效果器而言，我们可能需要的截止频率是1000 rad/s。我们可以通过缩放来实现这个目标。

假如我们原来的传递函数是$H(s)$，只要把$s$替换为$s/\omega_0$，就可以得到一个新的传递函数$H(s/\omega_0)$，其中$\omega_0$是我们想要的截止频率：

$$s \rightarrow \frac{s}{\omega_0} \quad \therefore \quad H(s) \rightarrow H\left(\frac{s}{\omega_0}\right)$$

使用缩放操作，我们有以下关系：

$$\omega \rightarrow \frac{\omega}{\omega_0}, \quad j\omega \rightarrow j\frac{\omega}{\omega_0}, \quad s \rightarrow \frac{s}{\omega_0}$$

1.2 元件阻抗的变换

我们可以看到，使用缩放操作，我们只需要变换原网络里的角频率。哪些元件的值里包括了角频率？答案是只有感性元件有这个特征，因此我们有下列表格展示在缩放情况下的阻抗变换：

元件类型	原阻抗	缩放后的阻抗	评论
电阻(R)	$R$	$R$	无变化
电感(L)	$sL$	$\frac{sL}{\omega_0}$	除以$\omega_0$
电容(C)	$\frac{1}{sC}$	$\frac{\omega_0}{sC}$	乘以$\omega_0$
主动元件(G)	$G$	$G$	无变化

重要结论：只有感性元件的阻抗在缩放时会发生变化。

这种低通到低通的变换非常简单，并且是线性操作。然而很不幸，如果我们要将一个低通滤波器转换为高通滤波器，转换函数将不会是一个线性函数。

一个值得注意的事实是，感性元件在经过变换之后，依然是感性元件。由于感性元件也是无损耗的，因此我们想要保留这个特性，从而保证在变换之后的滤波器依然是无损耗的。

2. 频率变换的基本原则

频率变换不是想怎么变就能怎么变的。假如我们有以下的变换映射：

$$\omega \rightarrow f(\omega)$$

那么，$f(\omega)$必须满足以下条件：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点
截止频率映射：$\omega$的截止频率也必须移动到$f(\omega)$的截止频率

2.1 带通滤波器的变换

根据上述原则，我们可以得知如果我们要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带通滤波器的零点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = 0$
- 我们同样做了归一化假设
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带通滤波器的极点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = \infty$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega}$$

注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.2 高通滤波器的变换

同样的，对于高通滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到高通滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\infty) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到高通滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0) = 0$
截止频率映射：高通滤波器的截止频率满足$f(1) = 1$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{1}{\omega}$$

再次注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.3 带阻滤波器的变换

同样的，对于带阻滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带阻滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带阻滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = 0$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1}$$

我们需要做最后一次提示，注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.4 可实现性条件

除了要满足上述映射要求之外，滤波器的基本稳定性要求也必须得到满足。也就是说，滤波器的极点必须在左半平面内，否则滤波器就会不稳定。由于传递函数的倒函数也是一个有效的传递函数，因此这个要求也必须满足于零点上。

稳定性要求：

所有极点必须位于左半平面
所有零点也必须位于左半平面或虚轴上
变换后的滤波器必须保持因果性和稳定性

3. 变换函数的性质总结

通过以上分析，我们可以总结出各种滤波器变换的基本形式：

滤波器类型	变换函数形式	零点-极点映射特征
低通→低通	$s/\omega_0$	线性缩放
低通→高通	$1/\omega$	零极点互换
低通→带通	$(\omega^2-1)/\omega$	一个极点/零点分裂为两个
低通→带阻	$\omega/(\omega^2-1)$	一个极点/零点分裂为两个

最后一次提示，以上变换函数都是成正比的关系，实际应用中可能需要根据具体情况添加其他因子。但是在下一节中，我们将证明其他因子只会是一个常数。

主动滤波器(5)：双端LC滤波器(2)

Wed, 23 Jul 2025 19:28:55 +0800

在上一节中，我们解释了如何使用双端LC滤波器的标准形式来设计一个全极点滤波器。总结起来，我们有以下的设计流程：

设计传递函数$H(j\omega)$
进行各种归一化假设
通过$H(j\omega)$推导反射系数$\Gamma(s)$
通过$\Gamma(s)$推导输入阻抗$Z_{in}(s)$
通过$Z_{in}(s)$推导整个滤波器的电路结构

我们知道，使用双端LC滤波器的标准形式，输入阻抗可以表示为：

$$Z_{in}(s) = sL_1 + \cfrac{1}{sC_1 + \cfrac{1}{sL_3 + \cfrac{1}{\ddots}}}$$

这是一个有限的连分数形式。我们可以通过这个公式推导出$Z_{in}(s)$，从而得到滤波器的电路结构。

本节将对LC标准形式进行总结，并讲解一些特殊情况的处理方法。

1. 全极点LC滤波器的性质

双端LC滤波器具有以下重要性质：

反射系数特性：在通带内，反射系数几乎为0；在阻带内，反射系数接近1
零点特性：在传递函数的零点处，反射系数为0
阶数限制：使用LC标准形式，我们只能实现传递函数的分子和分母阶数差不超过1的滤波器
- 这是因为在频率趋近于无穷时，输入阻抗只能表现为L、R、C中任意一种形式的特性
可实现的滤波器类型：
- 奇数阶或偶数阶巴特沃斯滤波器
- 奇数阶第一类切比雪夫滤波器
- 无法实现偶数阶第一类切比雪夫滤波器，因为其直流增益不等于1/2

那么，我们能否实现第二类切比雪夫滤波器？答案是肯定的，但需要对双端LC标准形式做适当的改进。

2. 第二类切比雪夫滤波器的电路实现

2.1 有限零点与谐振回路

第二类切比雪夫滤波器具有有限零点，而标准的双端LC形式只能实现全极点滤波器。因此，仅使用标准形式无法插入有限零点，从而无法实现第二类切比雪夫滤波器。

解决方案是引入谐振回路(Resonant Tank) 。

并联谐振回路

并联谐振回路的结构如下：

对于并联谐振回路，其输入阻抗为：

$$Z_{in}(j\omega) = \frac{1}{j\omega C} \parallel j\omega L = \frac{j\omega L/C}{1 - \omega^2 LC}$$

串联谐振回路

对于串联谐振回路，其输入阻抗为：

$$Z_{in}(j\omega) = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1 - \omega^2 LC}{\omega C}$$

谐振特性

在$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$时：

串联谐振回路的阻抗为0
并联谐振回路的阻抗为无穷大

这个特殊的角频率称为谐振频率(Resonant Frequency)。利用谐振回路的这一特性，我们就可以在滤波器中插入有限零点。

2.2 设计实例：三阶第二类切比雪夫滤波器

让我们尝试实现一个三阶第二类切比雪夫滤波器，使用如下电路结构：

2.2.1 输入阻抗函数

三阶第二类切比雪夫滤波器对应的输入阻抗为：

$$Z_{in}(s) = \frac{2s^3 + 0.6746s^2 + 0.2271s + 0.0400}{0.6746s^2 + 0.2271s + 0.0400}$$

设计提示 (Shanthi Pavan): 当设计具有无理系数的滤波器时，舍入规则的经验法则是保持有效数字位数等于滤波器的阶数。例如，三阶滤波器应保留3位有效数字。否则，舍入误差会在求解电路其余部分时产生负阻抗。

2.2.2 高频特性分析

在无限频率时，由于电容短路，电感占据阻抗的主导地位，因此：

$$L_1 + L_2 \parallel L_3 = \frac{2}{0.6746}$$

2.2.3 零点条件

由于$Z_{in}(s) = sL_1 + Z_{in1}(s)$，我们需要确保在传递函数的零点处，串联谐振回路的阻抗为0。

这样设计的原因有两个：

在传递函数的零点处，反射系数为0
当谐振回路将剩余阻抗全部短路时，所有输入能量都被反射，负载端电压为0

因此，在零点频率$\omega_z$处：

$$Z_{in}(j\omega_z) = j\omega_z L_1$$

通过计算可得：$L_1 = 2.8384\text{H}$

2.2.4 剩余电路分析

去掉$L_1$后，剩余部分的输入导纳为：

$$Y_{in}(s) = \frac{0.6742s^2 + 0.2271s + 0.0400}{0.0852s^3 + 0.0299s^2 + 0.1135s + 0.0400}$$

串联谐振回路的导纳为：

$$Y_{\text{resonant}}(s) = \frac{sC_2}{1 + s^2L_2C_2}$$

在$\omega_z$处，导纳趋近于无穷大，且$\omega_z = \frac{1}{\sqrt{L_2C_2}}$。

关键观察：在接近$\omega_z$时，$Y_{\text{resonant}}(s)$和$Y_{in1}(s)$的行为非常相似：

$$\lim_{s \to j\omega_z} Y_{in1}(s) = \lim_{s \to j\omega_z} Y_{\text{resonant}}(s)$$

由于只有一个未知数，可求得：$C_2 = 5.6745\text{F}$

剩余求解过程比较直接。使用与上一节相同的方法，可求得：$L_3 = 2.838\text{H}$

代入所有值后，剩余阻抗为1Ω，正符合我们的负载预期。

2.3 偶数阶第二类切比雪夫滤波器的局限性

很遗憾，我们无法使用双端LC滤波器实现偶数阶第二类切比雪夫滤波器，因为在频率趋近无穷大时，要求的传递函数值非零，这与LC电路的物理特性相矛盾。

3. 总结

本节完成了对双端LC滤波器标准形式的总结，并介绍了如何使用谐振回路来实现奇数阶第二类切比雪夫滤波器。

到目前为止，我们的讨论都集中在低通滤波器的设计。读者可能会好奇：我们如何设计其他类型的滤波器——高通、带通、带阻滤波器？

在接下来的章节中，我们将展示一种优雅的数学变换方法，通过频率变换技术，可以将一个低通原型滤波器等价地转换为其他类型的滤波器。这种方法不仅在理论上具有重要意义，在工程实践中也有广泛应用。

Rock and Roll Ain't Noise Pollution

Tue, 22 Jul 2025 22:50:43 +0800

重摇滚？

在2025年夏天之前，我算是个音乐"老登"——听的音乐类型基本仅限于古典音乐、一些简单的华语流行（听很多许嵩），以及一些东方同人音乐（如果你是我navidrome服务器的用户，应该能从中窥见一斑）。

至于摇滚，基本只听华语乐坛的一些乐队，比如万青、草东、崔健、痛仰。我喜欢其中的一些专辑，像万青的同名专辑和《冀西南林路行》，痛仰的《今日青年》、《不要停止我的音乐》、《不》等等。

说来惭愧，我对摇滚的理解相当肤浅——基本还是在享受音乐的旋律部分。在摇滚里寻找旋律性，就像在青楼里寻找爱情一样令人捧腹。

内心有一个声音在说：“这样不好吗？我确实很享受有节奏感的古典音乐以及有旋律感的摇滚。”

然而另一个声音在撕心裂肺地咆哮：

“你听的是什么伪摇滚！要听就去听硬摇滚！摇滚的精髓就是摇，我的老伙计。”

直到买车前的一个周末，我偶然点开了AC/DC的"Highway to Hell"。刚开始听前奏和主歌时，内心毫无波澜，脑子里想的是"这不就是吉他疯狂扫弦，主唱在那撕心裂肺地吼吗？"

然而当副歌响起，所有乐队成员和观众都在怒吼"Highway to Hell"的时候，我突然发现身体开始不由自主地摇摆。整条脊椎从脖子到腰开始涌起阵阵战栗，头皮发麻。很奇怪，理性的我完全无法理解这种感觉，但感性的我已经彻底沦陷了。摇摆，跟唱，一遍遍循环。回过神来时，我已经下载了AC/DC的全部专辑。

Back in Black

到现在我听过了《Highway to Hell》、《Dirty Deeds Done Dirt Cheap》、《Let There Be Rock》等专辑，但正如大多数人的评价，《Back in Black》确实是AC/DC最好的专辑。

整张专辑的每首曲子都深深打动我，无论是编曲还是歌词，抑或两者兼而有之——我能感受到这是一个乐队将灵魂注入音乐的作品。当Brian Johnson尖叫着"Hell’s Bells"时，我感觉生命在燃烧；当《Back in Black》的间奏响起时，我不仅想摇摆，还想退化成原始生物，在蛮荒的大地上狂奔。

最让我震撼的，是这张专辑的最后一首——《Rock and Roll Ain’t Noise Pollution》。她也许不是最震撼的那一首，也不是最出名的那一首，但在我看来，这是最有力量、最有感染力、也最倾注灵魂的那一首。特别是播放到最后那句"Rock and Roll Ain’t Gonna Die"时，我哭了。我愿意相信，这就是整个AC/DC的人生信条，这句话将伴随他们直到永远。

Rock and Roll Ain’t Noise Pollution

说实话，这首歌有种回归民谣摇滚的感觉，但本质依然是硬摇滚。只是Brian Johnson的声音没有那么尖锐，反而带着某种温柔，像是褪去了摇滚狂暴的外衣，露出真正的内核。当人们看到这个本质时，才会明白摇滚并非噪音污染——或者说，“噪音污染"本身就是对摇滚的亵渎。

让我谈谈对歌词的理解。

Hey there, all you middle men
Throw away your fancy clothes
And while you’re out there sittin’ on a fence
So get off your ass and come down here
‘Cause rock ’n’ roll ain’t no riddle, man
To me, it makes good, good sense
Good sense, let’s go

把观众称为"middle man”，似乎带着对立的意味，仿佛在说你们这些人只会坐在一旁观望。但另一方面，这也可能是在呼唤觉醒，让人们意识到摇滚的真正意义。说实话，我有种从"middle man"觉醒的感觉。

当Brian大喊"good good sense"时，我真的被他的情绪完全感染了。摇滚，it just makes good good sense！不需要任何多余的理由，摇滚就是make sense。就像George Mallory被问"为什么要攀登珠峰"时回答的：“因为山就在那里。“为什么摇滚？因为it just makes sense！

Heavy decibels are playing on my guitar
We got vibrations coming up from the floor
We’re just listening to the rock that’s giving too much noise
Are you deaf, you want to hear some more?

“Are you deaf, you want to hear some more？”

如果你去过AC/DC的演唱会，一定会对现场的音量心生敬畏。这是直击灵魂的音量，以至于主唱现在已经处于失聪的边缘。然而，do you want to hear some more？耳朵只是载体，灵魂才是真正的听觉器官。摇滚的音量是灵魂的音量。贝多芬虽然耳聋，却不影响他创作出伟大的交响乐——因为他依然能够"听”。You wanna hear some more？Absolutely！

We’re just talkin’ about the future
Forget about the past
It’ll always be with us
It’s never gonna die, never gonna die

逝者已矣，我们要将目光投向未来。某种精神——纵使肉体化为尘土——将永远延续，始终存在。

Rock ’n’ roll ain’t noise pollution
Rock ’n’ roll ain’t gonna die
Rock ’n’ roll ain’t no pollution
Rock ’n’ roll is just rock ’n’ roll
Rock ’n’ roll ain’t noise pollution
Rock ’n’ roll ain’t gonna die
Rock ’n’ roll ain’t no pollution
Rock ’n’ roll, it will survive
Rock ’n’ roll ain’t noise pollution
Rock ’n’ roll will never die
Rock ’n’ roll ain’t no pollution
Rock ’n’ roll
Ah, rock ’n’ roll is just rock ’n’ roll

这是最后的副歌。我很难描述这种感觉，它就像一个宣言，一个信仰的告白。摇滚不是噪音污染，摇滚不会死去，摇滚就是摇滚。它将永远存在，永不消逝。

我很难描述听到最后这段时的感受。我不指望读到这里的你能完全与我共鸣。但是如果你耐心听到开头的Youtube链接直到最后，或许有那么一瞬间，我们的灵魂会产生那么一点火花。

城市驿站：波特兰｜俄勒冈

Thu, 17 Jul 2025 23:35:30 +0800

CT: Congrats on getting the internship offer!
Di: Thanks.
CT: So, I’m asking if you are interested in working in Portland, Oregon instead of Cupertino?
Di: … what?

2025年的暑假因为上述的工作原因，我来到俄勒冈州的波特兰做暑期实习。除了想要换一下环境之外，H作为我的学长也愿意给我提供住宿。

Things just work out, I guess. 换换环境，不也挺好的吗？

May 25th 2025

在结束了半周的BWRC retreat之后，我自认收获了一些不错的反馈意见。在结束了整整两个月的紧张刺激Tapeout crunch之后，我终于可以放松一下了。

下飞机的时候，波特兰是多云天气，让我有一些小意外–这是一个在湾区不大会碰见的天气。PDX很干净，也很令人感到舒适–并没有NRT那样虽然干净但是让人觉得很像停尸间的感觉，也没有像SIN那样富丽堂皇地让人不近人情（虽然我也很喜欢樟宜机场）。我很快就拿到了行李，H也在机场的出口处接到了我。

回家之后看到了属于自己的一亩三分地–一个小小的side room，这就是我接下来三个月的容身之所。

Late May

在波特兰的第一周主要是熟悉工作Flow。周末H带我去看了一下Beaverton的Apple Campus，熟悉了一下当地的交通。

当天也乘坐了当地的公共交通，地上轻轨MAX。

除了开始紧锣密鼓地和小老板K开始做简单的讨论之外，也趁周末的时间去了一下波特兰附近的景点。和H在某天傍晚一起去了Washington Park里的Rose Garden – 波特兰也被称为“玫瑰之城”，因为这里的气候非常适合种植玫瑰花。

Early June

我很高兴能够和一群知道我在说什么的聪明人一起工作。作为一个追求纯粹的工程师，我们只信奉技术本身。当别人指出我的论证漏洞时，我会更开心。而且我每天的工作其实就是要么挑战我的老板，要么让我的老板挑战我，然后比赛数学基础以及设计电路来论证我们的数学直觉。

我的Cube有三块白板，但是几乎每天都会被绘制满，完全不够用。当然在擦拭白板的时候我能感到强烈的思维在我的大脑里飞速运转，我很享受这种感觉。

西海岸从南到北是逐渐下雨的趋势。LA和San Diego热的要命，湾区比较温和，但是两个地方都不怎么下雨。波特兰冬季下雨，而我来的时候是初夏，天气还是很好的。西雅图就几乎只有夏天有好天气了，而温哥华更是糟糕。

在下雨的时候雾气会遮挡住Mount Hood的山顶。H告诉我，城里的居民曾经抗议过城里的另外一个建筑，因为挡住了Mount Hood的视线。波特兰的居民非常喜欢这座山。

每天的日常大概就是早上7点起床，做早饭。然后开H的leaf去上班，一直到下午七八点才回来，因为US26上在4-6点的时间段是最堵的。回家之后吃晚饭，和H聊聊天，然后和J视频通话，最后再去洗漱。

六月一号的周末我和H去了波特兰的Multnomah Falls。这个瀑布是波特兰的地标之一，位于哥伦比亚河峡谷的边缘。在这里我们可以直接观赏到壮观的瀑布景象；并且登顶之后可以直接俯瞰Columbia River，看到河对岸的WA。

我很惊讶这个地方竟然不是国家公园，而是州立公园。H告诉我，这个地方的管理非常好，维护得也很不错。

俄勒冈也因为她的啤酒文化而闻名。这里有许多酿酒厂，提供各种各样的本地酿造啤酒。我们在来的第一天就去了Little Beast Brewery，尝试了几种不同的啤酒，说实话让我非常惊艳。

六月六号的时候，波特兰的动物园有一个特别的活动，叫做“Zoobrew”。在这个活动中，动物园会延长开放时间，并且提供现场啤酒和美食。我们在傍晚时分来到了动物园，享受了这个独特的体验。

六月被称为波特兰的“玫瑰月”，因为这个时候正是玫瑰花盛开的季节。在这个月里波特兰会举办各种城市庆典。六月六号的时候有一个叫海军节的活动，来了两艘USS的驱逐舰。

周末的时候也和H还有他的朋友S以及他的妻子N一起去了Cannon Beach。这个海滩位于俄勒冈州的北海岸，以其壮观的海蚀岩和美丽的沙滩而闻名。我们在这里度过了一个愉快的下午，享受了海风和阳光。

Cannon Beach的标志性景点是Haystack Rock，这是一块巨大的海蚀岩，位于海滩上。它是一个受保护的自然区域，周围有丰富的海洋生物和鸟类。

Middle-Late June

六月十五号的时候我和H一起去了Mount Hood。终于要近距离观察这座山了，我这样想。

Mount Hood得名于英国的海军上将托马斯·胡德（Thomas Hood），是俄勒冈州的最高峰，海拔3,426米。在波特兰甚至比弗顿(Beaverton，我上班的地方)都能看到这座山，非常壮观。

除了Mount Hood之外，在波特兰市区内还可以看到Mount Adams和Mount St. Helens。Mount Adams位于华盛顿州，而Mount St. Helens则是著名的火山，1980年爆发时造成了巨大的破坏。

我和H在这一天走了整整20miles的路程，一直爬到Mount Hood的雪线才回来，回家的之后腿都要散架了。

在晚上回程路上在Hood River的一个小镇停留，吃了晚饭。Hood River是一个非常美丽的小镇，位于哥伦比亚河峡谷的边缘，以其风筝冲浪和各种酒庄闻名。我和H去了一直想去的pFriem总部；pFriem是一家在俄勒冈州非常有名的酿酒厂，以其精酿啤酒而闻名。确实，啤酒风味非常惊艳，完全不苦，并且果味非常浓郁。青口贝作为下酒菜也十分美味。

六月剩下的时间H要离开OR一段时间，留我看家。H留了很多植物，我不得不学习如何照顾她们（我甚至写了精确的todo时间表来提醒自己什么时候应该浇水）。

这段时间我就开着H的leaf上下班，看到了一些奇怪的车牌：

H不在的时候偶尔也和老板K一起出去喝酒。Again，波特兰的酿酒文化让我大开眼界。K是一个非常纯粹的工程师；他对波特兰的评价是“终于让他从AZ的酷热中解救了出来”。

波特兰有一个很著名的书店，叫做Powell’s Books. 书店（骄傲地）号称自己是世界上最大的独立书店。书店的面积非常大，几乎可以说是一个迷宫。书店里有各种各样的书籍，从新书到二手书应有尽有。我有空会去Cedar Hill的那家书店逛，然后买点便宜二手书和冰箱贴。

我很喜欢Powell’s Books的氛围，书店里的书非常非常多，而且配色也是我很中意的暖色调。结账的时候店员会送你一个书签–书签的种类和你买的书的种类有关。

波特兰在六月底也终于慢慢变热。夏天来了。有时候我会想念伯克利10-20度的凉爽（偶尔有点冷）的天气。

Early July

独立日假期J跨越一整个北美大陆来找我玩。J做了令人惊讶的详细旅游攻略，包括了一些我没有想到的波特兰打卡地点。

因为H的leaf续航实在太差，我不得不再租一辆车。J来的时候我租到一辆Jeep Compass，油耗极高（无语），但是坐起来很舒服。我们去了Powell的总店，重新去了一下Multnomah Falls，Saturday Market，去了Pittock Mansion俯瞰整个波特兰，以及到周边的地方都逛了一逛。

J在独立日假期过后就和我说拜拜了–再见大忙人。我也不得不再回到CA去出差。说实话这一段其实并不符合这篇文章的主题，但是反正都是chronological order，谁在乎呢。

七月八号早上我从PDX飞SJC。早上四点五十六的时候天就露出鱼肚白了，非常美丽。

花了两天时间和老板K还有一些其他的超级大佬见面，学到了很多东西–看看比我活了多三十岁的工程师是如何思考的。我很高兴我的工作也很让他们惊喜。

回到波特兰，H已经从他的旅行中回来了。我们抽空去逛了一下Mississippi Avenue。Mississippi Avenue是波特兰的一个非常有趣的街区，充满了独立商店、餐馆和酒吧。

一个叫Controlled Voltage的店卖很多的Synthesizer，非常酷。

H不在的时候我也会把pFriem买到的啤酒拿出来开胃。

Late July

回波特兰还要做的另一件事情就是买车了。说实话买车这件事我心动了很久，但是一直没有预算和理由。现在我在外地工作，当然要趁这个机会买一辆便宜的车子，之后开回加州提升生活质量。

看了一大圈，还是比较喜欢Toyota Prius的耐用和省油。七月十九号的时候去到处看了一圈车，当晚就看中了一辆交了定金。

H教了我很多买车的技巧–包括如何检查车况，如何谈判价格，以及如何挑保险。当天看了大概四辆车，这辆黑色的Prius是我最喜欢的。车况很好，价格也很合理。

公司在月底的时候有一个夏季野餐活动。我们去了Hillsboro的一个酒庄喝了很多香槟，可惜的是Taco的队伍拍的特别长，根本吃不饱，但是景色非常漂亮。

在拥有车的第一个周末，我开车往南去了OSU，拜访了一下一个朋友，之后去了西边的US101俄勒冈海岸逛了一圈。风景非常漂亮，并且天气一如既往的好。

第一次试车，开出了很不错的油耗。

还买到了很棒的冰箱贴！

Early August

进入八月，我的实习也逐渐开始进入倒计时。这段时间比较忙活的事情是收拾各种朋友们要我托带回CA的免税商品（我是合法走私犯）：

以及各种忙着给朋友们寄明信片。大家收到我从OR寄出去的明信片跨越大洋彼岸，纷纷表示惊喜。

H家旁边就是山，野生动物很丰富。

我也趁这段时间买了很多我自己需要的东西，衣服裤子户外用品之类的。

十号的时候和H一起去了St Helens。这是一座很活跃的火山，周围的风景非常美丽。然而最近的一次爆发，1980年造成了巨大的破坏，至今仍然可以看到火山口的痕迹。

可以在St Helens的观景台同时看到St Helens和Mount Adams。

晚饭吃了很好吃的Nachos和Texas BBQ。

Vancouver, WA是一个很美丽的城市，然而大多数人住在这里只是想享受WA的免收入税和OR的免销售税政策。

月中的时候，热浪袭来。夏天马上就要画上句号了。

H这段时间顺便也教了我他修车的毕生所学，包括如何换保险杠，如何车内走线，以及如何开他的手动挡Honda Fit，上坡起步让我十分头痛，只能说2020年的回旋镖终于又打回到了我的身上。

继续探索Beaverton的餐馆：

Late August

15号的时候H又要出远门了，那天晚上下着点小雨。我送他去了机场，回来的时候我的车车又开出了惊人的油耗：

H走了之后我要留在家里看最后一周家，帮帮他推推垃圾箱，以及照料他的植物。值得庆幸的是H并没有猫咪或者狗狗不然估计我这个班也不用上了。

那个周末也是在俄勒冈的最后一个周末，我在阴沉的天气里去了一趟Astoria。Astoria是俄勒冈州的一个小镇，位于哥伦比亚河的入海口，以其历史悠久的建筑和美丽的海景而闻名。

先去了一趟Astoria的Columbia River Maritime Museum。这个博物馆展示了哥伦比亚河的航运历史和海洋文化。博物馆里有许多关于渔业、航运和海洋生物的展览。当然，Astoria也因为各种船难闻名，因为哥伦比亚河的河口河流湍急，非常容易搁浅。

H推荐我去了一趟Josephson’s Smokehouse。这个地方是一个非常有名的海鲜餐厅，以其新鲜的海鲜和美丽的河景而闻名。我点了一份烟熏三文鱼三明治，味道非常好。

吃完午饭去了一趟Fort Stevens State Park。这个地方有船难遗址，还有一个海岸要塞的遗址，在美国内战期间修建，并在后来用于防御日军入侵。

回到Astoria，去了一家广受好评的Custard店，没想到排队买冰淇凌的人居然排到了门外。终于等到我的冰淇淋，品尝之后果然名不虚传，味道非常好。

吃完冰淇淋之后看了一下Google Map，发现山上有一个叫Astoria Column的柱子，可以俯瞰整个Astoria镇和哥伦比亚河的美景。

与Astoria隔Columbia River相望的便是WA的Cape Disappointment。连接这两个地方的桥叫做Astoria-Megler Bridge，非常高，很夸张；开车的话需要环形爬升很高一圈才能上桥。

晚饭吃的当地的一家日料店，但是寿司相对来说就不如中午吃的惊艳。

在Portland的最后几天，我在H家里补充了一点这篇游记的很多部分，包括一些我之前遗漏的细节和照片。当我打开Google Map的时候我惊讶地发现这个地方已经被我打上无数难忘的标签：

引用一下我和CT的最后一段对话来结束这篇游记和我的2025夏天：

CT: I’m glad that you come in person and we all learn from each other a lot.

Me: Thanks, my pleasure.

CT: We are always a phone call / email away if you want to come back.

Me: I will definitely keep that in mind!

主动滤波器(4)：双端LC滤波器(1)

Sun, 13 Jul 2025 13:38:51 +0800

我们在前三节中讨论了巴特沃斯滤波器以及两种切比雪夫滤波器的特性以及计算方法，但是我们还不知道应该怎么样使用电路元件制造这些对应的滤波器。从这一节开始，我们将从理论部分逐渐过渡到电路实现部分。

1. 双端LC滤波器(Doubly-Terminated LC Filter)

1.1 阻抗匹配(Impedance Matching)

在早期的电话通信系统中，我们想要拥有最大的功率传输效率。根据欧姆定律，我们知道阻抗匹配可以使得信号的功率最大化。如果读者有关于微波电路的基础知识，那么你应该知道仅仅使得输入和输出端实阻抗相等是不够的，因为输入和输出端的感抗元件会修改相位。

如果说输入端和输出端的阻抗是实数，那么令它们相等（阻抗匹配）就可以实现最大功率传输：

$$P = \frac{V^2}{4R}$$

如果说输出端和输入端的阻抗是复数，那么我们需要让输入端和输出端的阻抗满足共轭关系。如果我们无法实现共轭关系，那么我们需要让输入端和输出端的阻抗满足模长相等。

要使得两端阻抗成共轭关系，我们需要在输入端和输出端都引入一个匹配网络(Matching Network) 。匹配网络的作用是将输入端和输出端的阻抗变换为相同的共轭阻抗。一般来说，匹配网络会优先使用感抗元件（电容，电感）而非阻抗元件（电阻），因为感抗元件只消耗感性功率而不消耗有功功率，因此不消耗实际能量。

需要注意的是，阻抗匹配不一定能实现最大功率传输。最大功率传输的条件是输入端和输出端的阻抗完全相等，而阻抗匹配仅仅是使得输入端和输出端的阻抗模长相等。

1.2 双端LC滤波器的基本结构

滤波器的建立和匹配网络十分相似。我们把下面的电路称为双端LC滤波器(Doubly-Terminated LC Filter) ，也被称为双端LC标准型(Doubly-Terminated LC Canonical Form) ，或者双端LC梯形网络(Doubly-Terminated LC Ladder) 。它的基本结构如下：

使用双端LC滤波器的标准形式，我们可以实现任何全极点滤波器。需要注意的是，感抗元件的数量对应于滤波器的极点数量——对于全极点滤波器而言，这就是系统的阶数。

那么接下来的问题就是，假如说我们给定一个滤波器的传递函数，我们要如何设计双端LC滤波器的感抗元件呢？直觉上来说，我们可以建立这个二端网络的阻抗矩阵：

$$Z = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}$$

然后我们使用分压原理来计算输入端和输出端的阻抗，从而计算出传递函数。然而这样做十分复杂，因此我们需要一个更简单的方法。

1.3 无损网络(Lossless Network)，功率传输，反射系数（Reflection Coefficient）

如果说一个网络仅由感抗元件组成，这个网络也被称为无损网络(Lossless Network) ，因为不会有任何的功率耗散在网络里。

我们将传输给负载电阻的功率定义为$P_a$，那么由于无损网络的特性，我们可以列出以下等式：

$$\begin{aligned} P_a &= \frac{V_o^2}{Z_0} = \frac{|H(j\omega)|^2 V_i^2}{Z_0} \\ &= \frac{V_i^2}{|Z_0 + Z_{in}(s)|^2}\Re(Z_{in}(s)) \end{aligned}$$

我们的目标是找到$Z_{in}(s)$，使得上述等式成立。我们知道，最大功率在输入端和输出端的阻抗相等时实现，此时输出端的功率为：

$$P_{max} = \frac{V_i^2}{4Z_0}$$

如果我们将最大传输功率与实际传输功率取差：

$$\begin{aligned} P_{max} - P_a &= \frac{V_i^2}{4Z_0} - \frac{V_i^2}{|Z_0 + Z_{in}(s)|^2}\Re(Z_{in}(s)) \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} - \frac{V_i^2(Z_{in}+ Z_{in}^*)}{2(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} \frac{Z_0^2 - Z_0Z_{in}^* - Z_{in}Z_0 + Z_{in}Z_{in}^* }{(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} \frac{(Z_{in} - Z_0)(Z_{in}^* - Z_0)}{(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \end{aligned}$$

如果我们定义：

$$\Gamma = \frac{Z_{in} - Z_0}{Z_{in} + Z_0}$$

那么我们可以得到：

$$P_{max} - P_a = \frac{V_i^2}{4Z_0} \Gamma \Gamma^* = \frac{V_i^2}{4Z_0} |\Gamma|^2$$

我们称$\Gamma$为反射系数(Reflection Coefficient) ，它表示了输入端和输出端的阻抗不匹配程度。反射系数的模长越大，表示输入端和输出端的阻抗越不匹配。当阻抗完全匹配时，反射系数为0，此时功率传输最大。

$$P_a = (1 - |\Gamma|^2) P_{max}$$

回顾我们的功率传输，

$$\frac{V_i^2}{4Z_0} (1 - |\Gamma|^2) = \frac{V_i^2 |H(j\omega)|^2}{Z_0}$$

我们可以得到：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1 - |\Gamma|^2}{4}$$

由于$|\Gamma| > 0$，因此这种低通滤波器的最大DC增益只能达到$\frac{1}{2}$。

1.4 通带，阻带与反射系数

比较上述反射系数与幅度响应的关系，我们可以得出以下结论：

在通带中 ，反射系数的模长$|\Gamma|$接近0，因此幅度响应$|H(j\omega)|$接近1。
- 此时，全部的功率都传输到负载电阻上。
在阻带中 ，反射系数的模长$|\Gamma|$接近1，因此幅度响应$|H(j\omega)|$接近0。
- 此时，全部的功率都被反射回输入端，没有传输到负载电阻上。

这符合我们的直觉，因为在通带中，信号可以通过滤波器传输到负载，而在阻带中，信号被滤波器阻挡，无法传输到负载。

1.5 例：三阶巴特沃斯滤波器

让我们来看一个具体的例子。我们设计这样一个双端LC滤波器，使得它的传递函数为三阶巴特沃斯滤波器。我们归一化截止频率与阻抗。

首先我们可以列出以下方程：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \omega^6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 - |\Gamma|^2}{4}$$

那么，

$$|\Gamma|^2 = \frac{\omega^6}{1 + \omega^6} = \Gamma(j\omega)\Gamma(-j\omega)$$

因此我们可以推得，

$$\Gamma(s) = \frac{s^3}{(s+1)(s^2 + s + 1)}$$

使用归一化条件$Z_0 = 1$，我们可以求得输入阻抗：

$$Z_{in}(s) = \frac{2s^3 + 2s^2 + 2s + 1}{2s^2 + 2s + 1}$$

现在让我们来思考一个问题。以下的两个网络都是三阶标准型，我们应该选择哪一个来实现我们的滤波器？

答案应该是左边的网络，因为当频率趋近于无穷大时，我们希望阻抗趋近于无穷大，而只有左边的网络才能满足这个条件。右边的网络在高频时的阻抗趋近于0，这会导致信号被短路。

在$s \to \infty$时，阻抗大小趋近于1，因此可以求得第一个电感的值为1H。移除掉这个电感，再对接下来的电路进行同样的分析，我们可以得到第二个电容的值为2F，第二个电感的值为1H，而最后的负载电阻值为1Ω，正如我们所期望的。

1.6 小结

在这个例子中，我们展示了如何使用双端LC滤波器的标准形式来实现一个三阶巴特沃斯滤波器。我们通过计算反射系数和输入阻抗来设计滤波器的感抗元件，并确保在高频时阻抗趋近于无穷大。这个方法依然可以用在第一类切比雪夫滤波器的设计上，但是对于第二类切比雪夫滤波器，由于有限的零点，我们需要引入谐振回路(Resonant Tank) 来实现有限的零点。我们将在下一节中讨论这个例子。

主动滤波器(3)：第二类切比雪夫滤波器

Sun, 13 Jul 2025 11:15:41 +0800

引言

在前一节中，我们详细讨论了切比雪夫滤波器的设计原理与数学推导。简言之，切比雪夫滤波器通过允许通带(passband) 内的纹波来实现更陡峭的过渡带，从而在给定的阻带衰减要求下，使用更少的元件。我们可以把切比雪夫滤波器视为巴特沃斯滤波器的一种推广。

然而，切比雪夫滤波器和巴特沃斯滤波器对阻带(stopband) 没有任何特殊要求，这也就是说这两个滤波器专注于设计通带的特性，而阻带的特性是伴随而来的。第二类切比雪夫滤波器(Inverse Chebyshev Filter) 则是切比雪夫滤波器的一个变种，它允许在阻带内引入纹波，从而进一步优化通带和阻带的特性；然而通带的特性便是伴随而来的。

1. 第二类切比雪夫滤波器的基本特性

第二类切比雪夫滤波器，也被称为反切比雪夫滤波器(Inverse Chebyshev Filter) ，是切比雪夫滤波器的一个变种。它的幅度响应如下：

可以看到，第二类切比雪夫滤波器在阻带内引入了纹波。第二类切比雪夫滤波器相比切比雪夫滤波器而言，有了一个本质上的区别：由于阻带内的纹波，我们需要在阻带内引入零点。也就是说，第二类切比雪夫滤波器的传递函数不再是一个全极点滤波器。我们将在后面的章节中看到，这个区别将导致第二类切比雪夫滤波器在电路实现上有显著区别。

1.1 主要特点总结

通带特性：最大平坦（类似巴特沃斯滤波器）
阻带特性：等纹波响应
传递函数：既有极点也有零点
滚降速度：由于阻带零点的存在，比巴特沃斯滤波器更快

2. 第二类切比雪夫滤波器的数学推导

2.1 幅度响应函数的构造

我们同样来构造幅度响应的分母函数。与第一类切比雪夫滤波器类似，我们定义：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2} F(\omega^2)}$$

$F$函数应该长得像这样：

可以发现，如果经过x轴和y轴的反函数变换，$F$函数可以直接用切比雪夫多项式来表示：

$$F(\omega^2) = \frac{1}{T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}$$

2.2 完整的幅度响应表达式

因此，第二类切比雪夫滤波器的幅度响应可以表示为：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}$$

或者等价地写成：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}}$$

2.3 极点的求解

如果要求得第二类切比雪夫滤波器的极点，我们需要解以下方程：

$$1 + \frac{1}{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{s}{j}\right)} = 0$$

即：

$$T_n\left(\frac{s}{j}\right) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

利用第一类切比雪夫滤波器的极点结果，通过变换$s \to \frac{1}{s}$，我们可以得到第二类切比雪夫滤波器的极点。

如果第一类切比雪夫滤波器的极点为$p_k$，则第二类切比雪夫滤波器的极点为：

$$p_{k,inv} = \frac{1}{p_k}$$

3. 设计实例：三阶第二类切比雪夫滤波器

3.1 极点的计算

让我们来设计一个三阶的第二类切比雪夫滤波器。

首先，从上一节可以求得，三阶切比雪夫滤波器的三个极点为：

$$\begin{aligned} p_1, p_2 &= -\sin\frac{\pi}{6} \sinh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ &\quad \pm j \cos\frac{\pi}{6} \cosh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ p_3 &= -\sin\frac{\pi}{2} \sinh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \end{aligned}$$

切比雪夫滤波器的分母函数因此可以表示为：

$$\begin{aligned} D(s) &= \left(1 - \frac{s}{p_1}\right)\left(1 - \frac{s}{p_2}\right)\left(1 - \frac{s}{p_3}\right) \\ &= 1 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 \end{aligned}$$

那么对于第二类切比雪夫滤波器，它的分母就应该是：

$$D_{inv}(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3$$

3.2 零点的计算

除了极点之外，我们还需要求得第二类切比雪夫滤波器的零点。零点满足：

$$\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = 0$$

在这个例子中：

$$T_3\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = \cos\left(3 \cos^{-1}\left(\frac{1}{\omega_z}\right)\right) = 0$$

因此，零点满足：

$$3 \cos^{-1}\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = \frac{(2k+1)\pi}{2}, \quad k = 0, 1, 2$$

即：

$$\frac{1}{\omega_z} = \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{6}\right), \quad k = 0, 1, 2$$

计算得到零点为：

$$\begin{aligned} \omega_{z1}, \omega_{z2} &= \pm \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \omega_{z3} &= \frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)} = \infty \end{aligned}$$

因此我们可以看到三阶第二类切比雪夫滤波器有两个有限的零点和一个无限零点。

3.3 传递函数的完整形式

三阶第二类切比雪夫滤波器的传递函数可以写成：

$$H(s) = K \frac{s^2 + \omega_{z1}^2}{s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3}$$

其中$K$是增益常数，通过归一化条件确定。

4. 偶数阶第二类切比雪夫滤波器的特殊性质

对于偶数阶第二类切比雪夫滤波器而言，在$\omega \to \infty$的时候，幅度响应并不会趋近于0，而是会趋近于：

$$\lim_{\omega \to \infty} |H(j\omega)| = \frac{\epsilon}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}$$

这个特性带来了一个重要的工程后果：我们将无法使用被动元件实现偶数阶第二类切比雪夫滤波器。这是因为被动LC滤波器在高频时的增益必须趋于零，而偶数阶反切比雪夫滤波器在高频时具有非零增益。

5. 第二类切比雪夫滤波器的通带分析

第二类切比雪夫滤波器在通带中会有怎样的特性？我们通过使$\omega \to 0$来分析通带的特性。

在$\omega \to 0$时，以下近似成立：

$$\cos^{-1}\frac{1}{\omega} \approx \ln\frac{2}{\omega}$$$$\cosh\left(n \cos^{-1}\frac{1}{\omega}\right) \approx \frac{1}{2} e^{n \ln\frac{2}{\omega}} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{\omega}\right)^n$$

因此：

$$\begin{aligned} |H(j\omega)|^2 &\approx \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2 \left(\frac{2}{\omega}\right)^{2n}}} \\ &= \frac{1}{1 + \frac{\omega^{2n}}{4^n \epsilon^2}} \\ &= \frac{1}{1 + \frac{1}{4^n \epsilon^2}\omega^{2n}} \end{aligned}$$

这表明在通带中第二类切比雪夫滤波器趋近于巴特沃斯滤波器的响应形式，但是由于阻带的零点，滚降速度会更快。

6. 椭圆函数滤波器简介

我们看到在通带和在阻带中引入纹波可以改善滤波器的滚降速度。是否能够在通带和阻带中都引入纹波，从而进一步改善滚降速度呢？答案是肯定的，这就是椭圆函数滤波器(Elliptic Filter) 。

椭圆函数滤波器的主要特点：

通带：等纹波响应
阻带：等纹波响应
滚降速度：在所有滤波器类型中最陡峭
复杂性：数学推导最为复杂，需要椭圆积分理论

椭圆函数滤波器允许在通带和阻带中都引入纹波，从而实现最陡峭的滚降速度。椭圆函数滤波器的数学推导涉及椭圆积分和雅可比椭圆函数，较为复杂，我们这里不再详细展开。

7. 总结与对比

7.1 四种经典滤波器的比较

滤波器类型	通带特性	阻带特性	滚降速度	实现复杂度
巴特沃斯	最大平坦	单调下降	最慢	最简单
切比雪夫I	等纹波	单调下降	较快	中等
切比雪夫II	最大平坦	等纹波	较快	中等
椭圆函数	等纹波	等纹波	最快	最复杂

7.2 设计选择指南

巴特沃斯滤波器：适用于对通带平坦度要求极高的应用
第一类切比雪夫滤波器：适用于对阻带衰减要求较高，可以容忍通带纹波的应用
第二类切比雪夫滤波器：适用于对通带平坦度要求较高，可以容忍阻带纹波的应用
椭圆函数滤波器：适用于对滚降速度要求极高，可以容忍通带和阻带纹波的应用

下图展示了四种滤波器的典型幅度响应：

8. 常用的切比雪夫多项式表

阶数$n$	切比雪夫多项式 $T_n(x)$
1	$x$
2	$2x^2 - 1$
3	$4x^3 - 3x$
4	$8x^4 - 8x^2 + 1$
5	$16x^5 - 20x^3 + 5x$
6	$32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$
7	$64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$

8.1 递推关系

切比雪夫多项式满足以下递推关系：

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$$

其中：

$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$

这个递推关系为高阶切比雪夫多项式的计算提供了便利。

在下一篇中，我们将讨论这些滤波器的实际电路实现方法。

主动滤波器(2)：切比雪夫近似

Sat, 12 Jul 2025 20:02:28 +0800

在上一篇中，我们讨论了巴特沃斯近似的设计方法及其特性。在深入探讨新的滤波器设计方法之前，我们需要首先分析一个关键问题：

1. 巴特沃斯滤波器的局限性分析

巴特沃斯滤波器因其设计简单而在滤波器工程中被广泛采用。然而，在某些应用场景下，巴特沃斯滤波器并非最优选择。

对于一个N阶滤波器，物理实现所需的最少无源元件（电感或电容）数量为N个。在实际工程设计中，通常给定通带最小增益和阻带最大增益的技术指标。巴特沃斯滤波器在通带内具有最大平坦特性，但这一特性在满足给定规格时可能过于严格。

如本文将要证明的，切比雪夫滤波器通过在通带内引入可控的纹波，能够以更低的阶数实现相同的阻带衰减性能。这一特性在早期模拟滤波器设计中具有重要意义，因为较少的元件意味着更低的成本和更小的体积。即使在现代集成电路设计中，减少电容和电感的使用仍然意味着更小的芯片面积和更低的功耗。

2. 第一类切比雪夫滤波器

2.1 设计原理与幅度响应特性

切比雪夫滤波器的典型幅度响应如下图所示：

我们引入参数$\epsilon$来控制通带内的纹波幅度。定义滤波器的幅度平方响应为：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{D(\omega^2)} = \frac{1}{1 + \epsilon^2 F_1(\omega^2)}$$

其中$F_1(\omega^2)$的理想特性函数应具有如下形式：

2.2 切比雪夫多项式的数学推导

2.2.1 插值法构造多项式

基于$F_1$在$0$、$\omega_2$、$\omega_4$处的零点，可以构造如下多项式插值：

$$F_1(\omega^2) = k^2 \omega^2 (\omega^2 - \omega_2^2)^2(\omega^2 - \omega_4^2)^2$$

对于$F_1(\omega^2) - 1$，考虑到其在$\omega_1$、$\omega_3$、$1$处的零点，可得：

$$F_1(\omega^2) - 1 = k^2 (\omega^2 - \omega_1^2)(\omega^2 - \omega_3^2)(\omega^2 - 1)$$

设$C_5(\omega)^2 = F_1(\omega^2)$，则：

$$C_5(\omega) = k \omega (\omega^2 - \omega_2^2)(\omega^2 - \omega_4^2)$$

由于$C_5$在$\omega_1$、$\omega_3$处取得极值，对其求导可得：

$$\frac{dC_5(\omega)}{d\omega} = k_{unknown}(\omega^2 - \omega_1^2)(\omega^2 - \omega_3^2)$$

2.2.2 微分方程的建立与求解

当$\omega \to \infty$时，$C_5(\omega) \approx k \omega^5$，因此其导数的主导项系数为$5k$，从而$k_{unknown} = 5k$。

比较$F_1 - 1$的两种表达式，可建立如下微分方程：

$$(\frac{1}{5}\frac{dC_5}{d\omega})^2 = \frac{C_5^2 - 1}{\omega^2 - 1}$$

整理得：

$$\frac{dC_5}{\sqrt{C_5^2 - 1}} = \frac{5 d\omega}{\sqrt{\omega^2 - 1}}$$

对两边积分：

$$ \begin{aligned} \int \frac{dC_5}{\sqrt{C_5^2 - 1}} &= \int \frac{5 d\omega}{\sqrt{\omega^2 - 1}} \\ \cosh^{-1}(C_5) &= 5 \cosh^{-1}(\omega) + C_{constant} \end{aligned} $$

应用边界条件$C_5(1) = 1$，得$C_{constant} = -5 \cosh^{-1}(1) = 0$。

因此：

$$C_5(\omega) = \cosh(5\cosh^{-1}(\omega))$$

2.2.3 一般化结果

将上述结果推广至n阶情况：

$$C_n(\omega) = \cosh(n \cosh^{-1}(\omega))$$

2.3 切比雪夫多项式的完整定义

2.3.1 三角函数与双曲函数的关系

根据欧拉公式和双曲函数的定义，可得关键关系：

$$\cosh(jx) = \cos(x), \quad \cos(jx) = \cosh(x)$$

对于反函数的关系：

当$x > 1$时：$\cos^{-1}(x) = j \cosh^{-1}(x)$
当$0 < x < 1$时：$\cosh^{-1}(x) = j \cos^{-1}(x)$

2.3.2 切比雪夫多项式的定义

基于上述关系，切比雪夫多项式的完整定义为：

$$T_n(\omega) = \begin{cases} \cosh(n \cosh^{-1}(\omega)), & \text{当 }\omega \geq 1 \\ \cos(n \cos^{-1}(\omega)), & \text{当 }0 \leq \omega \leq 1 \end{cases}$$

2.3.3 多项式性质的验证

对于$|\omega| \leq 1$的情况，可以验证：

$$ \begin{aligned} T_1(\omega) &= \cos(\cos^{-1}(\omega)) = \omega \\ T_2(\omega) &= \cos(2\cos^{-1}(\omega)) = 2\omega^2 - 1 \end{aligned} $$

通过三角恒等式（倍角公式），可证明$T_n(\omega)$确实是$\omega$的n次多项式。

2.4 切比雪夫滤波器的工程术语

这种多项式以俄国数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）命名，称为切比雪夫多项式。基于切比雪夫近似的滤波器称为切比雪夫滤波器，在文献中也常见以下术语：

等纹波滤波器（Equal Ripple Filter）
- 因其通带内的最大纹波幅度恒定
最小最大值滤波器（Minimax Filter）
- 基于切比雪夫定理：在所有可能的n次多项式中，切比雪夫多项式使得其在给定区间内的最大偏差最小

3. 切比雪夫多项式的重要性质

3.1 偶数阶与奇数阶的区别

偶数阶切比雪夫多项式和奇数阶的最大最小值分布存在显著差异。

例题：四阶切比雪夫多项式在角频率为0时的值

$$T_4(0) = \cos(4\cos^{-1}(0)) = \cos(4 \times \frac{\pi}{2}) = \cos(2\pi) = 1$$

重要结论：

偶数阶切比雪夫多项式：在$\omega = 0$处取最大值
奇数阶切比雪夫多项式：在$\omega = 0$处取最小值

这导致偶数阶切比雪夫滤波器在直流处的幅度响应不为1，而是$\frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}$，如下图所示：

3.2 通带极值点的分布

3.2.1 通带最大值

通带最大值对应于切比雪夫多项式的最小值：

$$\cos(n \cos^{-1}(\omega)) = 0$$

解得：

$$\omega = \cos\left(\frac{(2m + 1)\pi}{2n}\right), \quad m = 0, 1, \ldots, n - 1$$

3.2.2 通带最小值

通带最小值对应于切比雪夫多项式的最大值：

$$\cos(n \cos^{-1}(\omega)) = 1$$

解得：

$$\omega = \cos\left(\frac{2m\pi}{n}\right), \quad m = 0, 1, \ldots, n - 1$$

3.3 纹波与阻带衰减的关系

通过允许一定的纹波，切比雪夫滤波器能够在通带内实现更陡峭的滚降特性。纹波越大，阻带衰减也越大：

特殊情况：当$\epsilon = 0$时，切比雪夫滤波器退化为巴特沃斯滤波器。

4. 切比雪夫滤波器的极点分析

4.1 极点方程的建立

切比雪夫滤波器的极点满足：

$$1 + \epsilon^2 T_n^2(\omega) = 0$$

即：

$$\cos(n \cos^{-1}(\frac{s}{j})) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

4.2 极点的求解过程

设$n \cos^{-1}(\frac{s}{j}) = u + jv$，其中$u, v \in \mathbb{R}$。

使用三角恒等式：

$$\cos(u + jv) = \cos u \cosh v - j \sin u \sinh v = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

分离实部和虚部：

$$\begin{cases} \cos u \cosh v = 0 \\ -\sin u \sinh v = \pm \frac{1}{\epsilon} \end{cases}$$

由于$u$和$v$是实数，要使实部为0，必须满足：

$$u = (2m + 1) \frac{\pi}{2}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots$$

这使得$\sin u = (-1)^m$。解第二个方程：

$$v = \pm \sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}$$

4.3 极点的最终表达式

代入得到极点的形式：

$$s = \pm \sin\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) + j \cos\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$$

4.4 极点的几何分布

极点的实部和虚部分别为：

$$\begin{cases} \sigma_0 = \pm \sin\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ \omega_0 = \cos\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \end{cases}$$

可以得到椭圆方程：

$$\frac{\sigma_0^2}{\sinh^2\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)} + \frac{\omega_0^2}{\cosh^2\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)} = 1$$

这表明切比雪夫滤波器的极点分布在椭圆上，椭圆的半长轴和半短轴分别为：

半长轴（虚轴）：$\cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$
半短轴（实轴）：$\sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$

特殊情况：当$\epsilon \to 0$时，椭圆退化为单位圆，对应巴特沃斯滤波器。

以下是5阶切比雪夫滤波器的极点分布示意图（$\epsilon = 0.1$）：

在下一篇中，我们将讨论切比雪夫滤波器的变种，即第二类切比雪夫滤波器，也被称为反切比雪夫滤波器。

主动滤波器(1)：巴特沃斯近似

Sat, 12 Jul 2025 19:42:37 +0800

前言

最近在学习IIT Madras的EE534课程，该课程由Shanthi Pavan教授讲授，专注于主动滤波器设计。课程内容丰富，涵盖了实用的设计方法、严谨的理论推导以及宝贵的工程直觉。为了巩固学习成果，我将撰写一系列笔记来记录这些重要内容。正如费曼学习法所强调的，通过教授他人来验证和深化自己的理解是最有效的学习方式。

基本概念

在深入学习主动滤波器设计之前，我们首先需要理解一些关键概念：

主动元件（Active Element）：能够提供功率增益的元件，如晶体管、运算放大器、电流源和电压源等。
被动元件（Passive Element）：不能提供功率增益的元件，主要包括电阻、电容和电感等。
滤波器（Filter）：根据频率特性选择性地放大或衰减信号的电路系统。
线性滤波器（Linear Filter）：输出信号是输入信号线性组合的滤波器。
品质因子（Quality Factor, Q）：表征滤波器频率选择性的参数，通常由中心频率与带宽的比值定义。
零点（Zero）：使传递函数分子为零的复频率点，通常对应滤波器的增益极值。
极点（Poles）：使传递函数分母为零的复频率点，决定滤波器的稳定性和频率响应特性。

为什么需要使用RLC电路而非简单的RC或RL电路？

仅使用RC或RL电路时，无法实现共轭极点对的设计，因此无法获得高品质因子滤波器所需的陡峭过渡特性。这是因为一阶RC或RL电路只能产生实数极点，而复数共轭极点对是实现高阶滤波器特性的关键。

主动滤波器概述

主动滤波器理论起源于1920-1950年代的早期滤波器研究，其核心目标是设计能够用多项式精确逼近理想滤波器传递函数的电路。主动滤波器通过运算放大器与被动元件（电阻、电容）的组合来实现滤波功能，避免了传统LC滤波器中电感器的使用。

这一理论催生了网络合成理论的发展，为被动网络的系统性分析和设计提供了坚实的理论基础。

滤波器按频率特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器等多种类型。值得注意的是，所有类型的滤波器都可以通过频率变换从低通滤波器原型导出，因此在系统设计层面，我们主要关注低通滤波器的设计即可。

传递函数的基本性质

理想低通滤波器

一个理想低通滤波器的传递函数应该具有以下特性：

$$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \begin{cases} 1 & \text{当 } 0 < \omega < 1 \\ 0 & \text{当 } \omega > 1 \end{cases}$$

当我们将复变量 $s$ 替换为 $j\omega$ 时，传递函数就转化为频率响应函数。

传递函数的共轭性质

对于实值传递函数，以下重要性质成立：

$$|H(j\omega)|^2 = H(j\omega)H^*(j\omega) = H(j\omega)H(-j\omega)$$

这意味着给定传递函数，我们可以直接计算其幅度函数。

从幅度函数重构传递函数

反过来，如果我们已知幅度函数并希望求得传递函数，可以通过将 $\omega$ 替换为 $s/j$ 来实现。然而，这种方法需要求解二次方程，并且需要合理选择根。

幸运的是，对于物理可实现的传递函数，以下约束条件必须满足：

零点：可以位于复平面的任意位置
极点：必须位于左半平面（$\text{Re}(s) < 0$），否则系统将不稳定

对于实值传递函数，其幅度函数是偶函数，相位函数是奇函数。

我们将在后面的笔记中说明，实际上对于纯LC滤波器，传递函数的极点和零点分布具有更严格的几何特性。

全极点滤波器

如果传递函数在有限频率范围内没有零点，则称为全极点滤波器（All-Pole Filter）。这类滤波器的设计和分析相对简单，是滤波器设计的重要基础。

巴特沃斯滤波器（Butterworth Filter）

设计思路与幅度函数

对于全极点滤波器，我们假设其传递函数为：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{D(j\omega)D(-j\omega)} = \frac{1}{D_1(\omega^2)}$$

需要注意的是，如果传递函数是 $N$ 阶的，那么其幅度平方函数将是 $\omega^2$ 的 $N$ 次有理函数。

我们希望 $D_1(\omega^2)$ 满足以下理想特性：

$$ D_1(\omega^2) = \begin{cases} 1 & \text{当 } 0 < \omega < 1 \\ \infty & \text{当 } 1 < \omega < \infty \end{cases} $$

多项式逼近

设：

$$D_1(\omega^2) = 1 + F(\omega^2)$$

则我们需要：

$$\begin{equation} F(\omega^2) = \begin{cases} 0 & \text{当 } 0 < \omega < 1 \\ \infty & \text{当 } 1 < \omega < \infty \end{cases} \end{equation}$$

由于系统的线性特性，传递函数必须是有理函数，因此：

$$F(\omega^2) = f_0 + f_1\omega^2 + f_2\omega^4 + \cdots + f_N\omega^{2N}$$

最大平坦逼近

在 $\omega \to 0$ 时，高阶项趋于零，因此：

$$F(\omega^2) \approx f_1\omega^2$$

为使 $F(\omega^2) = 0$，我们需要 $f_1 = 0$。

通过类似的分析，可以得出 $f_2 = f_3 = \cdots = f_{N-1} = 0$。

但是 $f_N$ 不能为零，否则滤波器将失去滤波特性。因此，我们能够实现的最佳逼近是：

$$F(\omega^2) = f_N\omega^{2N}$$

巴特沃斯响应

取 $f_N = 1$，我们得到：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \omega^{2N}}$$

这就是著名的巴特沃斯滤波器 的幅度平方函数。

当 $\omega = 1$ 时，$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{2}$，对应 -3dB 点，这定义了巴特沃斯滤波器的截止频率。

这种设计在 $\omega = 0$ 处实现了最大平坦 特性，即在通带内具有最平坦的响应。

极点分布分析

现在我们来分析巴特沃斯滤波器的极点分布。由于 $D(s)$ 是 $N$ 阶多项式，我们可以建立以下方程：

$$D(s)D(-s) = 1 + (-s^2)^N = 1 + (-1)^N s^{2N}$$

极点的对称性

如果 $\sigma_0 + j\omega_0$ 是该方程的一个根，那么以下四个点都是方程的解：

$\sigma_0 + j\omega_0$（原根）
$\sigma_0 - j\omega_0$（共轭根）
$-\sigma_0 + j\omega_0$（负根）
$-\sigma_0 - j\omega_0$（共轭负根）

这种对称性对所有有理函数都成立。然而，根据物理可实现性要求，极点必须位于左半平面以保证系统稳定性，因此我们只选择左半平面的极点。

二阶巴特沃斯滤波器示例

例：考虑 $N = 2$ 的情况。

方程 $1 + s^4 = 0$ 的解为：

$$s^4 = -1 = e^{j(\pi + 2k\pi)}, \quad k = 0, 1, 2, 3$$

因此四个根为：

$$s = e^{j\pi/4}, \quad e^{j3\pi/4}, \quad e^{j5\pi/4}, \quad e^{j7\pi/4}$$

转换为直角坐标：

$$s = e^{j\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$s = e^{j3\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$s = e^{j5\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - j\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$s = e^{j7\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - j\frac{1}{\sqrt{2}}$$

选择左半平面的极点：

$$s_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad s_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} - j\frac{1}{\sqrt{2}}$$

传递函数的构造

根据极点位置，我们可以构造二阶巴特沃斯滤波器的分母多项式：

$$D(s) = (s - s_1)(s - s_2) = s^2 + \sqrt{2}s + 1$$

滤波器参数分析

将此结果与二阶系统的标准形式 $s^2 + \frac{\omega_n}{Q}s + \omega_n^2$ 对比：

自然频率：$\omega_n = 1$
品质因子：$Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

与一阶巴特沃斯滤波器相比，二阶滤波器具有更高的品质因子，从而实现更陡峭的滚降特性。

极点分布的几何特性

从极点分布可以看出，巴特沃斯滤波器的极点均匀分布在单位圆上，且仅选择左半平面的极点以确保系统稳定性。这种均匀分布是巴特沃斯滤波器具有最大平坦特性的根本原因。

常用的巴特沃斯滤波器多项式表

阶数 $N$	分母多项式 $D(s)$	极点位置
1	$s + 1$	$-1$
2	$s^2 + \sqrt{2}s + 1$	$-\frac{1}{\sqrt{2}} + j\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} - j\frac{1}{\sqrt{2}}$
3	$s^3 + 2s^2 + 2s + 1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}} + j\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} - j\frac{1}{\sqrt{3}}, -1$
4	$s^4 + 2\sqrt{2}s^3 + 4s^2 + 2\sqrt{2}s + 1$	$-\frac{1}{2} + j\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - j\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} + j\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - j\frac{1}{2}$
5	$s^5 + 2\sqrt{3}s^4 + 5s^3 + 2\sqrt{3}s^2 + 1$	$-\frac{1}{\sqrt{5}} + j\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} - j\frac{1}{\sqrt{5}}, -1, -\frac{1}{\sqrt{5}} + j\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} - j\frac{1}{\sqrt{5}}$

可以发现，当阶数为奇数的时候，-1一定是极点之一，而当阶数为偶数时，-1不是极点。而无论阶数如何，都没有极点会落在j轴上。

巴特沃斯滤波器的Bode Plot

相位噪声与抖动的关系

Mon, 07 Jul 2025 20:42:16 +0800

在现代数字通信系统和时钟生成电路中，相位噪声和抖动是两个关键的性能指标。本文将从理论基础出发，深入分析相位噪声与抖动之间的数学关系，并探讨其在工程实践中的应用意义。

1. 理论基础

1.1 随机过程与平稳性

在分析相位噪声与抖动的关系之前，需要建立必要的随机过程理论基础。

1.1.1 平稳过程的定义

平稳过程（Stationary Process） 是指其统计特性不随时间变化的随机过程。对于平稳过程，其均值和方差在时间上保持恒定。

宽平稳过程（Wide-Sense Stationary Process） 是平稳过程的一个重要特例，其定义为：

均值恒定：$E[X(t)] = \mu_X$（常数）
自相关函数仅依赖于时间差：$R_X(t_1, t_2) = R_X(t_2 - t_1)$

白噪声是宽平稳过程的典型例子。

1.1.2 自相关函数

自相关函数（Autocorrelation Function） 描述了随机过程在不同时间点之间的相关性：

$$R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$$

对于白噪声，自相关函数具有以下特性：

$$R_{\text{white}}(\tau) = \sigma^2 \delta(\tau)$$

其中$\sigma^2$为噪声功率，$\delta(\tau)$为狄拉克函数。

1.2 频域分析理论

1.2.1 功率谱密度

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD） 描述了随机过程在频域中的功率分布：

$$S_x(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} E[|X_T(f)|^2]$$

1.2.2 维纳-辛钦定理

维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem） 建立了时域自相关函数与频域功率谱密度之间的重要关系：

$$S_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$$$R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) e^{j2\pi f\tau} df$$

这表明功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换。

1.2.3 帕萨瓦尔定理

帕萨瓦尔定理（Parseval’s Theorem） 给出了时域和频域能量的等价关系：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) df$$

对于周期信号，有：

$$\int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) df = T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} |x(t)|^2 dt$$

其中$T$为信号周期。

1.3 时间与相位关系

相位与时间的基本关系由下式给出：

$$\Delta \phi = \omega \Delta t$$

其中：

$\Delta \phi$：相位变化
$\omega$：角频率
$\Delta t$：时间间隔

2. 抖动标准差与相位噪声的数学关系

2.1 绝对抖动的定义

对于矩形波信号，绝对抖动（Absolute Jitter） 定义为信号边沿相对于理想时刻的偏移。

考虑第$k$个周期，如果相位噪声的时域表示为$\phi_n(t_k)$，则实际的相位满足：

$$\omega_0 t_k + \phi_n(t_k) = 2\pi k$$

因此，绝对抖动可以表示为：

$$ \begin{aligned} a_k &= t_k - \frac{2\pi k}{\omega_0} \\ &= \frac{\phi_n(t_k)}{\omega_0} \end{aligned} $$

2.2 小信号近似分析

基于以下工程假设：

绝对抖动是小量
相位噪声在$kT_0$附近缓慢变化

对相位噪声进行一阶泰勒展开：

$$ \begin{aligned} \phi_n(t_k) &\approx \phi_n(kT_0 + a_k) \\ &= \phi_n(kT_0) + \frac{d\phi_n(t)}{dt}\bigg|_{t=kT_0} a_k \end{aligned} $$

将此式代入绝对抖动的表达式：

$$ a_k = \frac{\phi_n(kT_0)}{\omega_0 - \frac{d\phi_n(t)}{dt}\bigg|_{t=kT_0}} $$

在小信号近似下，$\frac{d\phi_n(t)}{dt} \ll \omega_0$，因此：

$$a_k \approx \frac{\phi_n(kT_0)}{\omega_0}$$

2.3 统计特性分析

2.3.1 自相关函数关系

将相位噪声视为宽平稳过程，其自相关函数为：

$$R_{\phi}(\tau) = E[\phi_n(t)\phi_n(t+\tau)]$$

相应地，抖动的自相关函数为：

$$R_{a}(m) = E[a_k a_{k+m}]$$

由于抖动是相位噪声的比例采样结果，可得：

$$R_{a}(m) = \frac{1}{\omega_0^2} R_{\phi}(mT_0)$$

2.3.2 功率谱密度关系

应用维纳-辛钦定理，抖动的功率谱密度与相位噪声功率谱密度之间存在以下关系：

$$S_a(f) = \frac{1}{\omega_0^2} S_{\phi}(f)$$

2.4 抖动方差的计算

假设抖动为零均值过程，其方差（即均方根抖动）可通过以下方式计算：

$$ \begin{aligned} \sigma_a^2 &= R_a(0) \\ &= \frac{1}{\omega_0^2} R_{\phi}(0) \\ &= \frac{1}{\omega_0^2} \int_{-\infty}^{\infty} S_{\phi}(f) df \end{aligned} $$

这是相位噪声与抖动关系的核心结论：

随机抖动的方差等于相位噪声功率谱密度的积分除以角频率的平方。

城市驿站： Washington D.C.

Sun, 18 May 2025 19:25:53 +0800

序言

If I can, if I can
Give them all the execution
Then I can, then I can
Be your only execution
If I can have you back
I will run the execution
Though we are trapped
We are trapped, ahhhhHHHH!!!

多年以后，我也许会想到2025年的5月14日早晨，在Salesforce Tower的圆顶还笼罩在薄雾中，5点的破晓晨光翻过山的另外一边照亮这座赛博都市，而我一边烦躁不安地思考无法完成的deadline一边在lyft网约车眺望着一望无垠的太平洋的这个时刻。

我不知道为什么我要做这个决定。

而在我还在思考这个问题的时候，我的airpods播放着这首 world.execute(me) – 一个对于繁重机械化工作的残忍讽刺 – 我登上了飞机，俯瞰着科罗拉多的积雪山峦，艾奥瓦的无垠平原，伊利诺伊的阴暗积云。我就这样茫然地到达了Washington D.C.

May 14th, 2025

到DC的时候是下午两点。下飞机的时候感受到了一股热浪袭来–这是不属于湾区的温度。IAD里头人流如潮，比较好笑的是光头白男真的很多。我饿的要命 – 想起united上并没有可以缓解我扁桃体炎的饮品，于是不得不在飞机上一边吃消炎药一边忍受刀片嗓的折磨的我 – 还是决定吃点简单的东西垫垫肚子。

在咀嚼油腻的芝士汉堡的时候我搜索了一下从IAD进城的公共交通。让我很惊讶的是美东的公共交通十分便利，silver line可以直接把我从IAD送到DC市区，并且轮次十分频繁。简单操作了一下smartclip之后就登上了去Arlington的列车，途中一直在和J老师发信息。

J老师在DC生活了快两年，已经是个DC老手了。她告诉我Arlington是个很好的地方。花了大概一个半小时转了一次车到了Pentagon外围，找到了我的住宿地点，一个Airbnb民宿。我的房间奇小无比，一张躺上去吱吱呀呀叫的小床和一个木头小书桌，很对的上房东开出的价格。

打开Slack，不出意外看到了无数的@。忍着内心的恼火开始处理工作。时间过的飞快，转眼间就到了晚上八点 – 算了一下google map的时间，该去接J老师了。

住在Arlington并不等于住在DC，但是Arlington之于DC就像是Oakland之于San Francisco，一桥之隔而已。慢慢悠悠地到了Union Station，我被她的建筑风格小小惊艳了一下，这是一个有爱奥尼亚式圆柱的车站，气派的大理石拱顶和格子地板给人一种后维多利亚式风格的感觉。车站里有很多商店和餐厅，但是大多数都关门了。我猜Union Station的Union和Union Square的Union指的是一个Union。

J老师出站的时候我站在车站门口等她，我们决定一起去吃点东西。晚饭是阿富汗Kebob，味道很浓也很烈，浸渍在香料里的羊肉被包裹在面饼里被囫囵下肚。我原本嘲笑她说Kebob和土耳其Kebab完全不是一回事，后来查了一下Wikipedia之后发现其实是同一个词的不同拼写。

Arlington在吃过晚饭后下起了暴雨，我们打了辆车后就各自告别了。

May 15th, 2025

早上醒来大概是九点钟，嘁嘁喳喳的鸟叫声和窗外的阳光把我准时叫醒了。

走到J老师住的地方的时候大概已经十一点了。DC真的很热，而且非常闷，所以汗也流不出来，让人想起走在八月福州的茶亭，如同烤炉。我们打了辆车一起去吃pho，J老师说她在DC吃过的最好的pho就是这个。果然，pho的味道很不错，汤底清淡鲜香，米粉也很Q弹，牛肉的味道也很浓郁。

我们漫步过Francis Scott Key Bridge，眺望着Potomac River。J老师说这两天下雨导致Potomac River的水位上涨了很多，原本清澈的河水变得浑浊不堪。远处的Georgetown University的校园在阳光的照耀下显得格外美丽–哥特式的尖顶和红砖墙在阳光的照耀下闪烁着金色的光芒。

我们一路聊到了Georgetown University的主校区，毕业典礼已经开始了。这所古老大学杂糅古典和现代的气息，在闪耀着露水的草坪上竖立着Hoya Saxa的标志。有很多人穿着学士服在拍照，J老师说她的同学们也在这里毕业。大概听了一下一个CNN记者的致辞，手机开始嗡嗡叫–我知道call又来了。再一次强忍恼火以及些许因为中暑的不适，我只能和J老师道别然后回到民宿继续加班。J老师非常体谅我，给我点了外卖和一些药物。

搞定工作之后已经是晚上十一点了，我精疲力竭，洗过澡之后就倒头睡了。

May 16th, 2025

早上醒来是准时七点，喉咙还是有些沙哑。起来继续加班做poster，搞定的时候J老师还没起床。

今天的计划是造访DC的各种纪念碑。中午去了一家非常不错的意大利餐厅，鱿鱼圈十分惊艳地杂糅了鱿鱼的鲜香和牛奶的浓郁。沿着Potomac River我们租了两辆自行车，骑到了Lincoln Memorial。

林肯总统的大理石像坐在纪念碑的正中央，面朝国会大厦。四周是高耸的白色大理石柱子，阳光透过柱子洒在地上，形成了斑驳的光影。两面墙上刻着林肯总统的演讲词，字迹清晰可见。我尝试背诵了一下葛底斯堡演说，但是嗓音沙哑的我只能作罢（并且我也不太记得了），遂被J老师嘲笑。

我们继续前进到二战纪念堂和华盛顿纪念碑。二战纪念堂的水池在阳光的照耀下闪烁着金色的光芒，四周是高耸的石柱和雕塑，给人一种庄严肃穆的感觉。华盛顿纪念碑则是一个巨大的方尖碑，矗立在草坪上，象征着美国的独立和自由。

我们简单去了一下the Wharf，不知道是不是每个城市都有一个the Wharf。这里有很多餐厅和商店，气氛很热闹。在一个gelato店稍微歇了一下，J老师聊她的各种轶事，我享受冰淇淋的清凉。

简单去了一下national gallery of art，在里头小逛了一个小时就闭馆了。在此之后去了国会山，在此之前我一直以为这就是白宫。每天各种决定世界命运的论辩就在这里上演。

逛完国会山之后下了暴雨。暴雨的规模如同在新加坡一样大，而持续时长也很短，在打到车之前我们都还在屋檐下等雨。雨后出了彩虹：

晚饭和J老师的朋友们一起吃椰子鸡，同样十分下饭。J老师的朋友们都很nice，我很感谢他们都把我当作家人。

May 17th, 2025

这是在DC的最后一天，我和J老师还有她毕业的友人一起去吃日料店。吃过午饭我表示还是想去一次国家美术馆，J老师欣然同意。

国家美术馆还是非常值得仔细逛的，馆内有很多著名的画作和雕塑，我认得的有罗丹，提香，莫奈，梵高，毕加索等等。馆内的建筑风格也很十分独特。

看到了好些名画，包括但不限于：

离开美术馆大概是五点钟，我还是想去白宫再看一眼。同样是骑自行车去的：

白宫的外观和我想象中的差不多，白色的外墙和高耸的圆顶，周围是绿树成荫的草坪。

在此之后简单再吃了一家gelato，聊聊天，就到了该离开的时候了。回去提了行李，J老师把我送到机场。临别前J老师说她会想念我的。其实我也会想念她的。

后记

在回SF的飞机上我又想起了那首歌。我想起了在美术馆的礼品店里看到的另外一本色彩书对我生日的评价：

Home and family are important to your well-being.
Try to stay light-hearted, and do not allow your goals to dictate all your waking hours.

本来我想要在游记的结尾评价一下DC，但是我想起了J老师说的所谓城市并不重要，相处的人才是最重要的。我同意。

在下飞机的那一刻我被湾区的寒冷空气冻的直打哆嗦，但是想到接下来要做的事情，我很确信，盛夏开始了。

城市驿站：California 1

Sat, 22 Mar 2025 21:17:24 +0800

序言

做近期的intel16 tapeout做的头昏脑花，终于迎来春假。L表示他有兴趣从C城来拜访我，于是我们一拍即合，决定沿着一号公路从旧金山一路开到洛杉矶。打算这次的游记还是和上次一样，图片为主，文字就简单一些。

让我们开始吧。

California 1

California 1，也就是一号公路，是美国最著名的公路之一，沿着加州海岸线蜿蜒而行。它的风景如画，尤其是在春天，阳光明媚，海浪拍打着岩石，空气中弥漫着海洋的气息。道路穿行蜿蜒的悬崖和壮丽的海岸线，让我想起曾经去过的大洋路；但是一号公路基本永远是阳光明媚。

这个部分会主要记录一号公路上的一些小城镇。

Mar 22nd, 2025

早上大概十点钟出发，去了亲爱的车行提了一辆SUV然后就匆匆出发了。天气并没有完全地放晴，基本上是阴蒙蒙的状态。沿着880一路往南开，逛了第一万次stanford，然后傍晚到了沿海小镇Monterey。

虽然这是我第二次来Monterey，但是我依然很喜欢这个地方的vibe，大体给人一种海角乐园的感觉。在呼啸的海风中站立在海岸线上，可以听到不时的海鸥啼叫，桅杆互相碰撞的金铁交鸣，海浪拍打岩石的哀嚎，以及远处镇民们的欢声笑语。

晚饭吃了久违的海鲜，品味了一下clam chowder和calamari steak。味道相当的值得称道，尤其是calamari steak包含丰富的层次感。只是L表示他的main course中的鱼似乎差强人意。意大利人果然知道怎么做饭。

在此之后就回旅店休息了。

Mar 23rd, 2025

很难得地在Motel6睡了好觉，早上10点起来的时候L正在看手机，等我很久了。简单吃了早饭就出发去Monterey海岸线看了看。

Monterey Bay是一个向内凹的湾，所以慢悠悠的海浪在这里逐渐汇聚速度并且变得越来越快–这也是为什么Monterey Bay是一个著名的冲浪胜地。早上先去了Lover‘s Point park逛了一圈，感受了一下海鸥和松鼠的悠闲生活。

下午去了Big Sur的bixby bridge打了个卡，并穿行于一号公路的森林路段。由于修路，所以只能绕行101。在高速上飙车了三个小时后，我们到达了Morro Bay，另外一个更加宁静的小镇。简单吃了一下美味的拉面，稍微在小镇上逛了一圈就回旅店休息了。

Mar 24th, 2025

这天很早就醒了。简单吃了一下早饭，打算在Morro Bay一直到Santa Barbara的路上稍微多逛逛。

Morro Bay有一块叫做Morro Rock的巨石，在昨天日落的时候已经看到过了。今天到巨石前观海，感受了一下对比度。

一路前往Pismo Beach，但是已经有些审美疲劳了，所以就是简单看了一看海。下午到了一个叫Solvang的小镇，这个小镇很有特点；它是一个丹麦风格的小镇，到处都是丹麦风格的建筑，甚至连路牌都是丹麦语。在这里吃了一个gelato，收集了一下magnet，天气突然变得非常非常热，于是赶紧驱车前往Santa Barbara。

到Santa Barbara的时候车快没有机油了，于是赶紧（尝试）去加机油，但是发现很贵，遂决定第二天去车行换车。太阳落山前稍微去UCSB逛了一圈，体验是有海看的大学生活简直是太有特点了。

晚上回旅店与L重温了一下La La Land，算是预习了一下LA的打卡景点列表。很不幸，别人的生活总是如此浪漫。

Los Angeles

Mar 25th, 2025

除了La La Land，对于LA的另外一个印象是来自于The Mamas & The Papas的California Dreamin’。

I’ll be safe and warm, if I was in LA
California dreamin’ on such a winter’s day

当然这已经是我第二次来LA了，上次还是在2023年的冬天。不过这是我第一次在LA开车，所以还是有点小兴奋。后来证明在LA这种巨型城市里开车非常累。

早上从Santa Barbara出发，解决了机油的问题就上路了。大概开了一个小时就进了LA市区，迎接我们的第一件极具LA风格的事情就是堵车。在101上堵了大概一个小时，就到了Pasadena，去了Caltech，惊异Sheldon待过的地方竟然这么小。

中午去了一趟Hollywood sign，小打了一个卡。下午重新逛了一下Getty Center，有了一些新的收获，并且对原本感兴趣的一些画作有了更深的理解。晚上小逛了一下Hollywood walk of fame，感到非常累，drive through了一下in&out就回旅店休息了。

Mar 26th, 2025

LA的第二天，也是旅途的最后一天。因为前一天太累了，于是这一天和L一直休息到中午。午饭去了Grand Central Market，吃到了非常好吃的LA小吃。趁着停车的间隙顺便在Downtown LA逛了一下，这是上次没有能够完成的事项。

之后开车去了Beverly Hills小打了一个卡，说实话就是一个街区，并没有很惊艳。天气逐渐转阴-我们去了一趟UCLA，看了一下世界第一公立大学的校园。晚上去了Santa Monica Pier，但是很可惜天气依然不好，这次没能看到夕阳西下。夜幕降临，我们造访了一下Griffith Observatory，欣赏了夜景，吃了晚饭，然后就回旅店休息了。

尾声

Mar 27th, 2025

早上起床之后就快速收拾行李，并一路开车回到SF。

一路100mph的速度在I5上飙车，重温了加州大农村的风光。下午五点钟回到熟悉的家。

晚上带了L去了生煎包，并送他去了SFO机场。然后就回家休息了。

LA是一座艺术城市，但是可能并不适合我长居。Being a sojourner might still be OK tho. 回到SF看到熟悉的AI路牌，评价是这才是属于nerds with technical skills的地方。

城市驿站：西雅图-温哥华

Wed, 25 Dec 2024 15:14:33 +0800

Seattle, WA

圣诞快乐！

趁着圣诞假期暂时AFK一下，写一篇关于西雅图和温哥华的游记。这次是难得的Solo Trip，没有很特别的安排–走走停停放松心情。然后我也打算改一改长久以来记流水账的博客风格，打算就文字为辅，图片为主。

让我们开始吧。

Dec 24th, 2024

早上三点钟就醒了，六点钟OAK->SEA的飞机。SEA很大，并且租车的地方整整有一整栋楼，非常夸张（比墨尔本的租车行小车库大多了）。费了一个半小时的口舌终于成功让租车行给我换了一台有Type-C接口的油车，于是就出发了。

SEA开到市区大概半个小时。早上主要就是逛了一下Museum of Pop Culture。这个Museum感觉还不错，包括了一些很有趣的流行文化的artifacts，以及一些video clips。

然后下午去旅馆check-in。睡了个午觉回了血就去了Space Needle，说实话上塔之后非常惊艳，尤其是可以俯瞰整个城区+Puget Sound+Bellevue，并且看天色逐渐暗下来，观察整个城市入夜也是别有一番体验。晚上和学长吃了个拉面，就回旅馆休息了。

对于Seattle的第一印象就是很干净的城市（流浪汉大概比湾区少20dB），阴郁的天气（但是今天竟然出太阳了），以及比湾区慢五迈的高速限速。城市的Floorplan也是比较像湾区一样的城市群，而不是LA那样的摊大饼。

Dec 25th, 2024 - Christmas Day

Merry Christmas!

很不幸，西雅图下了一天暴雨，并且因为圣诞节的原因大多数景点都关门了，因此今天主要去的都是开放式景点。

因为前一天的旅途劳顿，今天睡满了12个小时，早上十点在雨点拍打着窗户的白噪声中起床。今天主要去了两个地方，华盛顿大学（University of Washington以及Volunteer Park + Lake View Cemetery.

暴雨中开车到了华盛顿大学，red square里还有零星的一些行人。整体感觉是一个很考究的学校。校园并不大，沿着Stevens Way走完一圈只需要一个半小时（我走的很慢）。校园里的各种学院都很分立，但是建筑风格和颜色都很统一，都是砖红色的维多利亚式风格建筑。雨中的校园很朦胧，人很少，并且非常冷。

下午去了Volunteer Park。Conservatory开门，但是花了$4进去之后发现很失望，就是一个很小的植物园，也没有太多的讲解和值得看的东西。Volunteer Park的后院是Lake View Cemetery，这个墓地是西雅图的一个历史遗产，里面埋葬了很多西雅图的名人，包括了Bruce Lee和Brandon Lee。雨中的墓地很安静。

Dec 26th, 2024

圣诞节过后，西雅图的天气终于放晴了。今天去看波音工厂，以及在Seattle市区整一下citywalk。

早上八点半就醒了，一路往北开到Everett。因为我住在Burien，所以开过去要纵穿整个Seattle市区，所幸没堵车（返程堵上了）。

波音工厂，也就是最早的波音总部原址，有大概六七个机库车间完成流水线组装，根据机型不同以及年代划分大概有给737，747，767，777，777X以及787的车间，还有一些涂装的设备。Factory Tour只包括了参观777车间，并且全程不允许携带电子设备照相，所以读者估计只能脑补了（笑）。

组装车间大概分为六七个小步骤。完成一台飞机的组装分为机头，机身，机尾，机翼，以及引擎安装和全身装备，还有涂装。由于在圣诞节假期内，车间内没有工人，机器也基本停转了。根据导览的说法，早期波音的运作模式all homemade，包括机身机翼什么的，现在基本都是外包合约了，只有组装在这里。飞机引擎的供应商有GE，Rolls Royce，以及Pratt & Whitney。完成一台飞机的组装和测试大概需要八到九个月个月，然后交付给客户。在机库里看到了一些熟悉的航空公司，包括吉祥航空，中国南方航空，以及美联航。

参观完工厂之后在外围有一个小的展览，展示了除民航客机以及货机之外的波音产品，包括了一些军用飞机，太空飞机，以及一些未来概念飞机。展览中还有一些波音的历史，以及一些波音的创始人的故事（比如著名的波音747宽体客机是如何在60年代脱颖而出的）。

下午西雅图市区放晴了，因此有机会徒步在市区逛逛。去了一趟奇胡利玻璃艺术博物馆，是艺术家奇胡利的个人展览，以及一个玻璃制品融合自然景观的花园。说实话可能我并没有什么艺术家气质，玻璃艺术对我来说就是五彩斑斓的二氧化硅触手。然后去了一趟亚麻总部，看了一眼玻璃球（怎么又是玻璃制品！），最后去了一趟Pike Place Market，给我的感觉和SF的渔人码头并没有太大区别，依然是每个城市都会有的那种tourist trap。然而Pike Market旁边的Promenade walk非常赞，可以看到西雅图港口，摩天轮，以及日落之下整个市区的skyline。

最后本来打算去逛一下所谓的第一家星巴克，但是感觉天快黑了就打道回府了。说实话对星巴克的兴趣也不高。

Dec 27th, 2024

今天是在Seattle的最后一天，主要是去了Museum of Flight和Seattle Aquarium。

Museum of Flight其实圣诞节当天就想去了，但是理所当然没有开门。今天早上九点钟醒了，十点开过去惊讶地发现停车场都快停满了，比我想象的要热门很多啊。进去一看发现信息密度奇大无比，从20世纪最初的莱特兄弟的glider，到纳粹德国时期的V2火箭，再到人类第一颗人造卫星，载人航天，以及登月的整个历程，非常震撼。博物馆分为很多分馆，讲航天历史，飞机模型，波音工厂的第一个red barn，两次世界大战中的航空器使用，以及一些著名的飞行器展览。总共花了四个半小时，还是很走马观花地看完了这个博物馆，学到许多（站的腰都痛了）。

下午三点钟开车又到了Pike Market，这次是去水族馆。说实话依然非常一般，普通水族馆该有的基本都有了，但是也没有特色展览之类的，花了半个小时感觉没什么意思就出来了。今天顺便弥补一下昨天没有去成的遗憾，去了一趟第一家星巴克门店（就在派克市场里），买了一杯拿铁和一个mug。

西雅图之旅就到此结束了！评价是除了一直下雨以及市内过于难停车之外（感谢亚马逊），还是一座很赞的城市。

Vancouver, BC

Dec 28th, 2024

昨天半夜睡的不好，醒了好多次，不过还是断断续续从10pm一直睡到了8am。简单吃了早饭，打包了行李就出发了，一路往北开。离开西雅图市，雨很快就停了，天气也变得晴朗起来。

80mph(130km/h)在I5上驰骋了100miles在边境小镇Sedro-Wooley把油箱补满了，看到了到目前为止最便宜的油价$3.44/gal。排了大概半个小时的队，研究了一下esim，到了海关官员面前，简单问了几个问题就放行了。

来到加拿大之后发现突然变成了公制单位，一下有点不大适应（毕竟retard unit用太久了），开公里每小时突然感觉速度好慢。

吃了午饭之后和学长去逛了UBC。感觉是一个比较现代化的校园，交通网横穿校园。学校的西北角就是strait of Georgia，生态环境还是很赞的。学校里还有一些原住民的文化植入，包括图腾柱，以及原住民语言的标牌。

四五点的天就黑了，想起温哥华的纬度其实高达49N，所以冬天的日照时间相当短。开了一天车，最大的感受是温哥华不像一个大城市，更像一个放大版本的城镇，指没有城市快速路，从城市一头到另外一头三十公里要开四十五分钟，相比之下西雅图则只需要一半不到的时间。

Dec 29th, 2024

今天主要是在温哥华市区Citywalk。很不幸，今天几乎下了一天的雨，不幸中的万幸是我还带了伞以及防水外套。早上十点钟去了一下Canada Square看了一下海滨，但是由于下着雨雾蒙蒙的能见度很低。中午路过gastown观赏了一下steam clock，逛了一些本地的集市，然后坐了一下轮渡去了北温哥华的Londale Quay再折返。

由于一直在下雨，所以没有安排其他更有意思的活动。

Dec 30th, 2024

在温哥华的第三天。今天主要是坐另外一位朋友的车到处体验了一下温哥华的生活（翻译：吃吃吃）。

早上十点钟朋友picked me up，然后逛了一下Fisherman’s Wharf。中午恰了早茶，很惊艳，尤其是牛蹄筋的口感，值得排超过半个小时的队以及辗转整整三家店。

下午雨还没停，所以也只能继续开车到处随便转。去了一趟Stanley Park，观赏了一下Lion Gate Bridge，以及Stanley Park的海滨。然后在Richmond逛逛吃吃，聊了一路eigenvalue decomposition和system response （nerd 的生活），最后在雨中结束了这一天。

Quote Stefan：温哥华比起旅游城市更像一个度假城市。

Dec 31st, 2024

~~因为回家之后太懒所以在一月五号才补全最后的部分~~

今天是在温哥华的最后一天，也是旅程的最后一天。行程很简单，早上逛SFU，中午吃完饭就回美国。

SFU是一个位于Burnaby的大学，坐落在山顶上，因此有一个很好的view of the city。校园很大，有很多建筑，但是因为是假期，所以人很少。逛了一下校园中心的广场，还有一些人在遛狗。早上有点小起雾，但是随后竟然放晴了，是在温哥华的最后一天看到的太阳。

中午吃完饭就返程了，留足了时间过关，没想到要排两个小时的队，前面有不少加拿大的印度人被送小黑屋。所幸海关工作人员看了我的签证以及I20就放我走了。回到美国之后加满油，一路130码狂奔回西雅图，已经是晚上六点，累的不行。在机场吃了快餐就上了飞机。

飞机飞的出乎意料的快，在31号的晚上十一点半回到了湾区，并在出租车上过了新年。意大利司机一边和我聊天一边给我指路边的烟花。希望2025年一切顺利！

城市驿站：英属南部领地

Sat, 25 Feb 2023 19:55:53 +0800

序言

2023年2月23号那天下午搞定了FYP的（可以说是最后一个实验），感觉真是如释重负（爽），于是就盼望recess week的到来。在结束了星期五张跃平的最后一节~~（真的是最后一节，因为他要退休了)~~，回家收拾行李，准备度过这个美妙的recess假期。

因为在去年八月拿到了久违的驾照，于是去年的八月底决定疯狂一点，去开一开著名的墨尔本大洋路自驾。原本在2022年的九月底就打算的计划却在澳洲签证没有批下来的悲伤中被移到了今年的三月，所幸在十月底的时候拿到了签证。这也是本科毕业前的最后一个recess假期。

打算去的地点包括了墨尔本和悉尼。原本还想打算去黄金海岸看大堡礁的，后来因为时间原因作罢。

墨尔本 Melbourne

24 Feb 2023

周五晚上从NTU出发，和Z总一起坐着MRT，晃晃悠悠前往樟宜机场。樟宜机场T1比想象中的要繁忙了不少；到处都是人，可能是因为疫情管控放松了的原因吧。在办理完了值机之后，三人在4fingers里大快朵颐。

到登机口的时候已经是半夜十二点多了，很多人在排队。

在去美国和泰国的时候，樟宜机场安检都不允许100ml标称的液体上飞机，但是这次我装半满的水壶竟然没有被检查，很离谱。在延迟了一个多小时后，半夜一点半我们从樟宜机场飞往墨尔本塔拉梅林机场。大概在在酷航令人恼火的座椅上坐了七个小时之后（以及看了好一会倚天屠龙记），我们到达了目的地。

我们没有想到的是，刚到墨尔本，我们就遇到了一个极大的问题，那就是我们的租车门店关了。是的，一家租车公司在周六早上十二点关门了，这是有多摸鱼啊。所幸在经历了各种各样的还价以及改变计划之后，我们租到了车。在下午两点，我们上了M2高速，一路开往城东南我们的汽车旅馆。

这家旅馆比想象中要更好；完善的facility，宽敞的房间，以及充足的停车位。

大家在经历了几乎没有休息的一个晚上之后，又饿又累。我们驱车前往最近的购物中心。在这个时候，我们大概开始感受到这种西部公路文化了。街头几乎没有人（因为是在郊区），但是车不少，其中不乏房车或者货车。郊区没有什么高楼大厦，都是平房以及小别墅。然后街边有很多的motel，以及小型的购物超市。在rowville的一个比较中心的（非常具有西部风味的）购物中心我们停下了车，下车体验了一下本地的麦当劳。这也是我第一次见到driving through的pick-up point，可以感受到扑面而来的公路文化。这种购物中心也是摊大饼式的超市居多。令人惊讶的是，牛奶非常便宜，感觉和坡县的水一样便宜。

澳大利亚本地人的体型感觉十分宽大（🎵：song for denise），平常肯定没少吃脂肪蛋白质。他们也似乎很重视生活质量。另外一点体验就是，澳洲英语感觉会更偏英音一些。交流起来没有太大的障碍。吃完了午饭回到motel，经过了昏天黑地的四个小时睡眠之后，我们第一天逛墨尔本的计划也宣告破产了。好消息是我们还可以把这件事移到明天。晚上我们驱车前往几公里外的一家街边pizza小店（很符合荒凉的环境的店名：pluto），只有一个看起来很年轻的店员在拖地。pizza非常好吃。

25 Feb 2023

墨尔本的行程从这一天正式开始。墨尔本作为一座城市建立于1835年，纪念曾经的英国首相墨尔本子爵。作为澳大利亚第二大的城市，墨尔本散发着一种新加坡所没有的历史气息。在前一天从机场进城再出城的时候就能感受到的~~资本主义~~维多利亚风格气息在今天能够得到比较完整的体会。

早上我们驱车从城外的rowville去到大都会区。澳大利亚的街头的停车位成谜：（埋下伏笔），问了一些local也没有彻底搞明白，不过有写着xP的意思大概就是可以停N个小时。如果写了meter就是收费，不写就是不收。把我们的车停在了市区的坡顶上，我们的第一站是维多利亚州立图书馆。

作为世界上最大的州立图书馆之一，维多利亚州立图书馆却“大隐隐于市”，藏身于各种维多利亚建筑的鳞次栉比中。图书馆门口有简约的阶梯，宽肠的草坪，三座雕像。

左边的雕像是圣乔治屠龙，右边是圣女贞德。中间的则是墨尔本大学第一任校长Richmond Berry的雕像。

进入了大厅之后，我与导览人员稍微聊了一下。导览员非常热情，稍微讲了一下图书馆的构造，以及the dome的位置。他还推荐了还在最后一天放展的某个小展览（去了，虽然不是太能看得懂）

二楼的展厅相对来说比较现代，有一小部分在里面工作or学习。

但是三楼的展厅就相对来说要复古很多。这里有著名的the dome，也是图书馆的地标。

这种白漆+木质装饰的风格确实非常维多利亚。坐电梯到六楼还能看到的是，彩色马赛克的莎士比亚画：

逛一个图书馆还是很难在一个相对来说比较短的时间内完成的。就图书馆的上座率而言，澳洲本地人来的可能并不多（相对于坡县的国立图书馆而言，不过也有可能我来的时间是周天早上，人都还没起来）。不过在图书馆里看到了很多亚裔，想必是来这个风水宝地开卷的。

出图书馆的时候有俩人在下巨大的国际象棋，此处艾特罗恩。

第二站是城北的维多利亚市场。这个地方相对来说比图书馆要热闹不少。我原本以为是一个农贸市场，去了才发现什么都有，卖各种纪念品的，饮品的，生活用品的，二手书的，还有卖桌游的。

在经过二手书摊的时候和一个看起来很有文化的戴眼镜的老奶奶聊天，我拿起托老的（超级厚的）魔戒问她，还有没有其他托老的书。她环顾了一下，说估计只剩这本和另外一本霍比特人了。她曾经在另外一个书摊看到别人卖精灵宝钻，但是应该早就被人买走了。

经过卖桌游的店铺，竟然看到他卖不少东西，可惜都贼贵。里面还有冷战热斗，root，dixit，etcetc。

买了点水果我们就离开了这个地方。走的时候还有华裔lingling在拉小提琴，拉的还挺不错，就是不知道为什么在卫生间门口拉。

在这之后已经是午后半晌了。我们开车前往著名的弗林德斯街车站。这是蒸汽时代的一个重要地标。

车站后门就是墨尔本的母亲河，Yarra River(雅拉河)。这条河一路注向墨尔本湾。河边的墨尔本城区十分美丽。在高楼大厦中的Princes’ Bridge伫立在河上，电车从桥上穿过。

沿着河岸走了好一段，可以看到许多游艇从河岸上穿过去。我有一种很强烈的感觉：墨尔本这个地方结合了我对大都市和小乡村同样的感觉：作为现代居民，你可以在这里享受到大都市的便利；但是同样作为本地居民，也能够体会到乡村生活的静谧。

如果我有足够的时间，我可以在长椅上坐一整天。

从河的北岸（以及沿途的植物园）逛回弗林德斯街火车站后，我们还经由了街对面的圣保罗大教堂。

这是我第一次参观一个安立甘宗教堂。进教堂的时候，有人在演奏管风琴，只是演奏风格非常的爵士（？）。

教堂里有很多马赛克壁画。我能认出来的有耶稣和三圣人，还有耶稣与彼拉多。教堂里还有一些其他的募捐，有为乌克兰战争的受难者的，有为曾经参与朝鲜战争的澳大利亚士兵的，有为covid死难者的，如此如此。

结果在怜悯了别人之后，悲剧降临到我们身上了：在回到停车位的时候，我们吃到了人生第一张违停罚单：92刀，肉痛死。

在那之后我们还去参观墨尔本大学。这是一所同样充满维多利亚气息的学府。可惜的是去的时候已经是周天，所以大多数学院都是关门的。

在正门进去的大草坪前面有一个很气派的古典建筑，有好多情侣在拍婚纱照。左边则是墨尔本大学的钟楼。

菲利普岛

之后则是长途跋涉。从墨尔本城区到我们行程里的菲利普岛企鹅保护区大概有一百五十多公里。驱车大概花了我们两个小时。到达的时候天还依然是亮着的，八点多天才下山。

到达菲利普岛的时候，我们得知大概晚上八点四十五企鹅才会上岸。我们坐在海边的观景台上，等待灰色精灵的来临。菲利普岛真的有一种天涯海角的感觉。

这是我第一次看到这种绝景。蔚蓝的天空上白色的云涛飘飘而去；苍茫的大海里洁白的浪涛滚滚而来。在这片海滩上，无数的海鸥在起飞和降落。浪涛的声音消弭在被海风浸透的咸腥的冷空气中。面对我的是茫茫的太平洋和印度洋；在我们的对面就是南极。

还是那句话，如果说我有时间的话，我可以在岸上坐一整天，听着海上传来的各种声音。这是灵魂与自然的彻底共鸣。

到了天黑的时候，导览告诉我们，企鹅该来了。我们静静等待，直到我们看到它们的身姿从海浪中上下翻飞地出现在岸上。这种企鹅比我想象中的要小不少，一个可能只有二十几公分；它们灰白色的皮毛令它们轻易混迹于海鸥丛中，在海鸥没有展翅起飞之前我们完全无法分辨。企鹅成群结队地登上沙滩，它们扑棱翅膀，伸长脖子，左右摇晃地匍匐前进。它们需要在岸上钻洞来换毛。

观赏企鹅的时候，我们是不被允许拍照的，因为要为了保护它们敏感的眼睛。

回程的时候已经九点半有余了；Z总高速驱车把我们送回了家。洗漱完了已经半夜一两点了，明早还要早起；累的要死。

27 Feb 2023

早上起床的时候很赶，因为按照我们的计划，我们需要去将近一百公里以外的码头把我们的人以及车送到墨尔本湾的另外一边。

把车开上船的时候大概是十点前一点。不得不说这艘轮渡船比其他的游轮体验都要更好了。第一次坐这种汽车轮渡；感觉还挺不错。顶楼有卖咖啡和早餐的。

到达索伦托的时候是将近十二点了。大洋路在向我们招手；这片区域的村庄都很有艺术气息。

大洋路 Great Ocean Road

吉朗 Geelong

吉朗是大洋路的第一站。我们到了本地的一个小海滩，去参观当地的彩绘木桩。

说实话，这些木桩有些掉san。除此之外，天气对于一个景点的陪衬作用也是十分明显的。今天一整天都是阴天，这导致体感温度低了不少，并且这种沙滩景色也从温馨宜人变成了世界末日。

午饭整了点墨西哥taco饼。

托尔坎 Torquay

托尔坎开始才是正式的大洋路，B100公路。在托尔坎，我们下到了当地的一个海滩。海滩上的路牌上写着，“the paradise to surf”。

天公不作美，这一天都是阴天。海风刮过来，非常寒冷。岸上有一些澳洲人还穿着短裤短袖在赶海。澳洲人好像很喜欢养狗；有很多人带着他们的狗下到海里。狗的水性很好，虽然用的泳姿是狗刨式。我们从右手边的台阶上到了右边礁石顶部，看到了绝境；

在观景台的顶端有俩戴着牛仔帽的澳洲老夫妇，问了一下他们能不能帮我们拍照。老人很爽快地答应了。拍完照片，老人问，

are you here for the plane?
-“Plane?”

话音未落，西边的天空就传来了巨响。

-“We didn’t expect of the plane – We came here by chance”
so fucking amazing, aren’t they!

阿迪斯角国家公园 Point Addis Marine National Park

从托尔坎出发往西开一小段就到阿迪斯角。

从这一段开始，海湾变得陡峭，而海浪变得湍急。

沿途还有很多这样的美丽鸟类。

斯普利特角 Airey’s Inlet

在这个小区域有一座灯塔，照耀着来往的船只。

这一片的海岸相比起托尔坎的更加陡峭，并且多了很多礁石。海浪冲上礁石平台，再像雪花一样从四面八方飞散下去。

离开这片区域继续往前的话，大洋路持续下降，直到和海岸线高度几乎一致。

洛恩 Lorne

晚上我们到达了Lorne小镇并吃了晚饭。晚饭是臭名昭著的炸鱼薯条–鱼还比较新鲜，但是Z总评价羊肉极其难吃。我们后来都把这个小镇称为炸鱼薯条小镇。

入住的地方叫Mantra。走进去一看是个养老院。从远处看可以看到海。房间比较像单身公寓，有客厅，各种做饭工具，大卧室，阳台。楼下还有网球场，很像一个养老院。澳洲人好像不怕冷一样，在清晨还起来打网球，还是这种阴雨绵绵的天气。

28 Feb 2023

28号开始从早上出发都是这样的沿海公路，浪很大。沿海公路一般都是限速60以下，非常弯曲。

阿波罗湾 Apollo Bay

从洛恩出发继续往西，大概三十几公里就能到阿波罗湾。阿波罗湾是一个很小的镇，有一个海港，几个商店。这两天我们到达一个镇就开始寻找当地的超市（most likely foodworks），准备各种很快就吃完了的干粮。

阿波罗湾有一个森林公园，在公园里往外走两步就能到大海。

这一片的海湾十分平静（不然不能拿来当港口）。远处有一些船只停泊。

奥特韦国家公园 Otway National Park

过了阿波罗湾之后，就不是海岸线公路了。之后的道路是盘山公路，并且一头扎入森林。

如地图所示，这一片是一个海角，附近都是森林。在大洋路的中段，有一条路一路通向这片海角的最南端。最南端矗立着一座灯塔。灯塔区域有一个小园区。出示学生证还能优惠，点赞。

进了园区之后，有一栋小别墅伫立在最高点，里面是一个通讯小博物馆，讲述了为什么这里被认为是重要的地理位置。简单来说就是塔斯马尼亚岛如果要和澳洲大陆通讯的话，需要通过这里架设通讯点，电线；以及如果说要前往塔斯马尼亚岛的话，这里也被认为比较安全的航线。这栋别墅也是曾经的灯塔管理员的住宿地。这里十分荒凉，乌云密布，狂风呼啸。

博物馆里也有讲述灯塔管理员是如何和海上的船只通讯的：旗语。

从小别墅往另外一边看，就能看到白色高塔了。

这里就是整个大洋路的最南端。从这里往前看，就是南极的方向了。问了一下导览员，一位灯塔管理员大概要管理多久时间，她说曾经有一位管理了三十年的灯塔管理员。愿意在这种天涯海角之地度过半个人生的，一定是孤独的勇士。

海岸旁边还有一些地堡，是在二战期间的皇家空军驻地；并且还有一些雷达监测员在此监测太平洋的日本舰队，防止其通过巴斯海峡。

王子镇 Princetown

和普林斯顿很像的名字。这个小镇只有22个人住。小镇的海滩浪十分湍急，进到吉利布兰河 (Gellibrand River)的湿地之后就缓了很多。

沙滩上有很多这种红绿相间的植物，不知道是什么。

这个海滩的浪大的惊人。如果靠太近的话会被卷下去，很危险。

岸边还有一些蒲公英。

坎贝尔港 Port Campbell

吉布森台阶 Gibson Steps

从王子镇再出发往坎贝尔港开，就能看到大洋路最令人震撼的区域。这一片都是平原，但是一到海边就是落差极大的悬崖。

得益于一位不知名人士可能把通往海滩的门打开了（原本是锁着的），我们下到了最底部，看到了最壮观的景象。

阳光在这一时刻终于合时宜地从云层中透了出来。这是到了大洋路之后，第一次见到阳光。

十二门徒岩 Twelve Apostles

这应该是大洋路最具标志性的景点。

礁石被浪涛，雨水，狂风蚀刻，形成同样高度的纹路。根据路牌的说法，从来没有十二块门徒的岩石，到现在为止只有八块；但是也许在几万年前是十二块，也许在几万年后变成了十二块。澳洲的落日在八点之后，所以现在天空依然光亮。这片印度洋，就如安迪梦中的太平洋一样蔚蓝。

澳洲人的摸鱼能力十分了得。到了坎贝尔港之后，我们查了一下还在工作的餐厅，但是大多数餐厅都是八点关门。我们马上赶往最近的一家bistro（一个街区开外，port campbell真的小）

晚饭是逃不过的炸鱼薯条，以及芝士烤鸡。

1 Mar 2023

在坎贝尔港的住宿差强人意。我们在酒店里以双人大床为赌注打uno，还挺有趣。早上起来的时候，难得看到了蓝天。

从坎贝尔港往回开，可以到达洛克阿德峡谷。

洛克阿德大峡谷 Loch Ard Gorge

这个大峡谷是大洋路上的一个标志性景点。大洋在这片区域向内伸展，形成了一个峡湾。从海岸边水平望去是看不到的，似乎一切都是同样的高度。植被非常茂盛，但是都是低矮的灌木，附近没有比人还高的树木（可能是因为这种树木的种子不容易扎根，并且即使扎根了也会被狂风吹断）。达尔文的进化论又一次发挥了作用。

这个峡谷也是一个广口的结构；进口的地方水流十分汹涌，到了沙滩之后就放缓了非常多。水流的颜色也从远海的深蓝色变成近海的翠绿色。

两旁边的悬崖峭壁和海平面相垂直，但是相对于天空之高还是不那么高耸，不会令人感到恐惧的落差。

因为石灰岩的侵蚀，附近的钟乳石层都显现了出来。

这片峡谷被命名为洛克阿德峡谷，也叫沉船峡谷。十九世纪的时候澳洲还是大英帝国的罪犯流放地，但是在船只经过这片区域的时候，大雾弥漫，能见度极低，极易发生船难。1878年6月1日，一艘叫做Loch Ard的船只在经过这片区域的时候发生了船难，最后只有两个人生还。后人为了纪念这件事情，就把这片峡谷命名为洛克阿德峡谷。

午饭去了campbell镇上的一家cafe，这个脆皮sausage还挺好吃。

餐厅很精致。

伦敦桥 London Bridge

午饭过后继续向西。伦敦桥是另外一个有趣的风化景点；一个形似“桥”的岩石在海上树立。说实话，我觉得这其实更像三角凳子。

岩穴 The Grottos

继续向西，另外一个小景点是一个岩穴。穴内是中通的，可以看到外面的碧海蓝天。

这个小景点让我想到windows的某个壁纸，对就是这个。

Bay of Islands

到了这片区域之后，太阳彻底出来了。我们得以目睹最澄澈的蓝天。

凛冽的海风扑面而来，凝望这种景象，我觉得天堂可能也不过如此；几百万年后，人类灭绝，天堂可能也不过如此。

瓦南布尔 Warrnambool

瓦南布尔一般被认为是大洋路的终点。这也是自吉郎出发之后遇到的最有人味的城镇，相比那些只有一点点居民的小村落而言。

市里（我愿称瓦南布尔为市而不是镇）有一家海事博物馆。我们到了的时候已经是下午四点了，还有一个小时时间能够把里面的东西稍微看一看。出示学生证可以有优惠，点赞。

进门之后有一个小展馆，稍微介绍了一下海上苦旅，不得不让人想到Return of the Obra Dinn里面的各种恐怖片段。里面还有展示大英帝国皇家水师的各种旗舰，脑子里浮现出纳尔逊在尼罗河口凝视东方号在熊熊燃烧的场景。

门外的公园里有一个巨大的船锚。

以及中国人民的好朋友。

还有一尊旧式样的火炮，这很维多利亚。~~（开门，自由贸易）~~

博物馆的坡底下有一个模拟的水手小村落，里面什么都有。包括造船厂，银行，学校，教堂，等等不一。

市里还有一间（久违的）麦当劳。在麦当劳稍微解决了晚饭。~~🙏麦门🙏~~

解决晚饭之后我们驱车前往十几公里以外的Port Fairy.

仙子港 Port Fairy

这应该是我们整个大洋路旅程中的最后位置。

到达Port Fairy的时候已经是晚上七点了，但是太阳还没下山。

Port Fairy的最出名景点应该是Griffiths Island.

格里菲斯岛 Griffiths Island

这个岛在Port Fairy的东南方向。原本打算在镇上洗个车，但是唯一一家加油站的洗车机很不幸地坏了，于是我们决定在明天返程的时候再解决这件事。

到Island的时候，太阳正要下山。

我们从西北边的长堤绕岛一圈。

令人惊讶的是岛上有不少野生袋鼠，一蹦一跳的，很可爱。

岛的另外一头也有一座灯塔。

这片区域相比前面的大洋路段，海浪相对来说更加平静。太阳把远方的云朵照耀成粉红色的。而月亮也从另外一边缓缓升起。

夕阳照耀着远处稀疏的树木。

待我们驱车回到Port Fairy的时候，镇上还是一片祥和的景象。

2 Mar 2023

今天是返程的日子，不然就要支付天价租车费了。

从Port Fairy回墨尔本大概要将近三百公里。 Z总一路狂飙，在双车道的乡间小路上施展了秋名山车技。

路上经过了一些内陆路段。

并且在今天还再次看到了飞机表演。~~再次埋下伏笔~~

等我们回到墨尔本机场还车的时候，黑人小哥还在。处理好还车手续，在一番波折后我们到达了五十公里开外的阿瓦隆机场，准备前往悉尼。

阿瓦隆机场竟然还有航空展，第一次看到了巨大的霓虹空军运输机。

机场奇遇记

五点钟到了机场之后我就一直在看抱着kindle看《倚天屠龙记》。七点的时候，手机突然收到了这么一条消息：

啊？？在经历了短暂的大脑当机之后，我们才意识到大事不妙了。这个小机场当晚只有两班航班，而在我们收到这条消息之后不久，另外一班航班就起飞了；也就是说机场里所有的人都是因为这次航班取消被影响到的人。 counter前面排起了长龙。柜台工作人员表示，因为前序航班的某些原因无法到达这个机场，所以这班航班无法起飞。航空公司将会为所有旅客提供当晚的住宿（还有通勤），30刀的餐费以及第二天去机场的交通费用。在机场等到了半夜十一点，大巴终于来了。于是我们成功从塔拉梅林机场到阿瓦隆机场走了整整两个来回。再也不买Jetstar的机票了（确信)

3 Mar 2023

Jetstar把我们的航班重新改签到了第二天早上六点钟，也就是说我们基本没有什么时间休息。在经历了几乎没有休息的一个晚上之后，我们到达了悉尼。

悉尼 Sydney

到悉尼我们就不租车了。相反，我们将会体验到悉尼的轨道交通。怎么说呢，悉尼的轨道交通相比起新加坡来，多了上下排的正向座位（我很喜欢），以及快慢线的设定。这满足了更大的客流量，以及更短的（出城）通勤时间。但是在某些非主要站点等车的时候，可能前后班次的列车有个半个到一个小时的间距。我感觉如果住在市内的话，悉尼轨道交通还挺方便&舒适的。

八点多钟回到住的地方睡了很久。房东是（看起来很有钱的）中国人，对我们很好。住的地方离市区很远，轨道交通大概一个小时左右的路程。

中午从城外再回到城内，看最著名的景观：海港大桥以及悉尼歌剧院。

悉尼的气温相比起墨尔本来说舒服太多了，主要是免受凛冽的海风的冲击。海港大桥兴建于上个世纪二十年代，有一种浓浓的钢制结构的复古气息。大桥可以容许电车，汽车以及行人通过。

悉尼湾里面还有一些其他有意思的景观。各种小船，以及一艘大船。

海洋赞礼，这就是这艘船的名字。这是世界上第二大的邮轮，往返于北半球的天津以及南半球的悉尼。这艘船始终在夏季航行。

海港大桥非常高。我们没有买走拱桥的票（因为太贵了），但是站在和道路齐平的桥面上已经可以观赏整个悉尼湾了。

悉尼湾内还停着一艘军舰，是HMAS Adelaide (L01)

湾中间还有一个海中碉堡，可能是二战的遗留产物。

桥的北岸也就是北悉尼，相比南岸要人烟稀少一些。桥洞下的公告栏贴着竞选议员的拉票传单，挺有意思。

从北岸坐船回到南岸，观赏著名的悉尼歌剧院。

~~我还记得去年考托福的时候把这著名地标建筑名字写错了~~ 歌剧院没有想象中的富丽堂皇，但是它所处的位置确实是城市中心。歌剧院外面的白色墙壁已经有一些泛黄，呈现一种象牙一样的颜色。走近看会发现外墙的瓷砖是抛光砖与哑光砖交替砌成的，所以在阳光下会波光粼粼的。悉尼歌剧院比新加坡的Esplanade好看很多，俯瞰esplanade我总会想到昆虫的两只复眼。

当天晚上有德沃夏克的美国四重奏。之后的一个月里还有伦敦爱乐呈现的马勒以及格什温。

歌剧院旁边有一个皇家植物园，里面有不少人在散步，让人想起北京的后海。

傍晚在城区中心行走的时候，经过了艺术博物馆。两旁边是文艺复兴直到维多利亚时期各种艺术家的名字与雕像，整座建筑风格类似帕特农神庙。巴黎的先贤祠的门口也不过如此（我没去过）。

还去了圣玛丽大教堂。

圣玛丽大教堂是为了纪念第一位被封圣的澳洲修女圣十字玛丽而冠名的，因此它是一座天主教堂。教堂旁边有红衣主教以及教皇的雕像。内部的玻璃马赛克窗户上描绘了耶稣受难的前后。这座教堂的风格和科隆主教座堂很相似（我还是没去过），只是估计没有教区选帝候坐镇，以及三博士的遗骨。

当晚在eastwood吃到了韩式烤肉。在浸淫了多日的炸鱼薯条以及各种澳洲美食荒漠中的“饕餮大餐”之后，亚洲菜显得无比美味。

4 Mar 2023

因为前两天过于疲惫，所以四号早上一觉睡到了十一点，去市中心吃早午饭。

烤培根和scrambled eggs很好吃，可惜量太少了。澳洲人的进食习惯和美国人还是比较相似的，都是早午饭随便整点，然后晚饭吃大餐~~（炸鱼薯条）~~。

下午去逛了海德公园。海德公园内有一座纪念馆，纪念的是曾经的澳新军团，以及现在的澳洲皇家军队死难者。

澳新军队在世界舞台上亮相过很多次。最令人熟知的应该是1915年在奥斯曼的加里波利的惨败。英军的指挥官是丘吉尔，而土军的指挥官则是凯末尔。

馆内有一个厅，放着澳新军团参加过战役地点的土壤。

有一个地点叫做“Peking”，旁边很明确地标注了时间：1900年。但是这个区域里面没有放任何东西。工作人员（一个五六十岁的澳洲学者）表示，因为sensitive reason，他们并没有获得拿到北京土壤的授权。

这位工作人员看我亚洲面孔，问我是哪里人&和我稍微聊了一下。他表示自己研习过中国历史，并对鸦片战争之后的近代史表示遗憾。我说，帝国主义的时代一去不复返了。

博物馆里还有二战的各种遗物。

出馆之后我们打算去悉尼博物馆逛一下。路上有很多LGBTQ+的旗帜，查了一下这两天悉尼正在举办world pride day.

悉尼博物馆很无趣。里面的藏品以不成系统的方式零零散散地摆放在玻璃橱窗里。

唯一可能比较有意思的展馆是原住民馆。

澳大利亚的各种地方也飘扬着原住民旗帜。这里面不知道饱含了多少原住民追求平权的汗水，泪水与鲜血。

下午我们去了悉尼大学。

悉尼大学散发着一种维多利亚时期大学的氛围（年代感）。校内的体育场都很新。

晚上还去了达令港码头逛了一圈。见到了无数的海鸥，但是没有薯条。港口很漂亮。这个港口的大小和marina bay更相当一些。

港内还停泊着一艘HMAS Vampire (D11)。这是一艘已经退役的勇敢级驱逐舰，曾经在远东与东南亚执行过不少任务。

5 Mar 2023

行程的最后一天显得十分轻松。这一天我们去逛了一下悉尼北岸的塔龙加动物园。

园区里面的动物其实不多；进馆打算看的是考拉（因为路上没见过），结果考拉馆里面只有两只，而且都在午睡。

馆内还有很多Python和Anaconda.

除此之外，袋鼠也不少。

Z总表示很想和袋鼠试一试拳击。

因为动物园就在悉尼湾的北岸，所以可以看到非常棒的景色。今天也是久违的见到了无尽的蓝天与太阳。

动物园之后的则是坐船回到达令港，稍事歇息之后就回家提东西回新加坡去也。回到久违的坡县，感觉中餐无比的美味。

#　后记

一些前面可能没有提到的点，在这里做一些补充。

澳大利亚是真正的美食荒漠。假如有朝一日我要在这里生活的话我一定会学会做很好吃的饭，otherwise我是真的会饿死。
左右舵还行，不是特别难。澳大利亚的限速是真的限住了那个速度开的，所以限一百就是只能开一百。
澳洲真的很大。地广人稀使得人均一栋别墅成为可能。
澳洲的华人是真的非常非常多。随手拍一张街头景色，可以说这是香港。
然而，即便这篇博客写了这么多令人神往的风土人情，假如我有选择，我也不会在这里常居。

城市驿站：曼谷，清迈

Tue, 17 Jan 2023 20:45:17 +0800

序言

将近四年没有离开新加坡，结果一出门就一发不可收拾。寒假大概把HPC的事情搞定了，FYP留着明年再做~~见鬼去吧~~，寒假抽空出门玩。这次的行程目的地是泰国，因为风土人情~~太便宜了~~

曼谷

4 Jan 2022

作为泰国的首都城市，曼谷是必去不可的。我和C总定在一月四号从SG出发前往曼谷。中国公民落地曼谷可以办理visa on arrival，也就是落地签，每个人2200泰铢。虽然明码标价是2000，200是为了加速通道的，但是实际情况是200泰铢是半强制。出了个远门，就算破财消灾吧。到了机场，C总的移动海外流量出现了问题。折腾了半天，还是决定在当地办了个手机卡。AIS的5G流量卡一周15G不限速套餐只要300泰铢，12SGD，还是挺不错的。打车一路晃晃悠悠前往据说是在市中心的酒店。打车费很便宜，而且也是用的grab。到了酒店的时候发现其实附近挺村的，不过看地理位置确实很中心，不知道怎么回事。想起当年去雅加达也是一样的感觉，城中村。收拾了一下行李准备和lmy见个面。打了辆车前往夜市准备大吃一顿，结果路上堵了半个小时。不得不说，曼谷的交通实在是可以用零分形容；汽车随便停，三轮车和自行车与机动车抢道，小巷两公里开了二十分钟，很难不被激怒。到达夜市的时候已经九点了，吃了日式烤肉，平均下来一个人才5SGD，让人喷泪的价格啊。夜市非常的繁华，但是规模不大。里面吃的东西很多，各种烧烤，炸串，寿司，还有甜品，等等，活脱脱一个美食街。东西便宜又好吃。最让人惊叹的是这玩意，鲜榨橙汁，甜的发齁，果肉一大片。500毫升2SGD. 十点左右回程。C总表示想试试曼谷的轨道交通。曼谷大概有一个地铁和一个轻轨，这两个不是互通的，很奇怪。站内很凉。一个很有趣的发现是，地铁里的reserve seat是包含了僧人的。看来宗教是泰国文化的很大的组成部分。下了轻轨离宾馆还有一公里的距离，我们打算直接走回去。说实话，半夜十点十一点走在异国他乡的街头还是挺需要谨慎一点的，小心驶得万年船。轻轨下站点的地方还挺繁华，往前走两步就暗下来了。走到一半有一些本地的老鸨看出来我们是游客，问我们要不要看ping-pong show。C总小声问我什么是ping-pong show?这么晚还能有乒乓球比赛？我：你回去自己查去。

5 Jan 2022

这家酒店是不带早餐的，店里蚂蚁贼多。第二天的行程是逛曼谷的历史文化景区。早上我们一路打车前往曼谷大皇宫。我在这之前对曼谷大皇宫的了解也就EU4里面这个奇观了，可以加专制度和行政容量。到了这地方附近才感觉到这里确实是王权的象征，从我们的宾馆一路堵车堵到China Town，但是一到大皇宫附近没人在这里瞎jb开车。这片区域的最高建筑也只能是皇宫本身了，这点倒是和故宫有点像，好像是二环内所有建筑高度不能超过某个地标？有点忘记了。

那天天气很好，甚至有些热。皇宫的参观有禁忌，不能穿无袖，短裤或者凉鞋。一路随着人潮我们进入了皇宫。但是由于曼谷的王室依然存在（泰国的全称是泰王国），因此很多地方我们参观不了。皇宫外围是玉佛寺，也是皇室用于祭祀的地方，和天坛的地位差不多。进玉佛寺是需要脱鞋的。参观的人非常非常多，随着无数人群我们进到了佛堂里面，但是可惜不能给玉佛拍照。有趣的是，当我仰望那尊玉佛的时候，我才想起来我早就在EU4里面听过这玩意了。某种意义上，对于上座部佛教国家而言，玉佛就是统治合法性的象征，因此地位极其崇高。玉佛对于泰王的地位，也许可以相当于传国玉玺对于天朝的地位，也可以相当于三神器对于日本皇室的地位。因此在每个季度末尾，都会有庄重的玉佛更衣仪式。玉佛最早存在于中南半岛北边，也就是在兰纳王朝附近。在之后的几天去清迈大概可以看到更多东西。玉佛寺内部还有一些壁画，大概画的是释迦摩尼佛陀在升天之前的故事，可惜我对佛教的了解并不深，只能看到菩提树下坐化那一段，至于极乐天堂，有顶天之上是什么景象完全没有办法理解。

逛完玉佛寺之后，就是看大皇宫了。很可惜的是，我们没有办法进入大皇宫，但是光看外表就已经十分气派。中午去了一家米其林餐厅吃泰餐，体验一下真正的泰国口味。餐厅十分高档，甚至有女歌手和钢琴家现场表演，有泰文和英文。从左到右是菠萝饭，芒果糯米，芦笋炒扇贝，绿咖喱牛肉，龙虾冬阴功汤，生椰子汁。味道十分了得，超越了我在其他地方吃过的所有泰餐，鲜甜咸辣无所不包，令人大动食指。

下午的行程是去卧佛寺和郑王庙。这些景点都很接近，都在走路就能够包含到的距离内。但是在走路走到一半出现了一个小插曲：一位自称是security的泰国男性与我们谈话，并向我们推荐一个当地的运河游船经典，据说比市区内的“便宜一倍”。他还没和我们说完，一辆三轮车便停在路边，按照他的指令把我们送到了那个渡口。渡口上有另外一个男的，见我们来了，极力向我们推销他的游船项目。由于他的推销过于迫真（但是不得不说他的英文是我在曼谷听过的最舒服的），因此我们表示，你这个骗术不够精通，并且1500泰铢一个人的价格也过于离谱，我们去也。就在这个推销地点的旁边就有一个公共码头，30泰铢去郑王庙。郑王庙据说是纪念郑昭，也就是泰国历史上的“达信大帝”。这位具有传奇色彩的君王广受泰国人敬仰，但是他的王朝和他的生命一样短暂。郑王庙坐落在湄南河边，很远处就可以看得见，非常气派。到了这个地方查了一下资料我才明白，郑王庙只是华人圈子里对这座寺庙的称呼，这座寺庙真正的名字其实是“黎明寺”，也有泰国埃菲尔铁塔的美称。这座宝塔确实能够给人留下犹如埃菲尔铁塔一样的深刻印象，虽然我并没有去过巴黎，很可惜。我们先去逛了一下这座黎明宝塔旁边的寺院。泰国的寺院都有一种特点，就是四四方方，四边的墙壁里要么有壁画，要么就是佛像雕像。但是进到佛堂里面就大同小异。出来上到塔上，可以看到塔有三层，由恶魔，天使，以及神灵组成不同的支撑层数，然后在最高点有着印度教神明因陀罗的雕像。有趣的是，主塔的四面也有神似关二爷的中国武士的塑像，这可真称得上是文化交融了，难怪叫做印度支那半岛，这地方深受两地影响。在坐船离开郑王庙的时候，回望了一下夕阳下的主塔。第一天的最后一战是卧佛寺，但是我觉得其实没有啥意思。一尊躺着的巨型佛像并不能让我对泰国或者曼谷拥有更多的了解。第一天的行程就这样结束了。

6 Jan 2022

其实我们的整个行程安排的还是很轻松的，真的要压缩的话，可以把六号的行程和五号一起搞定，但是又会太累。不过拆开的话又很轻松了。六号的行程是逛曼谷国家博物馆。其实在五号当天就已经去过，但是不知道为什么这个博物馆下午四点钟就关门了，但是我们五号到的时候已经下午三点了。因此我们决定第二天来。没有想到的是，由于第一天太累，第二天早上我们直接睡到了十一点，吃完早午饭到博物馆的时候已经是下午两点了，也就比昨天多了一个小时。一个小时就一个小时吧，希望能逛完。令人惊喜的是，这个博物馆里有不少东西可以看，可惜的是两个小时果然不够。这个博物馆的位置离昨日的皇宫也是很近的，这是因为这个博物馆曾经是泰国的皇室前厅，充当的是上朝以及决定政令的作用，也是泰国的二王的寝宫所在地。这个地方也同样象征着泰国王权的分裂，因此在后来的王权斗争中，二王的政治地位造到废黜。我们在前厅逛了一圈，看到了维多利亚时期泰国与他的左邻右舍，包括英属东印度公司以及法属印度支那的外交抗衡。进门左手边是维多利亚女皇，右手边是拿皇，确实是左边大英右边法妖的配置。中间摆放着二王以及泰王的王座。中殿主要展出曾经的皇室用品，比如说我们就看到了象牙制的象棋（真象棋）以及一头战象的模型。说实话古代战争要是碰到这种巨无霸朝你冲过来，没有有效的反制手段，就参考一下索姆河上的德军面对英军坦克之后的下场吧。

这个大厅里面还有一些其他艺术品，比如说各种丝绸，服装，兵器，家具等等。可惜的是，这些东西的展出都只是展出而已，并没有以很系统的方式讲述他们的来历。还有一些泰国皇室曾经的娱乐设施。这个面具应该是给皇室演习用的，有趣的是其中有一个红色的大象面具。不知道饰演大象的人主要会有甚么戏份，但是看他的位置那么居中，想必不会是个配角。

我们离开中间的展厅前往两边的展厅。惊喜的是，侧厅相比起中厅，更像一个博物馆，讲述了兰纳，素可泰以及阿育塔耶王朝的兴衰。这里面展出了许多的石制佛像，以及佛教在中南半岛盛行的历史。这里面有一些很令人大开眼界的展品，比如说这个：有点掉san，这怕不是克苏鲁的化身啊。以兰纳古文字记录的法典，应该是？保存的非常完好。还有这个，这是最让我惊讶的。两根象牙以极其精妙的加工方式被雕刻出了一层一层的佛像的神龛，精美程度让人惊叹。逛完博物馆已经下午四点了。我们原本打算研究一下第二天怎么前往芭提雅，但是C总表示自己身体不舒服，想要早点休息。于是我们返程回宾馆。

7 Jan 2022

C总前一天晚上生病了，于是我们取消了这一天去芭提雅的行程。我呆在酒店里看了一天的JOJO以及神雕侠侣，不失为一番奇妙的体验（乐）

8 Jan 2022

C总这一天身体好多了，不过我们本来也要离开曼谷了。我们乘坐飞机飞往北方古城清迈。

清迈

说实话，相比起曼谷，我更喜欢清迈这座城市。这种偏爱，在从机场出来的那一刻就能感觉得到：首先，在北半球的一月份，他能让我感觉到冷，这说明这地方是有四季的。查了一下地图，清迈离西双版纳其实只有三百公里，离云南省其实已经非常近了。我们花了3SGD打到了从机场到宾馆的车。在车上就能看到清迈古城墙的遗址，这在一座现代城市也是难得的景观。我曾经在西安和南京看到过，现在在清迈也同样看到了。

在地图上同样能看到，在清迈最中间的地方树立着一个小正方形。到了酒店，酒店的前台的英文说的极好（可能是专门培训过的），并且住宿环境也十分不错。整理好行囊之后我们打车去比机场更远的清迈夜间动物园逛一圈。

夜间动物园管理的其实非常好，甚至可以说比曼谷的某些皇家景点都要好了。这地方因为在山里，所以特别冷；我后悔穿了我最薄的短袖短裤，因为入夜了之后可以说冷到了冬天。在步行区域看到了很多可爱的小动物们，比如说这个对不起，我生物学的很烂。下一个：这个我还是认得的，这不是压缩毛巾，这是鳄鱼吵得要死，一直在叫。建议自己听。~~亚卡吗洗！~~ 动物园中间有一个很大的湖，里面有各种天鹅。

天好蓝。

还有看到一些很有趣的动物，比如说正在挖洞的，这应该是鼹鼠吧？

我们在步行区里面逛了一个小时，然后去坐观光车去看了一下比较大型的生物。有比如说信萨满教的动物，我都不知道该怎么叫这玩意。狮子。

当然最让人震撼的想必是长颈鹿了，它是真的高啊。

还有大象。巴普洛夫告诉我们，只要训练的当，大象也能向你招手。

出了观光区，晚上还有一些演出可以看。比如说豹子下水：

以及老虎表演什么的，想起来小时候和老虎拍过照片。

动物园这地方离清迈市区太远了，打车费了好大功夫。

9 Jan 2022

第二天主要是逛清迈古城。

如同昨天看到的一样，清迈的中心区并不是商业街，而是静谧的清迈古城。我们住的地方离古城东门，也就是塔佩门很近，于是第一个参观的地方就是这里。城墙根鸽子特别特别多。红色城墙把这片老城的历史底蕴衬托得淋漓尽致。从塔佩门前进，就能见到不少佛教寺院。里面有个老和尚英语讲的很好，和我聊天，问我哪里来，准备呆多久。

清迈古城值得去的寺庙有好几个，首先就是中央的契迪龙寺。虽然寺庙已经只剩下残垣断壁，但是依然十分壮观。这座寺庙也是清迈的最出名的景点。契迪龙寺内部有着极高的龙脑树，以及某些得道高僧的纪念堂。寺院内还有清迈的城市立柱，女性无法入内；

清迈古城里还有另外一些寺庙，比如说帕辛寺。我在帕辛寺内的一个大堂里坐了好久，观察其中一尊雕像，但是突然发现那个雕像竟然是真人，差点没给我吓死。泰国的僧人坐禅都不需要眨眼的吗？

另外一座可圈可点的寺庙是清曼寺。清曼寺里有供奉着玉石佛像，以及藏经阁。

清迈街头还有一些非常高技术力的涂鸦。

~~任天堂和迪士尼法务部还有五秒钟到达战场 ~~

古城的警察局旁边还有一个大广场，上面立着兰纳王国的三位创始人。

据说当天晚上还有烟花表演可以看，但是我们买了水果直接就回去了。泰国的芒果和榴莲都是一绝。

10 Jan 2022

在清迈的第三天，我们去爬清迈西北方向的素帖山。这也是我们行程的最后一站。要上素帖山，得先到清迈大学下面坐双条车。我们兜兜转转在清迈大学内部绕了老半天没找到坐车的地方，于是问了一个正在健身的路人。没想到这路人的英语说的极好，他表示自己父母都在清迈大学当教授，而且看我们都是游客，于是愿意开车捎我们一程，真是贵人哪。双条车其实就是大一点的篷车，上山的路弯弯绕绕非常晕。在经过了无数弯道之后，我们在双龙寺门前停了车，开始攀登这座寺庙。这座寺庙之所以被称作双龙寺，就是因为这门前的两条龙。在爬过无数级台阶之后，我们进入了这座山中寺院。双龙寺的中间有一个很大的宝塔，非常多韩国人（？）在这里诵经拜佛，据说塔里有佛祖的舍利子。不过逛了这么多寺庙，每个寺庙庙均宣称自己有一颗佛祖舍利子，不知道佛祖舍利子够不够用。这一天天气非常好，天十分的蓝。在进到双龙寺的某个寺院的时候，还坐在毯子上免费听了某僧人讲经，虽然一个词都听不懂~~（您提供英文讲经业务吗？）~~但是禅经的韵律和高低的曲调听起来十分悦耳，如果没有其他事情的话可以坐在这里听一整天。

出了双龙寺，在半山腰品尝了一下久违的华夫饼冰淇淋；然后就到了漫长的等车时间，因为我们不像其他游客都要下山，我们要到更高的蒲屏皇宫去参观。在等了将近半个小时之后，我们上车开到了皇宫。和大皇宫一个道理，这个皇宫的内部也是不让进的，并且如果有皇室成员要来，那么这个皇宫就不对游客开放了。皇宫甚是气派；并且十分凉快，本身就是为了皇室避暑所建。宫内有一个很大的植物园，种着各种观赏花卉。

我想进会客厅去看看来着，但是被门卫无情拦下。

在往山上走的时候，我们在皇室的娱乐屋门口坐下乘凉。

C总：好想在这里打德扑这娱乐厅一股日式神社的味道。不过不得不说，这个地方非常非常凉快，可以坐在长椅上听蝉鸣，极度舒适。离开了皇宫之后，在山顶山有一个观景台，可以看到清迈全景：这观景台还挺隐蔽的，不过在这里看绝境也是赏心悦目了。

当晚完成了泰国的最后一笔吃喝消费，吃了清迈最受推荐的日式炭火烤肉，十分不错。

11 Jan 2022

于是我们就回程了。这一周是开学周。

后记

泰国给我的感觉和新加坡是截然不同的，这是一个真正的东南亚国家，是一个经过高速发展，也许依然处在高速发展但是矛盾重重的国家。她的首都，曼谷，我并不觉得可以定义为一个世界级大都市：反而我觉得这是一个扩大版本的县城。城市病在曼谷十分突出，堵车，流浪汉，脏乱的市容市貌和繁华的闹市区似乎格格不入，色情产业，妓女和僧人却可以在一片天空下呼吸空气。这是一个神奇的城市。而清迈则摆脱了曼谷作为首都城市的包袱，在北边的大山深处静静的呼吸。她兴许也拥有与现代城市接轨的一面，但是在古城内部却保留她作为古都的内核。这种文化底蕴却是很多世界级大都市也都没有的。

城市驿站：达拉斯

Sat, 26 Nov 2022 00:01:03 +0800

关于 `城市驿站`

好久不见。真的是好久不见了，因为平常不怎么写博客。时常会有一些新的idea，但是总是懒逃这个城市驿站的想法倒是有了很久了，主要是上了大学第一次去印尼爬火山的时候，当时因为某些不方便说的原因，差点死在火山口了——于是便觉得人生苦短，及时行乐，有必要把每一次出行的经历都记下来，以防自己哪一天挂掉了，就再也没有人知道我的精彩人生了逃于是乎之后大概会记录一下自己去过的每个地方，无论是以旅游的形式，还是旅居还是常驻。

启程

这次去达拉斯是参加SC22的student cluster competition. 十一月十二日早上从新加坡出发，经停了一下东京。第一次坐这种长程航班，从新加坡出发如果要一路飞到达拉斯的话可能要飞二十几个小时。因为没有直飞航班的原因，在东京中转了一下。不得不提，在十二号那天的前一天，也就是星期五，我刚考完学校的日语4口语，因此刚好有机会练习一下我的塑料日语。没有坐过日本航空的原因，但是在2017年的时候高中交换的时候有坐过全日空。感觉是ANA的服务质量会相对来说更高一点，不过日本航空也提供不错的饮食。

然后最好玩的事情是，在飞机上没事干，发现了霓虹麻将草，练习了一下麻雀技术，胡了一发大的。

于是就落地东京了，成田机场比记忆中的小了不少，航站楼完全比不上樟宜机场的规模。在航站楼里的酒吧吃了点热狗当晚餐两个小时之后启程飞往达拉斯。

在不知道飞机上睡了多久，以及看了多久神雕侠侣之后，大概能够看到北美土地了，很有一种新鲜感。想当年哥伦布第一次到达美东大概也是这种感觉。第一次坐动车到淮河以北的时候，看到了在东南丘陵地区看不到的广阔华北平原。这次在飞机上看到了德克萨斯的同样大的平原，十分震撼。large tracts of arable lands. 如果旧大陆能有这么广阔的可耕种土地的话，想必现在已经人满为患了。不知道对于人类而言，世界上最先进的政体以及科学技术与这样广袤的新大陆相结合，不知道是不是幸事。飞机上坐我旁边的是个很典型的拉丁裔美国佬，确实是那种没啥文化的美国佬。他说他这次和家人去东京旅行，准备回他费城老家。他问我是不是第一次来US，我说是。他表示，好好逛，好好玩。下飞机之后快速通过海关，发现沃斯堡也就是一个小机场，大概和福州长乐机场差不多大小，不过我只能看到一个航站楼。外面的气温比新加坡凉很多，幸亏带了夹克。

到达

出门教授替我们打了车，外面揽客的基本都是黑人司机。上了一个埃塞俄比亚籍的司机的车，一路开到达拉斯市区。在郊区行驶的时候完全看不到三层高的建筑物，全是那种平方和motel。想起GTA。开了将近半个小时到了市区边缘，大概能看到一些高楼大厦了。慢慢悠悠进了市区，司机指着一个环形公园告诉我们，这就是肯尼迪被干掉的地方，也是“what Dallas is famous for”。之后大概就是下榻，然后去参加general meeting。不出意外，我们果然是最后一个到的。当晚有个小party，但是感觉没啥意思，吃了个饭就回convention center修机器，配好subnet都已经半夜三点了。回房间大概把二十四小时没充电的脑子补充一下精力。

比赛前一天

第二天醒来的时候已经早上十点了，问了一下前一天晚上和我一起熬夜的队友，他还没去会展中心，其他人都已经过去了。两个人大概下楼711买了个早餐，一路慢慢穿过达拉斯城区到城区边缘的会展中心。这时候大概可以有一点精力可以体会一下美国的城市节奏了。达拉斯这个城市往大了说，是德克萨斯的第二大城市（第一是休斯顿）。但是往小了说，城区其实只有两条两公里长的平行单行道中间夹着的街区而已，和中国一个县的市区差不太多，更不要说新加坡的大小。就如前一天在飞机上看到的一样，美国人都住在城外的房子里，等到要上班的时候再到城内来工作。因此可以在711看到一些来买饭的社畜。 711的老板不出意外也是黑人。在来达拉斯之前体会过墨西哥食物——说实话不是很能品鉴的来，比如说经典的Guacamole with crispy tortilla chips，以及干切鸡肉蘸酱啥的。于是在711只是点了个热狗就带走了。街上无论白天还是黑夜，都有流浪汉。只是白天的流浪汉大多坐在长椅上，盯着你从街道的这一头走向另外一头，有点瘆人。天空很蓝，不知道是不是季节的原因。之后的整个星期日大概就耗在了会展中心里，整个中心正在布置SC22的展会。前一天大概有看到一些大IP，比如说NASA，Supermicro之类的，不过因为没开门所以没啥机会逛。我同样也不知道，从周一到周三几乎所有的时间都要对付调试机器和各种编译错误，也没啥机会逛展子，只能等到周四。周天下午大概拍了一下整个活动的官方照片，只能说美国人特别喜欢拍一张正经照片和一张不正经照片。之后的时间就是垃圾时间，修修机器，十几个小时就过去了。到了半夜两三点的时候，loke表示我们明天这些要跑benchmark的人最好还是早点回去休息，于是在会展中心外面打了车；于是就用uber喜提劳斯莱斯魅影体验券一张。感觉是这会在街头半夜飙车的人顺手接订单的。

星期一： benchmark day

休息了一个晚上，第二天早上六点就醒了，没睡多久。从周一开始SC22提供从市区到会展中心的shuttle bus，直接坐这玩意去上班（不是）。 benchmark day说实话任务不少，大概要跑HPL，HPCG，IO500和一个新的mlperf（以后应该会成为benchmark常客）。值得一提的是，组委会在工作区域旁边立了一个很大的屏幕记录各个队伍的功耗，只要有人超了警报就会响起，有点小紧张。有件比较好玩的事情就是，MIT+BU+NEU的队伍刚拿到他们的机器，没有rack，于是问我们能否把他们的机器上到我们的rack上。可惜rack空间满了。

其间和NTHU的朋友聊了一下天，很开心。他们的领队表示，如果我是学IC的，非常欢迎来台湾进修。轶事：当天下午跑IO500的时候尝试把一张PCIe4的设备从一台机器上转移过去，但是失败了，好像识别不出。惊出一身汗。

当天下午五点半，benchmark就结束了。拿了一份会展中心的免费晚饭，等到七点钟的时候，steve宣布比赛开始，并且mystery app也被公布出来了。忙活了一整天的我决定直接回宾馆睡大觉。

星期二-星期三： 48hour challenge

第二天早上同样也是很早就醒了。拍了一下早晨的街景。说实话，和我印象当中的那种美国小城市差不太多。回到会展中心之后，又是精力充沛地投入工作。当天下午一个比较有意思的事情是被邀请去参加TOP500的颁奖仪式。在颁奖仪式上，世界上最快的超级计算机会被公布。虽然在ISC22的时候就有耳闻，但是橡树岭还是实至名归地夺冠了。我不值夜班，但是也是挺晚才回去。歇了几个小时，我又回来了！周三的时候有一些公众活动，比如说海报展览。以及当天下午的lightening talk。

周三晚上

当天下午五点半，比赛宣告结束。大家都很累，长舒一口气。当晚教授表示，大家都干的很好，问我们要去哪吃庆功宴。我们表示想吃当地食物，但是这种菜馆都爆满。无奈，只能去一家意大利餐馆。尝试了一下德州啤酒shinner bock。点酒的时候才意识到我护照和其他身份证件忘带了，辛亏服务生接受电子证件。

周四

可能是因为前几天生物钟都已经调整到了一个匪夷所思的地步，周四早上同样没有睡太久，九点钟就到会展中心了，结果只有我一个人。 UC austin有个哥们在用大屏幕玩NS，问我要不要加入。我表示他大乱斗打的很不错。十点的时候，会展又开了。这是最后一天，所以要抓紧时间逛一下展会。先去了一趟微软Azure，看了一下他们的A100逆天机器，以及MI200s的。比赛中我们也有被赞助云计算资源，来自oracle和微软。之后去了AMD的展子，看了一下收购了Xilinx之后的A家加速套装到底有多猛。听了一下AWS的量子计算的展会。还有蓝厂的一些加速计算案例。最有意思的是竟然还有UCIe的展子，虽然很小。我和展会负责人表示，我博士项目的方向就是这个，他很是高兴。没有想到Chiplet还能火到SC展会上来，不过也合理，毕竟4代EPYC就用的chiplet技术。除此之外，还去了OpenMP的展台。展台负责人十分热情，送了我一堆纪念品，然后问我用不用OpenMP.我说我是打SCC的，不用OpenMP怎么多线程啊。

之后就是喜闻乐见的颁奖仪式。今年是NTHU夺冠，他们对高性能计算的理解高出我们一个档次。在此之后和他们的领队之一拍了合照，非常健谈。当天晚上我强烈表示想吃德州烤肉，于是就打车到了达拉斯最有名的烤肉店。原本当晚还有一个非官方的party，我们感觉人太多就没去（幸好来了这家）。我们一路走到城郊。人非常的多！已经有了一些圣诞的氛围感。并且我也是第一次见到德州烤肉的那种烤炉，很震撼。点了一份Brisket和一份香肠，加Mac&Cheese。很美式的烤肉店提供免费续杯的碳酸饮料。最有戏剧性的就是，我们吃到一半的时候，commitee进了这家店，碰到了我们。我们表示，你们不去那个party吗？大家都很尴尬地打哈哈，不过都表示由于这家店太好吃了，所以……。一些合照。

后记

公费旅行出游还是一段很有意思的经历，见识到了不同的风土人情，也结识了很多有意思的人。不过在周五坐上回程飞机的时候，想到两天之后的混合信号IC考试，还是有够头痛的。再见，达拉斯。

永夜抄H结界组6a混关笔记

Fri, 07 Jan 2022 13:03:17 +0800

2022年一月七日，永夜抄H难度发了，可以说是了解了一个高中以来的心愿。2018年其实是手贱进了6b，然后9961疮终（悲）

想了一下，写一个笔记，也是对自己不成熟的STG生涯的一个阶段性总结。

关于机体：幻想的结界组

机体选择了喜闻乐见的结界组，只是单纯因为我不会玩另外三种机体组合。结界组比较容易上手，适合新手。聊一下结界组用起来的一些优点：

高速模式（人）：乐园的可爱巫女博丽灵梦

灵梦有着不错的移动速度，虽然不如魔胖子的速度那么快，但是中规中矩的移动给低封打法提供了足够的精度。

火力上来说，灵梦的火力也不如魔胖子高，但是是唯一一个诱导机体，站在哪里都能打输出，可以专心躲避弹幕。

低速模式（妖）：境界的妖怪八云紫

紫的火力比灵梦稍微好一点，但是移动速度慢的可以。当然比起幽幽子还是要快了不少。

比起火力上的优势和判定点小，紫还有一个好处就是可以用八云蓝锁住敌机，这点在之后的一张卡里面有奇效。

当然除了这些比较中规中矩的优点之外，选用结界组的原因就在于~~如果选咏唱组的话4A快要糟死我了简直是要特么SJF附体好吗疮爆~~

如果4B是困难，那么4A简直是极难。用灵梦，灵梦就打不了我了（悲）

关于难度

永夜抄的难度比起其他作品还是亲民不少的，资源多并且弹幕也比较中庸一些。永N应该是被称为最简单的N难度官正。

资源多在于敌机的SC数量是比可以拿到的Bomb数量还要少的，可以把所有符卡都炸过去，一张都不收取。但是问题在于，有些非符的难度也很高，所以合理使用资源也是很重要的，一定一定不要抱B撞了，简直是人生教诲一样的真理。

好了那我们开始进入正题吧。

一面：萤火的行踪

一面道中

开局是标准的两残三b。

开场可以板顶站位，敌机会左右左右地交替出现。速破掉收点就行。一面的P点资源是不足以完成全火力的，要等到二面。

然后关底boss莉格露·奈特巴格出现。道中非符没有什么难度，收取。

萤符「地上的彗星」

灵梦感人的火力可以打掉一个使魔。这张卡比较烦的地方在于使魔在第一轮子弹压下来的时候会左右抖动，容易被封位。但是还是比较简单的卡，建议收取。

击破之后继续清敌机，然后就到关底了。

一面关底：莉格露·奈特巴格

一非没有什么难度，使魔是从关底boss身边出现的，用灵梦可以快速击破。其他子弹都是固定弹。

灯符「Firefly Phenomenon」（萤光现象）

同样是先击破使魔，再在板底位移。小玉是自机狙，其余是固定。

二非和一非差不多，不多说。

蠢符「Night Bug Storm」（夜虫风暴）

随机弹加固定弹。也很好收取。

LSC: 隐虫「永夜蛰居」

LSC的话收不收无所谓。这张卡换成了高速固定弹。

到一面关底，应该是两残3b不变的配置。

二面：人类消失的道路

二面道中

敌机会先从右边再从左边出来，板边和板顶的顺序。注意收掉第三波敌机之后可以开启全火力。

两边清完之后把中间的使魔击破，可以获得一个bomb。两残4b。

然后到现在为止，已经可以收取100个蓝点了，应该能够奖励一个残机了，也就是三残4b，豪华配置！

二面道中最后就是左右左右右的顺序出敌机，速破即可。然后见到关底boss：米斯蒂娅·萝蕾拉

小碎骨的道中一非是螺旋状的固定弹，比较好躲避。

放完几波之后会放蓝色封位弹，结界组的火力可以清掉一个使魔。收取。

声符「木菟咆哮」

眼花缭乱的交叉固定弹，很像帝的二非。这张卡如果躲避不了的话可以考虑炸掉。

二面关底：米斯蒂娅·萝蕾拉

关底一非的弹幕间隙会比道中一非更小一点，弹幕下压的时候多加注意。收法和道中一非一样。

毒符「毒蛾的鳞粉」

比较糟的一张卡。鳞弹有点子机相关的意思，然后中玉会封位。可以考虑炸掉。

二非的打法会稍微麻烦一点。中玉不再是分成几束下压，而是密密麻麻地以使魔的形式释放出来，需要快速打掉尽可能多的使魔，不然就是非常非常糟。L难度这张卡糟的一比。

鹰符「Ill-Starred Dive」（祸延疾冲）

为什么夜雀叫做夜雀呢，因为会让你夜盲啊。这张卡会将你的视野影响到只剩原来的四分之三左右，但是这张卡的收法很有趣，上避。注意要释放第一波鳞弹之后再上避，不然夜雀会释放护身弹幕。

红色鳞弹在靠近的时候最好躲避。

夜盲「夜雀之歌」

夜雀终符，夜盲会非常明显。视野只有判定区域旁边的一块。但是实际上只需要躲避交叉的红色鳞弹就行。

LSC:夜雀「午夜中的领唱者」

很惭愧，LSC这张卡并没有打出来。

三面：吞食历史者的望乡

三面道中

三面开始，就有一点糟了。这时候结界组的诱导开始发挥大用，因为敌机都比较脆。

开场板底站位，然后躲避掉前三波的固定弹之后，开始在板底微移。切忌xjb跑，非常容易被封位。

可以看出，弹幕大多是自机狙，微移就很游刃有余。

这时候蓝点应该收够500了，可以再拿一残。

然后是左右两边出现的使魔，有点小糟，不行的话可以一波带走。觉得OK的话，版右站位，用诱导清怪。一定不要xjb上线收点，不然就等着糟吧

剩下的几个敌机，低速锁定击破就可以，不是很难。然后见三面boss，慧音老师。

慧音的一非是交叉弹+固定，可以左右横跳收取。使魔很脆，可以把下面的两个都打掉，减轻压力。

产灵「First Pyramid」（最古老的金字塔）

这张卡会有一些糟，最好高速收掉。使魔很厚，结界组的火力打不穿。小心被大玉封位，其他弹幕是固定弹。

击破这张卡之后，老师会掉一残。快速上线收掉之后马上退到版底。清掉两队敌机之后进入关底。会额外奖励一bomb。

三面关底：上白泽慧音

关底一非，用高速把使魔打掉。这张卡切低速的话，慧音会放蓝色弹幕，非常糟。站位就站在对称点中心，然后打掉老师四个使魔，第一波是安定。然后低封收掉。弹速很快，切记速破。

始符「Ephemerality 137」（短暂的137）

137这张卡说实话可以直接炸掉，当然学会左右横穿了之后收取四面魔炮也会容易很多。当时人品好，弹隙很大。

野符「义满的危机」

没有练过刀弹，这张卡直接b了。放b也有一个技巧，一定要和对面合体，这样伤害会大很多。

二非比一非要更难一点，没有信心的话直接炸了吧。当时属实有点菜，放了一个决死。

国符「三种神器　镜」

直接炸了，没啥说的。

虚史「幻想乡传说」

终符。这张卡退到板底，然后听三声弹幕往左微移一次，固定收。但是我太菜，被带走了（悲）

LSC:未来「高天原」

收法和终符一样，可以考虑收取。

四面：饱含魔力的土地下

四面非常非常糟。上三面预留好的足够多的bomb，直接一路交b炸穿过去就行，如果对自己没有足够把握的话。

当然，如果到这里没有四残的话，也可以推把重开了。

四面道中

四面按照故事情节是一场追逐战，所以道中的速度很快，高速弹幕一般都是自机相关，需要很高的背板技巧。

四面有很多这样的旋转敌机，但是不难，直接锁定中轴速破就行，会带走很大一部分弹幕。当然要求背板。

在击破之后一定不要上线，除非有足够的把握。灵梦的速度上线很有可能被贴脸敌机体术。

最后两个敌机会爆两个b，收取之后就到喜闻乐见的主角组大战了。

四面关底：雾雨魔理沙

魔理沙的一非，可以炸掉。炸的时候一定要用高速b。

魔空「Asteroid Belt」（小行星带）

非常糟，曾经看大触收过一次。我是没有这个能力。大星星是从上往下的，然后两边会出小星星封位。炸掉，请。

可以看到，我甚至用了两个b（不是决死）。二非的话还是那句话，炸掉。我这里甚至抱了一个，很惨。

黑魔「Event Horizon」（黑洞边缘）

为数不多的可以收掉的卡，在板底偏上一点的地方待命，然后等星星压下来躲避就行了。

在这之后，魔胖子跑掉了，回到了敌机的追逐战。击破最后两个敌机，可以再获得两个b，属于是神主明示你放b了。

然后魔胖子又回来了，三非。不要看弹隙好像很大，可以收，too young!

炸掉，请

恋风「Starlight Typhoon」（星光台风）

这是一张姿势符。还记得上面讨论的，为什么紫的使魔蓝很重要吗？这张卡可以用这个机制非常轻易地收取。将蓝锁定在魔理沙身上，然后去到版左上方，此时星弹只会放高速弹。上下微移，可以在三十秒内用蓝的火力收取掉，非常的不讲武德

四非，没什么好说的，你知道我要说什么：炸！

恋心「Double Spark」（二重火花）

来了，魔理沙的标准符卡，魔炮！

这张卡我建议还是炸掉，但是我当时头铁，尝试收取，并且成功了！要点在于引魔炮，然后钻大星星缝隙。

放魔炮的时候整个屏幕都会颤抖，想想永夜抄的exe icon就是魔理沙，果然是第一主角。颤抖屏幕的时候视力会受到影响，所以要做好预判。这时候灵梦的诱导也发挥了很大作用。

光击「Shoot the Moon」（击月）

终符。击月这张卡的预警线很迷，我不是太会躲，还是那句话，炸了！

LSC:魔炮「Final Spark」（究极火花）

屏幕都看不清楚了喂。LSC就看着办。

五面：污秽之世美丽之笼

五面道中

进入到五面，说明已经有实力冲击混关了，或者是刚刚从四面苟延残喘过来，只剩一点点资源。

五面开场的这个敌机没有体术判定，可以直接合体击破，~~不讲武德~~

五面会有很多幻影兔子，弹速很慢，从左到右然后从右到左清完，不要留下一个，否则会很糟。

五面也有很多如同四面一样的旋转弹幕的敌机，打法都是一样的，切忌上线收点。

然后是黑兔子的一非。

弑神兔果然不是吹的，交叉弹很难躲避。建议一非炸掉，不要学我头铁去躲。

二非的话只是普通的交叉弹，据说右下角有安定点，我没发现。可以炸掉，但是我选择收取。

击破因幡帝之后会奖励一个残机。然后又是重复的清兔子时间。学会背板之后会简单很多。

最后两个兔子会掉两个b，然后进入关底打受兔。

五面关底：铃仙·优昙华院·因幡

一非得话是有点自机相关的弹幕，注意看清楚了就能收取。

幻波「赤眼催眠(Mind Blowing)」

姿势符，又是使用蓝大人的时候。把蓝锁定在铃仙身上，然后弹幕虚化归位，实化往左下角退，只需要穿越一层。

只是蓝大人的火力很感人，所以要等个二十几秒。

二非的话是比较容易封位的交叉但，一b带走。

狂视「狂视调律(Illusion Seeker)」（幻觉追迹者）

老太太过马路。这张卡我是不太会收，而且很糟很糟。建议1b炸掉。

铃仙的三非是纯自机狙，而且自己也会靠左移动。板底往左微移就可以了。

懒惰「生神停止(Mind Stopper)」

这张卡我是第一次收取，很惊讶，本来应该要带走的，但是已经没有b了（笑）那就试试扭一扭吧。

第一波可以躲在正下方，第二波先等上面的封位弹幕下来，再快速穿插，往复三四次就行。

散符「真实之月(Invisible Full Moon)」（隐形满月）

终符。可以考虑炸掉，也可以考虑慢慢退开。我不想扭了，我直接炸啦！

LSC:月眼「月兔远程催眠术(Tele-Mesmerism)」（远程催眠）

LSC算是全yyc最难的卡之一。（老太太过马路2.0）我是不会收（笑）

六面：藏起公主的夜空珠

其实进了六面可以看一下自己的资源数量了，因为不需要全卡收取的话，混关玩家可以用光资源，一路炸过去，不续命通关就行。

我这里还剩四残两b，相当充裕的资源储备，打个6a应该是问题不大。

六面道中

开场的这个敌机，很恐怖，但是只要在板底微移就可以了。

旅人1969超好听！

六面道中堪称是最短道中。敌机只有这样的：

击破本体就行。前两波可以上线收点，之后就不要上线了，容易被体术。

师匠登场！道中一非有一点糟，鳞片弹是固定，小玉是自机狙，但是不是L难度不需要折返。可以1b带走。

天丸「壶中的天地」

这张卡据说有固定收法，但是我不会。1b带走。击破道中师匠之后可以获得最后一个b资源。

六面关底：八意永琳

关底一非是熟悉的交叉花状弹幕，很漂亮。钻空隙就行。

神符「天人的族谱」

二叉树！我看到了二叉树！

预警线有一点难，可以考虑1b带走。

二非，下围棋。可以炸了。

苏生「Rising Game」

这张卡是考验机师对大玉小玉和其他子弹的判定理解的，当然也很容易被封位，可以炸了。

三非，交叉的大玉。也是对判定的一个理解。

神脑「Omoikane Brain」（思兼的智慧）

~~东方跟着转~~很糟的一张卡，要跟随弹幕旋转，可以直接带走了。

四非，交叉弹。可以看到背景换成了阿波罗登月，再联想一下道中曲：旅人1969，可以猜一猜神主的小心思。

天咒「Apollo 13」（阿波罗13）

不用猜小心思了，这明示你了，阿波罗13.但是本文并不是考据党。

这张卡据说用b造成不了伤害，但是我撞了一个决死。这张卡也是花状弹幕，很有永琳风格。

秘术「天文密葬法」

终符。可以看到我还有三个残机，不慌。

终符的话其实是测试火力的时候，魔理沙拆使魔的速度是灵梦的两倍不止。结界组这时候只能慢慢徒手拆，所幸b的数量管够，拆不动了就放一个b清一下版面，然后继续拆。其实拆到一半已经够了，可以考虑打永琳本体。

LSC：禁药「蓬莱之药」

不会收LSC，润了，通关！

通关的时候还剩两残，可以说是摸鱼大胜利，最近两年都没怎么打STG了。但是有时候，偶尔听听神主的幻想风格音乐，欣赏一下优秀的弹幕射击，体验一下紧张的弹幕对战，还是很有体验的。

永夜抄这部2004年的作品，放在今天依然优秀，甚至我愿称之为车万系列最出色的作品之一。他的文化背景，作曲，弹幕射击，故事风格，还有难度设计，都是一流的。

最后，希望车万能火（逃

漫谈'历史'与'历史学'

Fri, 10 Dec 2021 00:36:27 +0800

引

很久很久没有写过中文的文章了，文笔退步不说，逻辑混乱没有条理句读不识真是抱歉。但是我觉得脑子里的观点还是很有价值的，无论怎么样还是写一写吧（笑）

从"白泽"讲起

上手yyc有一点年头了，里面一个很有印象的人物就是慧音老师：

上白沢　慧音（かみしらさわ　けいね）

作为永夜抄的三面关底boss，慧音老师的设定是化身为人类的白泽。所谓"白泽"，就是：

兽人中有着一位不仅拥有渊博的学识，更具备最为聪颖的头脑的成员，她的名字叫做上白泽慧音。她只要看到满月就会变身为白泽（×1顺便一提她是后天性兽人。）。 所谓的白泽，是会在治国有方的贤君面前现身，预言未来灾祸，并为贤君指明正确治国道路的妖怪。

身为人类时，她的能力是将已有的历史全盘抹消；变身为白泽时，则能创造历史。

吞噬(隐藏)历史程度的能力，与创造历史程度的能力（永夜抄）

吞噬历史程度的能力（人类时）创造历史程度的能力（动物化时）（求闻史纪）

——thbwiki关于上白泽慧音的介绍

白泽的典故实际上出自于中国古典神话。在《轩辕本纪》中便有白泽神兽的记载，根据维基百科的记录。

通晓历史，并为贤君指明正确治国道路的妖怪，这就是白泽的使命。实际上，这是一个对于历史学家 这个名词的一个较为朴实的描述了。历史学家，即研究历史，并提出论断的学者。在古代乃至近代，历史的作用，都是给予后人以参考，并在很多方面提醒普罗大众不要重蹈覆辙。著名的有历史学意味的作品，有杜牧的阿房宫赋，苏洵的六国论，以及春秋战国时期各种各样纵横家引经据典用于说服王侯将相的篇章。我们可以看到，历史是客观的，而对于历史的理解，或是说"历史意义"，则是和解析历史的人有关。这样的人而通常就是我们所称的历史学家。

然而，在很多情况下，解析历史这个过程，却极容易引入争议。一句极为著名的话，所谓"历史是任人打扮的小姑娘"，说的便是这个。历史是客观的，然而记录历史的过程却确确实实是主观的。不同的人看待一段历史会得到不同的结果：一个法国人和一个德国人会对拿破仑的功过争论不休，一个美国人和一个印第安人后裔也同样会对西进运动的历史意义产生分歧。

历史与历史学

我不是所谓历史学家，我也不敢自称历史学家。历史学家对于历史的了解比我广泛，对于历史事件的理解也比我透彻。我只是一名普通的历史爱好者而已，也就是对"历史"有着比较浅显的认知，读过一些历史读物罢了。闲暇的时候也玩P社游戏，（已经被批为"历史虚无主义"的时代产物。）

我很感谢我的朋友向我推荐了一位UP主，B站的"稚嫩的魔法师"。魔法师本人是武汉大学的历史系研究生，在闲暇的时候推荐历史相关的书籍，带领听众拨开重重迷雾去阅读一本鸿篇巨制。关于他的一些代表性视频，有"拿破仑皇帝"，“西晋的灭亡"等。

我是抱着娱乐的心态关注魔法师的，入坑作品是他的"康熙王朝”（玩EU4的一个录像）。在完结的末尾，他例行推荐书籍的时候，他推荐了这样一本书：

宫崎市定的《雍正帝》。宫崎市定是一位颇有造诣的日本历史学家，已故。魔法师在介绍这本书的时候，特地选出了前言中的这一段话：

如果读者读完此书后仅感到书中所写的确实是在中国发生过的事情，那么可以说我的意图就完全以失败告终了。因为比起从过去的世界里不断地找出意想不到的事实介绍给大家，修正至今为止在不知不觉中形成的历史图景才是历史学的任务。

我非常喜欢这段话，某种意义上他解释了"历史"和"历史学"的不同。就像我在上文中说的一样，历史是客观存在的，不因为人们的观点而改变；秦始皇修了长城，凯撒遭到刺杀，马丁路德推动宗教改革，天主教会的人被新教徒从波西米亚的市政厅窗户扔出。这些都是客观存在的事情，而宫崎市定所说的"历史图景"，才是所谓历史学，并且是在"不知不觉中形成的，需要修正的"历史学。为什么会有需要修正的历史学？回到上文中所谓"不同的人看待一段历史会得到不同的结果"，会有新的发现。这并不是说，世界大战后战胜国书写历史，并且世人只会记得成王败寇；“不知不觉中形成的"历史观念，在我看来更多程度与一个时代的世界观价值观，同样有着极为深刻的联系。

价值观

世人在不同时代的价值观，会导致人们对一个历史事件的看法有着极大的差别。时至今日，我们偶时依然秉承着我们深信不疑但是实际上漏洞百出的观念。

在我上高一的时候，我的班主任便是历史老师。她在第一节课上讲，“history"这个词，就是"his story”。他人的故事，引发我们的深思。她在讲完这个之后，给我们推荐了另外一本书：

茅海建老师的《天朝的崩溃》。惭愧，高中时候我一直没有看这本书，直到上了大学那一年抽空看了这本，犹如醍醐灌顶。

茅海建老师在这本书的序言中，讲了这样一个故事，“琦善卖国”。琦善，晚清重臣，鸦片战争中的主和派，与林则徐等人形成鲜明对比。

原先主剿的琦善在白河口见英军"船坚炮利”，下令撤退炮台守军，并派广东人鲍鹏去穿鼻洋（广州虎门口）向英军求和，同时，查理·义律步步进逼，更亲身前往虎门勘测地形，并向琦善提出割地赔款的要求，初时琦善并不敢答应割地的要求。

在当世看来，琦善当然是卖国贼，千刀万剐犹不为过。然而，在序言中，茅海建对于琦善的所作所为做了详尽的考察，从实体的史料，到人物对话录，再到抽象的人物的心里剖析，琦善从一个"卖国贼"的符号，逐渐变成了一个活灵活现的人，仿佛就置身在我们的面前。假若真是如此，我们站在他的面前，难道我们有勇气呵斥他，“你个卖国贼"吗？

难道我们不会稍微思考一下，为什么他会被称作"卖国贼"的缘故？他真的干了伤天害理之事？如果换做我站在他的位置，看着英国人开着远胜于大清水师的船只叩开国门，我会怎么做。我不是圣人，诚然，为了自己的乌纱帽，我也许会和琦善一样。

大清上下，如琦善这般人，比比皆是。难道我们可以说，琦善便是一个卖国贼？他难道没有任何能力，仅凭自己的胆小，就要背上卖国的骂名？仔细思考了一下这个问题我们会发现，琦善的审时度势和他背负的罪孽，完全不成正比。那么谁最应该背鸦片战争战败的耻辱名号呢？

当我们仔细思考了此般问题后，我们确实会发现，“时至今日，我们偶时依然秉承着我们深信不疑但是实际上漏洞百出的观念。“琦善卖国，仅因清朝史官大笔一挥。结合清朝，中国最后的封建王朝这一历史背景，我们不难想到，一个极为重要的价值观念正在发挥作用，这也是茅海建老师在前言中点破的：

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也

这是中国古代传统的价值观念，即贤人当政，国家兴盛；小人当政，国之将亡。 仔细思考一下这个论断，这和西方历史的meritocracy，即贤人政治息息相关。然而，如何评价贤人和小人？是因为贤人把持朝政而国家兴盛，还是因为国家兴盛所以把持朝政之人被称作贤人？到底是谁，在操持着这把度人之尺呢？

是一国之君，在中国，就是皇帝。 若是把持朝政之人导致国家衰亡，则持政大臣必然要背上黑锅。在想明白这一点后，便不难想到，为什么琦善要背上卖国恶名了；因为忠君报国，是中国传统；君主神圣无比，绝无可能犯错；犯错之人，必是周围的小人。想想吧，君主手握大权，中国上下五千年从无一次犯错，如是犯错必是小人当政，从而成为昏君。仔细思考这个逻辑，难道不觉得漏洞百出？实际上这种内阁问责体系问题，正是和中国的君主专制体系息息相关。若是君主被架空权力（君主立宪），那么这种小人贤人论便烟消云散，因为持政之人如犯严重的政治错误，要么被弹劾下台，要么引咎辞职。

这就是茅海建老师在前言中所讲的，当时我读这段，犹如醍醐灌顶，豁然开朗一般。宫崎市定说的果然不错，即使是在现时，忠君报国的思想依然深入中国文化；戏曲作品，文学艺术中无所不包。然而在君主胡乱指挥之时，没有人想要找到问题的症结所在，犹如房屋中的大象一般。著名的例子有土木堡之变等等。而即使是接受了现代教育的我，也难免被这样的"历史图景"所形成的错觉所诱导。

在书中的正文部分，茅海建老师逐步向当代主流的鸦片战争研究的价值观念开火；很大一部分原因，也许是因为中国人并不敢直面当时的历史，而拉几个替罪羊钉在历史的耻辱柱上草草了之。没有人会想，若是如日本一般，在黑船事件之后引进新式技术，改革政府会如何；也没有人会想，大清如此高等的哲学教育（儒家思想）下，是否缺失了一些其他教育要素。我们所知道的，只有鸦片战争中，中国的战败应当归咎于不任用林则徐，而任用琦善；然而，若是任用了林则徐又如何？恐怕林则徐就要成为另外一个"卖国贼"了！

就连当今价值观下，看待如此近代的历史问题都有这般拨云见日的感慨。我们不禁要思考中国历史学的普及到底停留在多早的起步阶段。

后记

写这篇文章的原因，很大一部分是自己最近在看理查德·埃文斯的《第三帝国三部曲》。这是我看过的第二本如同《天朝的崩溃》一样的书籍，引经据典，改变我们对德国从一战之后转向法西斯的各种错误历史观念。

我很佩服历史学家们；他们总是能够看同样的史料，但是跳脱出我们所倚仗的框架。读史可以明智；并不是说，我们要如同囫囵吞枣一般人云亦云地表示如同孤岛历史学家给我们预设好的思路一般的思路途径；而是要站在后人的眼光上，站在巨人的肩膀上，俯视他，放到自己身上试一试，质疑所谓的"合理性"从而改变宫崎市定所说的"历史图景”。批判性思维莫过于此。

屠（ほふり）

Wed, 17 Nov 2021 23:39:48 +0800

想起2017年的时候去秋叶原，当时厨力很低（笑）。最后是看到了粽子的两张姐妹专辑，“辿／誘”。当时是非常非常喜欢开头的两手呼应的曲子，誘的那首Calling简直是喜欢到爆，后来单曲循环了一百多次才听腻吧。

我觉得RD和神主一样是很富创造力的人，所谓活于幻想中之人。听RD的曲子，无论是什么曲风，爵士，古典，blues，（我可能对流行音乐缺乏足够的词汇认识），纯音，等等。我觉得一个人可以写出如此多样化的曲子，并且还能为此填上颇需要点心思的词语，真的是很难的事情呐。ZUN做游戏的时候估计也是这种感觉。

专辑"屠"中的《墓標》。

“屠"这张专辑，封面就很瘆人。这个字本身就蕴含着令人不快的意味，加上封面的黑白红白。如果真的去购买了这张专辑，会发现笑脸的背后放着两把菜刀，不知道RD是怎么想的。

这张专辑是基于《蓬莱传说》中的"正直者之死"的零碎故事写成的，而正直者之死本身又是基于十个小兵人 这个著名英国童谣改成的，阿加莎克里斯蒂也曾经为这个故事写了著名的《无人生还》，并且很大程度影响了后世对这个传奇故事的理解，比如电影《致命ID》。

我们可能永远无法对这个故事的内容达成一致意见，但是我们都很同意这是一个令人不快的故事。

YouTube Playlist

手搓UART

Fri, 27 Aug 2021 16:52:12 +0800

起因

大三了。从原本的ISRL实验室里逃了出来，属实是喘不过气。没有人带+教授不好约+问题无法解决，在这样的实验室呆着怎么能做好项目呢（恼）

一次偶然的机会，发现了NBS里面隐藏的CICS实验室。环境非常好，并且supervisor非常和蔼可亲。总算能静下心来做点有意义的东西了。

进实验室做的第一个项目是用现有的FPGA板子，实现UART协议。每周去一次，大概三周把这玩意搞下来了，非常有趣。

本文部分参考于https://www.cnblogs.com/liujinggang/p/9535366.html

什么是UART

UART，即 universal asynchronous receiver-transmitter,是最简单也最常见的串口通信协议。从这个名字可以看出，这个协议是非同步的，并且支持全双工通信。

虽然说是非同步的，但是这不代表两个通信设备不需要时钟连接。时钟线，发送线，接收线，就构成了最基本的UART通讯线，只需要三根。因为是串行通讯设备，所以一般来说UART的速度很慢。但是对于简单的物联网IoT设备来说，一秒钟10kB/s级别的传输已经非常足够了。

对于UART协议而言，一个byte的数据会串行化之后，分成八份发送。通常，数据线是处于高电平状态的，在开始发送的时候会将电平拉低。之后会依次发送八个对应的bit，并在发送完成之后将电平拉高。这就是最基础的UART传输方式了。

而传输速度上，一个重要的参数是波特率（Baud Rate）。不同的波特率决定了不同的传输速率。标准的波特率包括了：9600，19200，38400，57600，115200. 波特率的单位是bps，即bit per second。如果说一秒钟能够发送115200bits的信息，那么信息的传输速率就是115200/1000/8=14.4kB/s。这一般也是UART协议能够达到的最高传输速率。然而，真实情况并不能达到这么高的速率。实际上，假如说波特率为115200bits，这就说明了一个bit的持续时间为1/115200=8.7us,那么发送一个byte所需的时间就是其的八倍，69us。但是，别忘了刚才提到的开始位和停止位；为了达成可靠的传输，需要加上两个bit位数的包头和包尾；这样发送一个byte就需要8.7us的十倍即87us的时间。因此，在一秒钟的时间内，这样的循环可以执行1s/87us=11,494.25次，也就是说最大传输速率降低到了11.49kB/s.实际情况下，传输速率可能会比这更低。

verilog实现

接下来讨论如何使用verilog和Nexyz DDR4 FPGA来实现一个标准的UART协议。

时钟发生器

对于一块比较标准的FPGA板子来说，我们假设FPGA的基准频率是50MHz，即每秒钟完成五千万次时钟周期，每个周期20ns。那么要在一秒钟发送115200bits，就相当于说每个bit占用了8.7us.相除得到每个bit需要占用8.7us/20ns=435个周期。因此，如果要完成一次成功的发送，使能信号应该每隔435个周期置1.

我们的目标是实现这样的一个模块，他接收标准的时钟，重置信号，以及发送以及接收器的使能信号，产生发送器和接收器的发送与读取时钟信号。

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module baudrate_gen
(
 input I_clk , // 系统50MHz时钟
 input I_rst_n , // 系统全局复位
 input I_bps_tx_clk_en , // 串口发送模块波特率时钟使能信号
 input I_bps_rx_clk_en , // 串口接收模块波特率时钟使能信号
 output O_bps_tx_clk , // 发送模块波特率产生时钟
 output O_bps_rx_clk // 接收模块波特率产生时钟
);

parameter C_BPS9600 = 5207 , //波特率为9600bps
 C_BPS19200 = 2603 , //波特率为19200bps
 C_BPS38400 = 1301 , //波特率为38400bps
 C_BPS57600 = 867 , //波特率为57600bps
 C_BPS115200 = 433 ; //波特率为115200bps
 
parameter C_BPS_SELECT = C_BPS115200 ; //波特率选择
 
//计数器
reg [12:0] R_bps_tx_cnt ;
reg [12:0] R_bps_rx_cnt ;

//触发block，用于发送器计数器的启动
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 R_bps_tx_cnt <= 13'd0 ;
 //如果计数器的值为1，那么就重置计数器
 else if(I_bps_tx_clk_en == 1'b1)
 begin
 if(R_bps_tx_cnt == C_BPS_SELECT)
 R_bps_tx_cnt <= 13'd0 ;
 else
 R_bps_tx_cnt <= R_bps_tx_cnt + 1'b1 ; 
 end 
 else
 R_bps_tx_cnt <= 13'd0 ; 
end

//如果计数器为1，那么输出一次发送信号的脉冲
assign O_bps_tx_clk = (R_bps_tx_cnt == 13'd1) ? 1'b1 : 1'b0 ;
//接收器也是同样的逻辑
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 R_bps_rx_cnt <= 13'd0 ;
 else if(I_bps_rx_clk_en == 1'b1)
 begin
 if(R_bps_rx_cnt == C_BPS_SELECT)
 R_bps_rx_cnt <= 13'd0 ;
 else
 R_bps_rx_cnt <= R_bps_rx_cnt + 1'b1 ; 
 end 
 else
 R_bps_rx_cnt <= 13'd0 ; 
end

assign O_bps_rx_clk = (R_bps_rx_cnt == C_BPS_SELECT >> 1'b1) ? 1'b1 : 1'b0 ;

endmodule

这样就完成了接收和发送时钟的基本逻辑。

发送器

对于发送器而言，他要做的事情就是根据时钟发生器发来的信号来发送自己的bit。此外，还需要额外的使能信号来启动。

发送器有如下的输入和输出：

输入INPUT	输出OUTPUT
时钟信号全局复位发送使能信号发送时钟并行数据流	串行数据流发送使能信号发送结束

其中，输出部分的发送使能信号与时钟发生器的I_bps_tx_clk_en相连，即如果这个值不是高电平则时钟发生器无需为发送器产生发送时钟。这个逻辑也适用于接收器。

verilog代码如下：

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module uart_txd
(
 input I_clk , // 系统50MHz时钟
 input I_rst_n , // 系统全局复位
 input I_tx_start , // 发送使能信号
 input I_bps_tx_clk , // 发送波特率时钟
 input [7:0] I_para_data , // 要发送的并行数据
 output reg O_rs232_txd , // 发送的串行数据，在硬件上与串口相连
 output reg O_bps_tx_clk_en , // 波特率时钟使能信号
 output reg O_tx_done // 发送完成的标志
);

reg [3:0] R_state ;

reg R_transmiting ; // 数据正在发送标志

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 产生发送 R_transmiting 标志位
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 R_transmiting <= 1'b0 ;
 else if(O_tx_done)
 R_transmiting <= 1'b0 ;
 else if(I_tx_start)
 R_transmiting <= 1'b1 ; 
end

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 发送数据状态机
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 begin
 R_state <= 4'd0 ;
 O_rs232_txd <= 1'b1 ; 
 O_tx_done <= 1'b0 ;
 O_bps_tx_clk_en <= 1'b0 ; // 关掉波特率时钟使能信号
 end 
 else if(R_transmiting) // 检测发送标志被拉高，准备发送数据
 begin
 O_bps_tx_clk_en <= 1'b1 ; // 发送数据前的第一件事就是打开波特率时钟使能信号
 if(I_bps_tx_clk) // 在波特率时钟的控制下把数据通过一个状态机发送出去，并产生发送完成信号
 begin
 case(R_state)
 4'd0 : // 发送起始位
 begin
 O_rs232_txd <= 1'b0 ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd1 : // 发送 I_para_data[0]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[0] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd2 : // 发送 I_para_data[1]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[1] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd3 : // 发送 I_para_data[2]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[2] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd4 : // 发送 I_para_data[3]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[3] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd5 : // 发送 I_para_data[4]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[4] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd6 : // 发送 I_para_data[5]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[5] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd7 : // 发送 I_para_data[6]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[6] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd8 : // 发送 I_para_data[7]
 begin
 O_rs232_txd <= I_para_data[7] ;
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd9 : // 发送 停止位
 begin
 O_rs232_txd <= 1'b1 ;
 O_tx_done <= 1'b1 ; 
 R_state <= 4'd0 ;
 end
 default :R_state <= 4'd0 ;
 endcase
 end
 end
 else
 begin 
 O_bps_tx_clk_en <= 1'b0 ; // 一帧数据发送完毕以后就关掉波特率时钟使能信号 
 R_state <= 4'd0 ; 
 O_tx_done <= 1'b0 ; 
 O_rs232_txd <= 1'b1 ; 
 end 
end 

endmodule

接收器

对于接收器而言，它需要这些IO:

输入INPUT	输出OUTPUT
时钟信号全局复位接收使能信号接收时钟串行数据流	并行数据流接收使能信号发送结束

可以看到，发送器和接收器是对称的，在串并行的程度上，以及在信号处理的方面。

然而，对于接收器而言，还有一段逻辑需要处理。接收使能信号并不像发送使能信号那样，想发就置1.还记得关于UART设定的讨论吗？在没有发送信息的时候，接收线是高电平。在开始接收到信息时，电平置0.所以对于接收器来说，需要一个逻辑模块来判断接收使能信号是否为1.

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// 功能：把 I_rs232_rxd 打的前两拍，是为了消除亚稳态
// 把 I_rs232_rxd 打的后两拍，是为了产生下降沿标志位
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 begin
 R_rs232_rx_reg0 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg1 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg2 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg3 <= 1'b0 ;
 end 
 else
 begin 
 R_rs232_rx_reg0 <= I_rs232_rxd ;
 R_rs232_rx_reg1 <= R_rs232_rx_reg0 ; 
 R_rs232_rx_reg2 <= R_rs232_rx_reg1 ; 
 R_rs232_rx_reg3 <= R_rs232_rx_reg2 ; 
 end 
end
// 产生I_rs232_rxd信号的下降沿标志位
assign W_rs232_rxd_neg = (~R_rs232_rx_reg2) & R_rs232_rx_reg3 ;

如果接收使能信号一直是高电平，那么要开启接收器的方法就是观察这里的W_rs232_rxd_neg是否被置1.由于一个bit占用的周期数相比四个周期大得多，所以中间产生的时钟偏移可以忽略不计。

完整的接收器代码如下。

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module uart_rxd
(
 input I_clk , // 系统50MHz时钟
 input I_rst_n , // 系统全局复位
 input I_rx_start , // 接收使能信号
 input I_bps_rx_clk , // 接收波特率时钟
 input I_rs232_rxd , // 接收的串行数据，在硬件上与串口相连 
 output reg O_bps_rx_clk_en , // 波特率时钟使能信号
 output reg O_rx_done , // 接收完成标志
 output reg [7:0] O_para_data // 接收到的8-bit并行数据
);

reg R_rs232_rx_reg0 ;
reg R_rs232_rx_reg1 ;
reg R_rs232_rx_reg2 ;
reg R_rs232_rx_reg3 ;

reg R_receiving ;

reg [3:0] R_state ;
reg [7:0] R_para_data_reg ;

wire W_rs232_rxd_neg ;

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 功能：把 I_rs232_rxd 打的前两拍，是为了消除亚稳态
// 把 I_rs232_rxd 打的后两拍，是为了产生下降沿标志位
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 begin
 R_rs232_rx_reg0 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg1 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg2 <= 1'b0 ;
 R_rs232_rx_reg3 <= 1'b0 ;
 end 
 else
 begin 
 R_rs232_rx_reg0 <= I_rs232_rxd ;
 R_rs232_rx_reg1 <= R_rs232_rx_reg0 ; 
 R_rs232_rx_reg2 <= R_rs232_rx_reg1 ; 
 R_rs232_rx_reg3 <= R_rs232_rx_reg2 ; 
 end 
end
// 产生I_rs232_rxd信号的下降沿标志位
assign W_rs232_rxd_neg = (~R_rs232_rx_reg2) & R_rs232_rx_reg3 ;

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 功能：产生发送信号R_receiving
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 R_receiving <= 1'b0 ;
 else if(O_rx_done)
 R_receiving <= 1'b0 ;
 else if(I_rx_start && W_rs232_rxd_neg)
 R_receiving <= 1'b1 ; 
end

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 功能：用状态机把串行的输入数据接收，并转化为并行数据输出
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
always @(posedge I_clk or negedge I_rst_n)
begin
 if(!I_rst_n)
 begin
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= 4'd0 ;
 R_para_data_reg <= 8'd0 ;
 O_bps_rx_clk_en <= 1'b0 ;
 end 
 else if(R_receiving)
 begin
 O_bps_rx_clk_en <= 1'b1 ; // 打开波特率时钟使能信号
 if(I_bps_rx_clk)
 begin
 case(R_state)
 4'd0 : // 接收起始位，但不保存
 begin
 R_para_data_reg <= 8'd0 ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd1 : // 接收第0位，保存到R_para_data_reg[0]
 begin
 R_para_data_reg[0] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd2 : // 接收第1位，保存到R_para_data_reg[1]
 begin
 R_para_data_reg[1] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd3 : // 接收第2位，保存到R_para_data_reg[2]
 begin
 R_para_data_reg[2] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd4 : // 接收第3位，保存到R_para_data_reg[3]
 begin
 R_para_data_reg[3] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd5 : // 接收第4位，保存到R_para_data_reg[4]
 begin
 R_para_data_reg[4] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd6 : // 接收第5位，保存到R_para_data_reg[5]
 begin
 R_para_data_reg[5] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd7 :// 接收第6位，保存到R_para_data_reg[6]
 begin
 R_para_data_reg[6] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end
 4'd8 : // 接收第7位，保存到R_para_data_reg[7]
 begin
 R_para_data_reg[7] <= I_rs232_rxd ;
 O_rx_done <= 1'b0 ; 
 R_state <= R_state + 1'b1 ;
 end 
 4'd9 : // 接收停止位，但不保存，并把R_para_data_reg给输出
 begin
 O_para_data <= R_para_data_reg ;
 O_rx_done <= 1'b1 ; 
 R_state <= 4'd0 ;
 end 
 
 default:R_state <= 4'd0 ; 
 endcase 
 end
 end
 else
 begin
 O_rx_done <= 1'b0 ;
 R_state <= 4'd0 ;
 R_para_data_reg <= 8'd0 ;
 O_bps_rx_clk_en <= 1'b0 ; // 接收完毕以后关闭波特率时钟使能信号
 end 
end

endmodule

对于接收到的并行信号，可以对其做写入or打印的处理。

what after？

verilog的基本实现已经完成了。我们可以例化一个顶层模块，把这三个东西都放进去，然后连接输入输出。现实中，我们将用FPGA开发板实现这一点。但是在完成这一步之前，我们可以使用vivado的仿真工具先验证一下我们的猜想和代码是否正确。这一块我会在下一个博客中写出。

庚子备忘录

Fri, 12 Feb 2021 10:17:57 +0800

lmy: 在异地过年的时候就想起你！

me: 我和朋友聊了一个晚上

没有家过年的味道会慢慢淡去

逐渐模糊变成只有一个符号

引

2020庚子年实在不是一个好年。从年头到年尾都充满了各种各样荒诞无经、无法预知的事件冲突。

大概从年初开始的疫情爆发，再到之后的项目研究，再到之后的关于科研方向的不断转移，我一直是陷在特别迷茫的状态。

有时候——不，是很经常，我会不由自主地陷在过往的回忆里面。想起自己的初中，高中，想起自己不知道为什么努力但是每天都在花时间的日子。

可能在这种情况下的充实感会给我一些心理上的慰藉？但是当决定权真的下到自己手上的时候，我真的愿意为自己所作的决定负责吗。

这是一个问题，嗯。我一直在想的一个问题。

有时候和朋友聊天，会发现自己实际上充满了很多致命的弱点。比方说，自负，比方说，关于他人的看法云云。

我自己对诸如此类的性格深恶痛绝，但是又无法割裂。

之前在一个半夜和TS聊天，他和我聊了挺多东西，关于如何看待生活，看待自己的所作所为，看待他人对自己的评价。

我现在确实觉得，年龄越大，能交心的人越来越少了。这是实话。所以有时候碰到像TS这样的好人，我真的觉得特别珍贵。

不过这段聊天过程也是去年的一个很大的收获。也许成熟并不是一段一段的蜕变，而是重新审视并包容原本的自己。

庚子年有很多的想法，关于去UCB交换，关于自己的实习，关于自己的科研，关于自己的实习。

我觉得，如果能把这些事情都搞定，那我真是太厉害了。确实是这样，很朴素的想法。

不得不说，现在有时候看自己过往的成就，有时候我爸会提醒我：这一切都不是你的成就。在你的所有achievements背后，都有某个人或者某些人在支撑你。或许是你的朋友，你的家人，甚至是你不喜欢的人。他们都会在某个地方，某种意义下给你一剂强心剂，或者给予你非常直接的帮助。

以前我不相信这句话，可能是因为我过于自负。不过愚蠢与自大往往源于无知，现在我觉得这句话很有道理。

因此对于以前曾经帮助过我的人，我希望你们都能在新的一年里活得有厚度。当然，我对于自己的生活的看法一直都没有变。我觉得，我很幸运，并且生活很踏实，也很有厚度。

就这样。诸事顺遂，得偿所愿。

谨贺新年。

“蔚蓝”的山

Mon, 01 Feb 2021 20:05:35 +0800

在加拿大的温哥华岛上，有这么一座山，名叫Mount Celeste.

这座山位于太平洋的东北角，在加拿大和美西的交界地。那么北的鬼地方，这座山无疑是座雪山。

你如果说没有人想要爬这种鬼山，那你就错了。 根据wikipedia的记录，在1934年的八月，Jack Horbury和Jock Sutherland完成了第一次有记载的攀登记录。

我很喜欢曾经攀登过珠穆朗玛峰的登山者乔治·马洛里说过的一句话，当年在他爬珠穆朗玛峰之前，有人问他为什么一定要登上那座山。

然后他回答，因为它就在那里。

这句话成为了千古名言，而乔治·马洛里也和他的这句话一起，葬在了珠穆朗玛峰的山顶。

第一位成功攀登珠穆朗玛峰而成功归来的人是埃德蒙·希拉里。希拉里在1953年登顶了这个世界最高之地，平安归来并且活到了2008年。这座世界渴望顶峰在英语里的惯称并不是藏语的音译Chomolungma，而是另外一个比较有深意的名字：Mount Everest。Ever-Rest, 永远安息。

回归正题。或许并不是每个人都有一个登山的梦想，但是每个人心中都会有恐惧。站在山脚下望着或许看得到或许看不到的珠穆朗玛峰顶部，登山者也许会发自内心的感到恐惧。从来没有人爬上过这座山——我可能成功吗？如果说我死了，那么谁来给我收尸呢？

但是他们依然奋不顾身地往上前进，然后死在那里。他们并没有爬上这座山并活着回来，但是他们战胜了内心的恐惧。也许这就足够浪漫了。

玛德琳并不是一个经验丰富的登山运动员。她懦弱，胆小，深陷抑郁症。但是这次，她决定把自己的车子停在山脚下，把自己的通讯设备留下来，然后往上攀登，直到她登上这座名叫celeste的山的山顶。

“蔚蓝”（Celeste）讲的便是这么一个简单的故事。这个无论从什么方面都简单至极的游戏——对话，人物，操作，故事情节，设定，玩法——却惊人地进入了2018年的TGA候选名单，并夺得了最佳独立游戏与最具影响力游戏的桂冠。是什么让这个游戏如此具有魅力？是这座山，还是爬山的人，还是观看这个故事的我们？

故事从一个废弃的城市开始。游戏中值得称道的地方有很多，但是我最喜欢的还是引导式的游戏体验。这种不带教程的逐步设定实际上把教程和游戏内容联系在一起，而把这个手法用的最成熟的作品无疑还是Valve的看家神作之一——传送门（portal）。GLaDOS，传送门中的反派，在游戏初期扮演玩家的引导者，而在之后的游戏流程中不断给予指引，然而玩家可以明显地感觉到，指引由最早的不带感情色彩到逐步的不怀好意直到最后的摊牌。这种手法把教程给予者的身份给玩家下了一个第一印象，而当真相揭晓的时候玩家又颇有一种豁然开朗恍然大悟之感。而在蔚蓝中，这种引导手法不再由某个角色来执行，而是靠着地图的精妙设计。

地图的精妙是基于操作的简明完成的。身为一个活生生的人类，玛德琳可以爬墙，但是会失去体力。玛德琳可以走动，可以跳跃，但是不能二连跳。她唯一超乎常人的一点能力是滞空时的短距离冲刺，而这个能力成为了这个游戏的核心技能。通过完成这些简单的动作搭配，很多看上去无法完成的平台跳跃操作都能逐渐被玩家攻克。当然，在游戏的初期，地图简明易懂，通过爬墙跳跃一系列简单操作的上手过程之后，难度逐步加大，而在掌握了某种新的跳跃方式之后，玩家又要被强迫掌握这种新的方式——也就是说，通过上一个地图的特殊方式也许会成为下一个地图不可或缺的前置方法。

这种引导式的学习法实际上帮助玩家从无到有不知不觉地掌握了简单而精妙的享受游戏的过程。当然，这种引导方式往往被评价为“困难”，甚至成为了游戏的一个标签。上一个这种类型的游戏，是宫崎英高的“魂”系列。作为ARPG的风向标式的明星人物，宫崎先生很了解如何抓住玩家的心。通过不断设置逐步增加的困难关卡，玩家从0到1完成了游戏制作者要求的对游戏的掌握程度。根据宫崎本人的访谈，这种游戏方式实际上还原了本源的游戏手法。实际上在上世纪80年代，许多祖宗级别的电子游戏实际上早已经使用了这种方式——如魂斗罗之类的FC街机游戏等。因此近年来的魂系游戏崛起，只不过是对旧时光的一次文艺复兴行动而已。

玩家是很欲擒故纵的一种生物。实际上，近年来游戏的“傻瓜式”趋势，完全体现了游戏制作人对于玩家毫无下限的体贴，以及对于难度的无限制放宽。然而，心理学家早已证明，人的成就感的发散，与在剧烈运动之后的多巴胺的分泌某种意义上同源。也就是说，成就感源于对于每一次困难的攻克，而这种成就感会反过来促进对于下次困难的跃跃欲试之感。这是老生常谈的cliche。

另一种方面来说，信息时代的到来改变了信息来源。在早期的信息时代，发布媒体的只是一小部分人，因此大多数人听取一部分人的意见。互联网的广泛使用之后，大多数人都可以发表意见，因此是大多数人听取大多数人的意见。然而现在的媒体，在借助大数据的工具之后，完成了对每一个独立思考个体的思想封闭。早上在google上搜索了A，那么这个东西就会出现在晚上的推送里。如果你继续点击这个推送，那么类似的推送就会纷至沓来。因此在现今的信息时代，不是大多数人听取大多数人的意见，而是每个人都在听取自己的意见。

老话说兼听则明，偏信则暗。这也许就是为什么现在互联网上这么多喷子的原因。

而魂系游戏，相对于其他游戏而言，在游戏难度设定上便是采取了另外一种看法。如果给玩家难度的选择，那么大多数人都会选择简单。毕竟人就是这样懒惰的生物。那么如果说取消所有的难度评级呢？从某种意义上来说，这就是从玩家自己听取自己的意见，到玩家听取制作者的意见的时候了。这是另外一个方面的文艺复兴。

这个游戏有很多寓意。从玛德琳对于这座山的看法变动，到她的内心具象化，再到最后她登上山顶战胜恐惧的过程。很多东西不必多说，故事由我们来书写。

你如果说没有人想要爬这种鬼山，那你就错了。 仅仅在2018年，这个精美的独立游戏就获得了50万的销量，而steam上攀上顶峰成就的占比为40%，也就是说至少有二十万人已经征服了这座山，即使他们并没有物理意义到过加拿大。但是战胜自己，或者说获得自我救赎的旅程无疑更加精彩。

Hello World

Sat, 30 Jan 2021 00:00:00 +0000

2021年1月30日，本站重启。

这里是cedar，写点自己想写的。

四方喫茶舘

Feedback Linearization, Part 3

Feedback Linearization Theorem

MIMO Feedback Linearization

Vector Relative Degree

MIMO Feedback Linearization Theorem

Examples

Ill-defined Vector Relative Degree

Well-defined Vector Relative Degree

Control Law

Feedback Linearization, Part 2

More Facts about IO Linearization

Introduction to Differential Geometry

Manifold

Tangent Space

Tangent Vector

Vector Field

Lie Bracket

Tangent Bundle

Distribution

Feedback Linearizability

Feedback Linearization, Part 1

Motivation

Some Definitions

Control-Affine System

Diffeomorphism

Feedback Linearizable

Lie Derivative

Input-Output Linearization

Relative Degree of Output $y$

Zero Dynamics

Steady-state Error, part 1

Linear System Basics

Initial Value Theorem

Final Value Theorem

Types of Inputs

Unity Feedback System

System Types

The problems with higher order system

Mason's Gain Formula and Control Canonical Forms

Introduction

Mason’s Gain Formula

Signal Flow Graph (SFG)

Example: Type 2 PLL

The Formula

Examples

A Type 2 Charge Pump PLL

A Triple Integrator System

Canonical Forms

Controllable Canonical Form

Observable Canonical Form

Diagonal Form and Jordan Form

Modified Form

Where were we?

Renko Maintenance Log - Apr 18-19th 2026

Introduction

Fedora 40 -> 43, RAM speed optimization

Docker Stuff

Security

ZFS

RAIDZ1

Some optimizations

Larger Record Size for media

Auto ZFS snapshot

Steady-state Error, part 0

Introduction

The Problem Setup

The Temporary Elixir: A Capacitor

Ramp Response

Poisson Point Process (PPP) and Bit Error Rate (BER)

Introduction

Poisson Distribution

Poisson Point Process

How does this relate to bit error rate?

Law of Rare Events

To Answer the Two BER-Related Questions

Beyond Raw BER testing

城市驿站：伊利诺伊之冬

Chicago, IL

November 26th, 2025