Signal Processing on 四方喫茶舘

Mason's Gain Formula and Control Canonical Forms

Thu, 23 Apr 2026 00:28:37 +0800

Introduction

Pop quiz: what’s the transfer function $H(s) = V_{out} / V_{in}$ in the following circuit?

Assumptions:

$C_c$ is a big coupling capacitor.
No channel-length modulation.
You don’t have to solve for DC, all small signal parameters are given. Don’t assume unspecified parameters, for example $r_o$, $C_g$, etc.
The circuit is linear.

OK this circuit does look a bit intimidating. For entry-level analog circuit class takers, they might take out pencil to work through the analysis, but it’s super tedious, time consuming and error-prone.

Look at the circuit, what is the main reason that makes analysis difficult? Feedback. Not just one feedback path, there are two feedbacks from each of the two stages rendering the overall analysis not so straightforward. However, we are going to introduce a very elegant mathematical tool to deal with all these kinds of closed-loop structures.

Mason’s Gain Formula

Samuel Jefferson Mason was born in 1921. As a distinguished electronics engineer, his most famous scientific contributions are Mason’s invariant and Mason’s rule, or Mason’s gain formula, both named after him.

Mason’s gain formula is used to find the transfer function of a closed-loop system. A closed loop system doesn’t need to contain only one loop; it could contain multiple loops, and they can even interact with each other. Conventional algebraic way to find the transfer function usually requires solving complex simultaneous systems, but Mason’s gain formula provides an easy way to find it.

Mason’s gain formula is particularly suitable for a system that can be described using a Signal Flow Graph.

Signal Flow Graph (SFG)

A Signal Flow Graph (SFG) is a graphical representation of a system. As the name suggests, an SFG is a directed graph, meaning it has the following components:

Node: a node is a vertex that represents a variable in a system.
Branch: a branch is a directed edge that represents a transfer function between two nodes. It has a linear gain. If the gain is 1, we don’t annotate it on the SFG.
Input/Output: Input / Output nodes are special nodes where we use to denote the transfer function’s departure and arrival points.
Addition: Two signals could be added together, given SFG is targeting linear systems.

Now, with these simple definitions, we are able to construct more complex notations + structures:

Path: a path is a sequence of branches that connect nodes in the graph, such that no node is visited more than once.
- Forward Path: a forward path is a path from the input node to the output node.
- Path Gain: the product of the gains of all branches in a path.
Loop: a loop is a path that starts and ends at the same node. A loop is a specific type of path.
- Loop Gain: the product of the gains of all branches in a loop.

Example: Type 2 PLL

Shown below is a type-2 PLL:

We are able to see 5 paths here and a simple loop. We defined 4 nodes, with 1 input node and 1 output node.

The Formula

Mason’s Gain Formula states the following:

Mason’s Gain Formula:
$$H(s) = \frac{\sum_{k=1}^{N} P_k \Delta_k}{\Delta}$$
where:

$N$ is the number of forward paths from input to output

$P_k$ is the path gain of the $k$-th forward path

$\Delta$ is the determinant of the system: $\Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_i L_j - \sum L_i L_j L_k + \ldots$

$\sum L_i$ is the sum of all individual loop gains

$\sum L_i L_j$ is the sum of products of all pairs of non-touching loops

$\sum L_i L_j L_k$ is the sum of products of all triplets of non-touching loops

and so on…

$\Delta_k$ is the cofactor of the $k$-th forward path, obtained by removing all loops that touch the $k$-th path from $\Delta$

Examples

A Type 2 Charge Pump PLL

Let’s take the type-2 PLL system shown above for example. In this example, there is 1 single loop, and only 1 forward path from input to output. Therefore, $N=1$, and:

$$\begin{align} \Delta &= 1 - L_1 = 1 + K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s / N \\ \Delta_1 &= 1 \\ \displaystyle \Sigma_{k=1}^{N}P_k \Delta_k &= K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s \end{align}$$

Bear in mind that $\Delta_1 = 1$ because there is only one loop, and it does touch the forward path, therefore we remove the only contributing loop gain from $\Delta$.

Thus, combining the terms together, we have the expression for the closed loop gain:

$$ H(s) = \frac{K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s}{1 + K_{PFD}I_{CP}(R + 1/sC)K_{VCO}/s / N} $$

We realize that the loop gain is large when frequency is low, the loop gain dominates and $H(s) = N$, meaning the low-frequency phase noise of the PLL will be the reference times $N^2$. At high frequency, the loop gain dies out and $H(s) = 0$. Therefore the reference to output phase transfer function is a low-pass filter.

A Triple Integrator System

Now, let’s compute the transfer function of the SISO system below:

We notice that there are 3 loops and 3 forwarded paths. Luckily, they all touch each other, which makes our calculation very simple.

$$ \begin{cases} \Delta = 1 + a_1/s + a_2/s^2 + a_3/s^3 \\ p_1 = b1/s \\ \Delta_1 = 1 \\ p_2 = b2/s^2 \\ \Delta_2 = 1 \\ p_3 = b3/s^3 \\ \Delta_3 = 1 \end{cases} $$

Combining all the terms, we have

$$ \begin{align} H(s) &= \frac{b_1/s + b_2/s^2 + b_3/s^3}{1 + a_1/s + a_2/s^2 + a_3/s^3} \\ &= \frac{b_1 s^2 + b_2 s + b_3}{s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3} \end{align} $$

Canonical Forms

Doesn’t the last example have a very regular transfer function? This is actually intended.

In a control system modeled in time domain, we have our system defined using state-space model:

$$ \begin{align} \dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t) \end{align} $$

and we know that, if we perform Laplace transform, while assuming a 0 initial condition, we have

$$ sX(s) = AX(s) + BU(s) $$

Therefore, by algebraic manipulation, we have

$$ Y(s)/U(s) = C(sI - A)^{-1}B $$

Which is the transformation between state space model to transfer functions.

Now, there could be only one transfer function for a state space model, but there could be infinite state space models for one simple transfer function. The general rule of thumb is that, the number of poles in a transfer function regulates the number of states in the corresponding state space model, because we need that many number of integrators. However, we could create more states (but those come with either constraints, or are redundant, meaning linearly independent of the pre-existing states).

There are some state space models that are different from generic ones, if we generate from a transfer function. Here are some of them:

Controllable Canonical Form

We already encounter the controllable canonical form in the previous example.

Controllable canonical form is a specific type of form because the generated state space model is always controllable. The state space model is given by:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 & \ldots & -a_{n-1} & -a_n \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 & \ldots & b_n \end{pmatrix}X \end{align} $$

According to Rudolf Kalman, the controllability matrix of the controllability canonical form is always going to be full rank. That’s why we call it controllable canonical form.

Observable Canonical Form

Observability, the dual of controllability, also has its canonical form. Its state space model representation is given by:

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_2 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & -a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix}X \end{align} $$

If you take a closer look, you’ll notice that the observable canonical form is precisely the transpose of the controllable canonical form: $A_o = A_c^T$, $B_o = C_c^T$, and $C_o = B_c^T$. This is not a coincidence — it is a direct manifestation of the duality between controllability and observability. Taking the transpose of a state space realization preserves the transfer function, since

$$ H(s) = C(sI - A)^{-1}B = \left[ B^T (sI - A^T)^{-1} C^T \right]^T $$

and the transfer function is a scalar for SISO systems, so the transpose is itself.

By the dual of Kalman’s argument, the observability matrix of the observable canonical form is always full rank, which is why we call it the observable canonical form. Notice as well that, unlike the controllable form where the input coefficients $b_i$ are placed in the output matrix $C$, here they show up directly in the input matrix $B$. Each state $x_i$ accumulates a weighted contribution from $u(t)$ and feeds back through $-a_i$ to drive only the last state, which is then read out at the output. Reading the SFG above from right to left makes the structure obvious: it is the controllable canonical form with all arrows reversed.

Diagonal Form and Jordan Form

The controllable and observable canonical forms are built around the coefficients of the polynomials $a_i$ and $b_i$. The Jordan form takes a different approach: instead of starting from the polynomial coefficients, we start from the poles of the transfer function. Performing partial fraction decomposition,

$$ H(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \ldots + b_1 s + b_0}{(s - p_1)(s - p_2) \ldots (s - p_n)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{r_i}{s - p_i} $$

where $p_i$ are the poles and $r_i$ are the residues. Each first-order term $r_i/(s - p_i)$ corresponds to a single integrator with self-feedback $p_i$ and a gain $r_i$ at the output. The SFG above is exactly that — $n$ parallel branches, each with its own pole, all summed at the output.

Stacking these parallel branches into a state space model gives the diagonal Jordan form (assuming distinct poles):

$$ \begin{align} \frac{d}{dt}X &= \begin{pmatrix} p_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & p_2 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & p_3 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & p_n \end{pmatrix}X + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}U \\ Y &= \begin{pmatrix} r_1 & r_2 & r_3 & \ldots & r_n \end{pmatrix}X \end{align} $$

Because $A$ is diagonal, the states are completely decoupled — each $x_i$ evolves independently as $\dot{x}_i = p_i x_i + u$, and the output is just a weighted sum of these modes. This makes the Jordan form particularly useful for analysis: the eigenvalues of $A$ are read off the diagonal, so stability is immediate (all $\text{Re}(p_i) < 0$), and each mode’s contribution to the output is exactly $r_i$.

When poles are repeated, $A$ is no longer fully diagonalizable. For a pole $\lambda$ with multiplicity $k$, the corresponding diagonal block becomes a Jordan block:

$$ J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} $$

The superdiagonal of 1’s couples adjacent states within the block, which corresponds to terms of the form $r_{i,j}/(s - \lambda)^j$ in the partial fraction expansion. The overall $A$ matrix is still block-diagonal, with one Jordan block per distinct pole.

Unlike the controllable and observable canonical forms — which are guaranteed to be controllable / observable by construction — the Jordan form is only controllable and observable when all residues $r_i$ are nonzero and all poles are distinct. A zero residue corresponds to a pole-zero cancellation in $H(s)$, which means a mode that is either uncontrollable or unobservable (or both). In that sense, the Jordan form is the most honest of the three: it makes hidden modes visible rather than burying them in the structure.

Modified Form

It becomes even trickier if the original system’s poles are not on the real axis, but contains complex conjugate pairs. In this case, we can either sub in diagonal form with the complex entries, or we use what’s called the “modified form”.

The modified Jordan form (also known as the real Jordan form) keeps the state space model entirely real-valued by replacing each pair of complex conjugate poles $p_i = \sigma \pm j\omega$ with a single $2 \times 2$ real block on the diagonal of $A$:

$$ \begin{pmatrix} \sigma + j\omega & 0 \\ 0 & \sigma - j\omega \end{pmatrix} \quad \longrightarrow \quad \begin{pmatrix} \sigma & \omega \\ -\omega & \sigma \end{pmatrix} $$

This block is similar to the diagonal complex form via the change of basis

$$ T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ j & -j \end{pmatrix}, $$

so the transfer function is preserved. Concretely, for a system whose poles consist of $m$ real poles $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ and $\ell$ complex conjugate pairs $\sigma_k \pm j\omega_k$, the modified form is

$$ A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & \lambda_m & & & & \\ & & & \sigma_1 & \omega_1 & & \\ & & & -\omega_1 & \sigma_1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & \begin{smallmatrix} \sigma_\ell & \omega_\ell \\ -\omega_\ell & \sigma_\ell \end{smallmatrix} \end{pmatrix} $$

The eigenvalues of each $2 \times 2$ block are exactly $\sigma_k \pm j\omega_k$, so spectral information is unchanged — we have only traded a complex diagonal representation for a real block-diagonal one. This is the form most software packages return by default, since real arithmetic is cheaper and avoids the bookkeeping of conjugate pairs. Repeated complex poles generalize to real Jordan blocks by replacing each scalar entry of the complex Jordan block with the corresponding $2 \times 2$ real block, and each superdiagonal $1$ with a $2 \times 2$ identity.

Where were we?

We talked a lot about the famous Mason’s gain formula, and several canonical forms that we can use to represent linear time-invariant systems. Now going back to the original question: what’s the closed loop gain of the original system?

Well, we do realize that the system had two loops, but they do touch; and the system has only one forward path. That makes our computation significantly easier.

Let’s use some notations here. Let’s denote the forward gain as $F_1, F_2$ and the loop gains as $L_1, L_2$. From basic analog circuit theory, we have:

$$ \begin{align} F_1 &= -\frac{g_{m1}R_{d_1}}{1 + g_{m1}R_{d_1}||1/sC_1} \\ F_2 &= \frac{g_{m2}R_{s2}}{1 + g_{m2}R_{s2}} \\ L_1 &= (G_m R_{gate} || R_{g1} || R_{g2} F_1) \\ L_2 &= (-g_{mp} R_{gate} || R_{g1} || R_{g2} ) F_1 F_2 \end{align} $$

And finally, our closed loop gain:

$$ \frac{V_{out}}{V_{in}}(s) = \frac{F_1F_2}{1 + L_1 + L_2} $$

This looks a lot faster compared to manually breaking down all expressions.

I would like to point out at the end of this article that the original circuit is unstable, because both loop gains are positive. Unless the loop determinant is strictly positive in real part, the circuit will be unstable.

主动滤波器(9)：频率变换(4)

Mon, 25 Aug 2025 22:17:53 +0800

在频率变换（3）里，我们证明了频率变换（1）里直觉性的推导实际上是充分必要的解。基于我们的证明，我们提出了几种基本的从低通滤波器衍生其他三种高通，带通和带阻滤波器的方法。

除了这三种简单的频率变换之外，这一节我们讨论几种特殊的频率变换方法。

理查变换 (The Richard’s Transformation)

假如说我们想要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，但是这个带通滤波器要有周期性响应，如下图：

在图中，我们将原本带宽为1 rad/s的低通滤波器变换为中心频率为π，2π…以及π的整数倍的带通滤波器。我们该如何实现这种滤波器？

根据频率变换（1）里讲的两条基本原则：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点

我们知道，这个变换的零点一定在$0$, $\pm \pi, \pm 2\pi, \ldots, k\pi $的位置上，而变换的极点一定在$\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \ldots, (2k+1)\frac{\pi}{2}$的位置上$k \in \mathbb{Z}$。

也就是说，我们的变换应该满足这样的形式：

$$ \begin{aligned} f(\omega) &= \frac{l \omega (\omega^2 - \pi^2)(\omega^2 - (2\pi)^2)\ldots}{(\omega^2 - (\frac{\pi}{2})^2)(\omega^2 - (\frac{3\pi}{2})^2)\ldots} \\ &= l_1\frac{[\omega(1-\frac{\omega}{\pi}^2)(1-\frac{\omega}{(2\pi)}^2)\ldots(1-\frac{\omega}{(k\pi)}^2)]}{[(1-\frac{\omega}{(\frac{\pi}{2})}^2)(1-\frac{\omega}{(\frac{3\pi}{2})}^2)\ldots(1 - \frac{\omega}{k\pi + \frac{\pi}{2}}^2)]} \\ &= l_1 \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2)} \end{aligned} $$

实际上，如果我们绘制分子这个无限乘积，它看起来就像：

事实上，欧拉告诉我们这两个无限乘积都是三角函数：

$$ \begin{aligned} \sin(\omega) &= \prod_{k=1}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2) \\ \cos(\omega) &= \prod_{k=0}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2) \end{aligned} $$

因此，我们有：

$$ f(\omega) = l_1 \frac{\sin(\omega)}{\cos(\omega)} = l_1 \tan(\omega) $$

如果我们把复频率换回普通的频率：

$$\begin{aligned} f(s) = f(j\omega) &= jl_1 \tan(\omega) \\ &= jl_1 \tan(\frac{s}{j}) = l_1 \tanh (s) \end{aligned} $$

由于我们把$\omega \rightarrow l_1 \tan \omega$, 因此如果截止频率为1，那么新的截止频率满足$1 = l_1 \tan(\omega_{\text{bw}}) $，也就是说如果指定一个新的截止频率，$ s \rightarrow \frac{\tanh s}{\tan \omega_{\text{bw}}}$. 如果我们不想要在$\pi$的通带中心点，我们则可以使用放缩。因此，最后的变换公式为：

$$ s \rightarrow \frac{\tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}}}{\tan \omega_{\text{bw}}} $$

电路实现

为了简单起见，我们不改变截止频率，只改变中心频率，那么$ s \rightarrow l_1 \tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}} $. 在此变换下，一个电感$sL$将会变换成一个$Ll_1\tanh(\frac{s\pi}{\omega_{0}})$.那么问题来了，我们真的有这样一个电子元件可以实现$\tanh$的频率响应特性吗？

传输线(Transmission Line)理论

这个电路就是我们熟知的传输线，如果读者对射频电路有所了解的话。一个传输线由两个平行导体和一个介质组成，信号在传输线中传播时，会在导体之间形成电场和磁场，从而实现信号的传输。传输线的特性阻抗与其几何结构和介质材料有关。波方程告诉我们，传输线需要满足电报员方程，而要满足电报员方程，我们只需要令正向传播的电压与电流和反向传播的电压与电流满足如下关系：

$$ \begin{cases} V(x) = V^+(x) + V^-(x) \\ I(x) = \frac{V^+(x)}{Z_0} - \frac{V^-(x)}{Z_0} \end{cases} $$

其中$Z_0$是传输线的特性阻抗（characteristic impedance）。

要描述一段传输线，除了传输线的特性阻抗之外，我们还需要这段传输线的时间差（time delay），这段时间差告诉我们电磁波从传输线的一端发射到另一端所需的时间，通常记为$\tau$。现在，假如我们在某个点满足传输线方程，我们把考虑的点左移动时间$\tau$，那么正向传播的时间将会被提前$\tau$，反向传播的时间将会被延后$\tau$，但是传输线方程依然需要成立：

$$ \begin{aligned} V^+ &\rightarrow V^+e^{s\tau_1} \\ V^- &\rightarrow V^-e^{-s\tau_1} \end{aligned} $$

假如我们把传输线的一端短路，那么欧姆定律一定要成立：

$$ V^+ = -V^-, V^- + V^+ = 0 $$

那么在传输线的另外一端，

$$ \begin{aligned} V_{in} &= V^+ (e^{s\tau} - e^{-s\tau}) \\ &= V^+ (2\sinh(s\tau)) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I_{in} &= \frac{V^+e^{s\tau}}{Z_0} - -\frac{V^-e^{-s\tau}}{Z_0} \\ &= \frac{V^+}{Z_0} (e^{s\tau} + e^{-s\tau}) &= $$

主动滤波器(8)：频率变换(3)

Thu, 21 Aug 2025 20:58:21 +0800

在上一节中，我们得出了两个关于纯LC电路输入阻抗的重要结论：

阻抗的零点和极点必须位于虚轴上。
阻抗（以及导纳）的留数必须是正实数。

本节将进一步分析纯LC网络阻抗在虚轴上的行为，并探讨频率变换的唯一性与实现方式。

柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)

对于复平面上的解析函数 $f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 分别为实部和虚部，柯西-黎曼方程给出了函数解析的必要条件：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} $$

由于LC网络的阻抗是有理函数，必然满足解析性，因此阻抗也必须满足柯西-黎曼方程。对于 $Z(s)$，有：

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] $$

也就是说，阻抗实部对实频率的变化率等于虚部对虚频率的变化率。

结合上一节的正实性结论，进一步有：

$$ \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] > 0 $$

并且，如果输入信号频率为实数，阻抗为实数；若频率为纯虚数，阻抗也为纯虚数。因此：

$$ \left.Z(s)\right|_{s=j\omega} = jX(\omega) \quad \therefore \frac{dX(\omega)}{d\omega} > 0 $$

简单验证如下：

对于电感：$Z(j\omega) = j\omega L \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = L > 0$
对于电容：$Z(j\omega) = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{-\omega C} \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = \frac{1}{\omega^2 C} > 0$

因此，LC网络输入阻抗在虚轴上的导数始终为正。这意味着在虚轴上不可能出现连续的极点或零点，否则会与单调性矛盾。如下图所示：

所以，极点和零点在虚轴上必定交替出现：

并且，零点数与极点数的差额最多为1。综合所有结论，频率变换的推导实际上是唯一的。

充分必要的频率变换

我们建立了所有需要证明充分性的理论基础，现在是时候来检验我们之前直觉推导的频率变换的唯一性了。

低通-带通变换

低通-带通变换的映射关系如下：

根据频率变换的第一节，变换函数需满足：

$$ f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

我们无法引入新的零点，因为差额已经为1.我们也无法引入新的极点。若新的极点为0，那么极点0的重数将不是1.若新的极点模长小于1，将不满足极点-零点交替出现的原则。若新的极点模长为1，将与零点抵消。若新的极点模长大于1，在频率为无穷大的时候的响应就不满足直觉。

由于无法引入新的极点或零点，唯一可调的是比例常数 $K$，且 $K$ 必须为正实数：

$$ f(\omega) = K\frac{(\omega - 1)(\omega + 1)}{\omega} $$

假设原低通滤波器带宽为 $\omega_{LP}$，则带通滤波器的两个截止频率满足：

$$ \omega_{LP} = K\frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

舍弃负频率，解得：

$$ \begin{cases} \omega_a = \frac{\omega_{LP}}{2K} + \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \\ \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{2K} - \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \end{cases} $$

有：

$$ \omega_a \omega_b = \omega_{LP}^2 = 1 $$$$ \omega_a - \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{K} $$

即，两个截止频率的几何平均为中心频率。带通滤波器的品质因子(Q) 定义为：

$$ Q = \frac{\text{Center Frequency}}{\text{Bandwidth}} = \frac{\omega_{LP}}{\omega_a - \omega_b} = K $$

最终映射为：

$$ s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right) $$

电感的变换：

$$ sL \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)L $$

即，电感 $L$ 变为电感 $\frac{LQ}{\omega_0}$ 与电容 $\frac{1}{QL\omega_0}$ 的串联：

这个结论符合我们的工程直觉，因为在DC的电感是一个短路，而在$\omega_0$的新电路也是短路。无穷频率的电感将是断路，而DC+无穷频率的新电路也是断路。

电容的变换：

$$ C \rightarrow \frac{QC}{\omega_0} \parallel \frac{1}{QC\omega_0} $$

即，电容 $C$ 变为电容 $\frac{QC}{\omega_0}$ 与电感 $\frac{1}{QC\omega_0}$ 的并联：

DC的电容是断路，而在$\omega_0$的新电路也是断路。无穷频率的电容是短路，而DC+无穷频率的新电路也是短路。

因此，低通-带通变换后，LC滤波器的阶数翻倍：

低通-高通变换

低通-高通变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{1}{\omega} $$

我们无法引入新的极点，否则零极点差额将会超过1.我们亦无法引入新的零点，否则无穷大的响应将不满足直觉。

因此我们能改变的只有成比例常数：

$$ f(\omega) = \frac{-K}{\omega} $$

我们一定要引入负号，否则新的阻抗不会是增函数。最终映射为：

$$ j\omega \rightarrow -j\frac{K}{\omega} \rightarrow \frac{K}{j\omega} $$

若需任意高通频率：

$$ s \rightarrow \frac{\omega_0}{s} $$

低通-高通变换后，电容变为电感，电感变为电容：

低通-带阻变换

低通-带阻变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1} $$

与带通变换一样，我们无法加入任何新的极点或零点。同样，唯一未知量为比例系数，且必须为负实数：

$$ f(\omega) = \frac{-K\omega}{\omega^2 - 1} $$

带阻滤波器的两个截止频率的几何平均为中心频率，品质因子定义同前。最终映射为：

$$ s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)} $$

电感变为电容与电感的并联，电容变为电容与电感的串联：

综上，频率变换的形式和参数均由网络的物理特性唯一决定，无法随意添加极点或零点。所有变换均严格遵循正实性和极点零点交替分布的原则。

频率变换类型总结表

下表总结了几种从低通出发的频率变换类型及其特性。

变换类型	变换公式	元件变换方式	阶数变化
低通 → 带通	$s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)$	电感 $\rightarrow$ 串联电感+电容电容 $\rightarrow$ 并联电感+电容	翻倍
低通 → 高通	$s \rightarrow \frac{\omega_0}{s}$	电感 $\rightarrow$ 电容电容 $\rightarrow$ 电感	不变
低通 → 带阻	$s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)}$	电感 $\rightarrow$ 并联电感+电容电容 $\rightarrow$ 串联电感+电容	翻倍

主动滤波器(7)：频率变换(2)

Wed, 20 Aug 2025 19:57:30 +0800

在上一节中，我们讨论了频率变换的工程直觉。简而言之，频率变换的核心准则只有一条：

零频点应映射到新的零点，无穷频点应映射到新的极点。

基于这一原则，我们通过直觉推导了从低通滤波器到其他类型滤波器的映射关系。然而，这些推导仅能得到“成正比”的关系，属于必要但不充分条件。

本节将进一步探讨纯LC电路的实现特性，并给出充分性证明。

特勒根定理（Tellegen’s Theorem）

在深入分析任何网络之前，我们先引入特勒根定理，为后续推导提供新的数学工具。

考虑如下图所示的网络，底部节点接地，各节点已标注电压与电流。每条支路可包含任意被动或主动元件，且可能为线性或非线性。

我们约定如下：

电流方向：流入节点为正，流出为负。
电压极性：高电位端为正，低电位端为负。

首先，我们可在节点1、2、3建立KCL方程，或用矩阵形式表示：

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5 \\ i_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

记为 $\textbf{A}\textbf{I} = \textbf{0}$。

这一关系总是成立，否则电流将无故产生或消失，违背物理定律。$\textbf{A}$ 的每一行对应一个节点的KCL，每一列对应一条支路的电流方向。

定义支路电压（Branch Voltage） 为第n支路的电压，例如支路1的电压为 $V_1 - V_2$。构建支路电压向量，满足：

$$ \textbf{V}_B = - \textbf{A}^T \textbf{V} $$

以本例验证：

$$\textbf{V}_B=\begin{bmatrix} V_1 - V_2 \\ -V_2 + V_3 \\ -V_2 \\ -V_1 \\ V_1 - V_3 \\ -V_3 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{bmatrix} = -A^T V $$

由能量守恒，有：

$$ \textbf{V}_B^T \textbf{I} = 0 $$

或展开为：

$$ \sum_k v_{bk}i_k = 0 $$

证明如下：

$$ \begin{aligned} \textbf{V}_B^T \cdot \textbf{I} &= (-A^T \textbf{V}_B)^T \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T A \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

上述推导基于KCL和KVL，并未假设元件类型或线性特性。特勒根定理进一步指出，即使支路电流和支路电压分别对应不同网络的元件，这一广义能量守恒关系依然成立。

考虑如下两个网络，A与B实现方式完全不同，A可能由电容、电感组成，B则可能包含主动源或其他元件。

同样有：

$$ \begin{aligned} \sum_k{v_{b1k}i_{2k}} &= - [A^T \textbf{V}_1]^T \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T A \cdot \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

这一结论极具普适性，表明只要网络结构相同，无论元件如何分布，广义能量守恒都成立。该定理适用于任意线性或非线性电路。

对于感性元件，功率定义为 $P = VI^*$，因此可得：

$$\textbf{V}^T_B \textbf{I}^* = \sum_k v_{bk} i_k^* = 0 $$

LC网络的极点与零点

考虑一个仅由LC元件组成的无损耗网络：

由能量守恒，有：

$$ \begin{aligned} |I_{1}(s)|^2 Z(s) &= \sum_{\text{All L and C}} v_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k i_k(s) i_k^*(s) + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} i_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s C_k} |I_k(s)|^2 \end{aligned} $$

令 $I_1(s) = 1$，则

$$ \begin{aligned} Z(s) &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} |I_k(s)|^2 \\ &= \sum_{\text{All L}} s P_1 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s} P_2 \end{aligned} $$

其中 $C$, $L$, $|I|^2$ 均为正实数，因此 $P_1, P_2 > 0$。

由此可得两点结论：

若频率变量 $s$ 为实数，则 $Z(s)$ 也为实数。
若 $s$ 有正实部，则 $Z(s)$ 的实部也为正。

我们将满足此性质的函数称为正实函数（Positive Real Function）。即对于仅含L和C的网络，有：

$$ \Re{[Z(s)]} \begin{cases} > 0 \text{ if } \Re[s] > 0 \\ = 0 \text{ if } \Re[s] = 0 \\ < 0 \text{ if } \Re[s] < 0 \end{cases} $$

复变函数的极点行为观察

观察复变函数在极点附近的行为。以 $\frac{1}{s - p_1}$ 为例，在极点 $p_1$ 左侧，函数实部为负；在右侧，实部为正。

若引入带有相位的留数（Residue），则分界线会随留数相位旋转。例如，绘制 $\frac{\angle 45^{\circ}}{s}$ 的实部分布：

若极点为重复极点，如 $\frac{1}{s^2}$，其实部分布如下：

而我们期望的函数实部行为应如下图所示：

因此，为使函数实部符合预期，需满足以下条件：

无左半平面极点，否则分界线将不在虚轴。
无右半平面极点，同理。
虚轴上的极点必须为简单极点（重数为1），否则分界线将非对称分割复平面。
留数必须为正实数，否则分界线将发生旋转。

此外，实系数函数的极点必以共轭对出现。上述讨论对导纳同样适用，因此零点也满足类似约束。

下一节将进一步探讨LC网络在虚轴上的零极点分布。

主动滤波器(6)：频率变换(1)

Wed, 23 Jul 2025 21:35:22 +0800

到目前为止，我们的所有讨论都是基于低通滤波器的。我们讨论了：

如何进行理想低通滤波器的近似
基本的网络合成方法：使用双端LC滤波器的标准形式来设计全极点滤波器，以及第二类切比雪夫滤波器

从这一节开始，我们讨论如何将一个低通滤波器转换为其他类型的滤波器，比如高通、带通和带阻滤波器。也就是说，在以后的工程实践中，我们并不需要从头开始设计每一种滤波器，而是可以通过频率变换，将一个低通原型滤波器转换为其他类型的滤波器。

1. 频率变换的基础：缩放操作

1.1 低通缩放(Scaling)

我们知道最基本的频率变换：缩放(Scaling) 。我们之前所有设计的滤波器的截止频率都是1 rad/s，然而在现实生活中，这个值显然不现实。对于一个吉他的效果器而言，我们可能需要的截止频率是1000 rad/s。我们可以通过缩放来实现这个目标。

假如我们原来的传递函数是$H(s)$，只要把$s$替换为$s/\omega_0$，就可以得到一个新的传递函数$H(s/\omega_0)$，其中$\omega_0$是我们想要的截止频率：

$$s \rightarrow \frac{s}{\omega_0} \quad \therefore \quad H(s) \rightarrow H\left(\frac{s}{\omega_0}\right)$$

使用缩放操作，我们有以下关系：

$$\omega \rightarrow \frac{\omega}{\omega_0}, \quad j\omega \rightarrow j\frac{\omega}{\omega_0}, \quad s \rightarrow \frac{s}{\omega_0}$$

1.2 元件阻抗的变换

我们可以看到，使用缩放操作，我们只需要变换原网络里的角频率。哪些元件的值里包括了角频率？答案是只有感性元件有这个特征，因此我们有下列表格展示在缩放情况下的阻抗变换：

元件类型	原阻抗	缩放后的阻抗	评论
电阻(R)	$R$	$R$	无变化
电感(L)	$sL$	$\frac{sL}{\omega_0}$	除以$\omega_0$
电容(C)	$\frac{1}{sC}$	$\frac{\omega_0}{sC}$	乘以$\omega_0$
主动元件(G)	$G$	$G$	无变化

重要结论：只有感性元件的阻抗在缩放时会发生变化。

这种低通到低通的变换非常简单，并且是线性操作。然而很不幸，如果我们要将一个低通滤波器转换为高通滤波器，转换函数将不会是一个线性函数。

一个值得注意的事实是，感性元件在经过变换之后，依然是感性元件。由于感性元件也是无损耗的，因此我们想要保留这个特性，从而保证在变换之后的滤波器依然是无损耗的。

2. 频率变换的基本原则

频率变换不是想怎么变就能怎么变的。假如我们有以下的变换映射：

$$\omega \rightarrow f(\omega)$$

那么，$f(\omega)$必须满足以下条件：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点
截止频率映射：$\omega$的截止频率也必须移动到$f(\omega)$的截止频率

2.1 带通滤波器的变换

根据上述原则，我们可以得知如果我们要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带通滤波器的零点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = 0$
- 我们同样做了归一化假设
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带通滤波器的极点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = \infty$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega}$$

注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.2 高通滤波器的变换

同样的，对于高通滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到高通滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\infty) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到高通滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0) = 0$
截止频率映射：高通滤波器的截止频率满足$f(1) = 1$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{1}{\omega}$$

再次注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.3 带阻滤波器的变换

同样的，对于带阻滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带阻滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带阻滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = 0$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1}$$

我们需要做最后一次提示，注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.4 可实现性条件

除了要满足上述映射要求之外，滤波器的基本稳定性要求也必须得到满足。也就是说，滤波器的极点必须在左半平面内，否则滤波器就会不稳定。由于传递函数的倒函数也是一个有效的传递函数，因此这个要求也必须满足于零点上。

稳定性要求：

所有极点必须位于左半平面
所有零点也必须位于左半平面或虚轴上
变换后的滤波器必须保持因果性和稳定性

3. 变换函数的性质总结

通过以上分析，我们可以总结出各种滤波器变换的基本形式：

滤波器类型	变换函数形式	零点-极点映射特征
低通→低通	$s/\omega_0$	线性缩放
低通→高通	$1/\omega$	零极点互换
低通→带通	$(\omega^2-1)/\omega$	一个极点/零点分裂为两个
低通→带阻	$\omega/(\omega^2-1)$	一个极点/零点分裂为两个

最后一次提示，以上变换函数都是成正比的关系，实际应用中可能需要根据具体情况添加其他因子。但是在下一节中，我们将证明其他因子只会是一个常数。

主动滤波器(5)：双端LC滤波器(2)

Wed, 23 Jul 2025 19:28:55 +0800

在上一节中，我们解释了如何使用双端LC滤波器的标准形式来设计一个全极点滤波器。总结起来，我们有以下的设计流程：

设计传递函数$H(j\omega)$
进行各种归一化假设
通过$H(j\omega)$推导反射系数$\Gamma(s)$
通过$\Gamma(s)$推导输入阻抗$Z_{in}(s)$
通过$Z_{in}(s)$推导整个滤波器的电路结构

我们知道，使用双端LC滤波器的标准形式，输入阻抗可以表示为：

$$Z_{in}(s) = sL_1 + \cfrac{1}{sC_1 + \cfrac{1}{sL_3 + \cfrac{1}{\ddots}}}$$

这是一个有限的连分数形式。我们可以通过这个公式推导出$Z_{in}(s)$，从而得到滤波器的电路结构。

本节将对LC标准形式进行总结，并讲解一些特殊情况的处理方法。

1. 全极点LC滤波器的性质

双端LC滤波器具有以下重要性质：

反射系数特性：在通带内，反射系数几乎为0；在阻带内，反射系数接近1
零点特性：在传递函数的零点处，反射系数为0
阶数限制：使用LC标准形式，我们只能实现传递函数的分子和分母阶数差不超过1的滤波器
- 这是因为在频率趋近于无穷时，输入阻抗只能表现为L、R、C中任意一种形式的特性
可实现的滤波器类型：
- 奇数阶或偶数阶巴特沃斯滤波器
- 奇数阶第一类切比雪夫滤波器
- 无法实现偶数阶第一类切比雪夫滤波器，因为其直流增益不等于1/2

那么，我们能否实现第二类切比雪夫滤波器？答案是肯定的，但需要对双端LC标准形式做适当的改进。

2. 第二类切比雪夫滤波器的电路实现

2.1 有限零点与谐振回路

第二类切比雪夫滤波器具有有限零点，而标准的双端LC形式只能实现全极点滤波器。因此，仅使用标准形式无法插入有限零点，从而无法实现第二类切比雪夫滤波器。

解决方案是引入谐振回路(Resonant Tank) 。

并联谐振回路

并联谐振回路的结构如下：

对于并联谐振回路，其输入阻抗为：

$$Z_{in}(j\omega) = \frac{1}{j\omega C} \parallel j\omega L = \frac{j\omega L/C}{1 - \omega^2 LC}$$

串联谐振回路

对于串联谐振回路，其输入阻抗为：

$$Z_{in}(j\omega) = j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1 - \omega^2 LC}{\omega C}$$

谐振特性

在$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$时：

串联谐振回路的阻抗为0
并联谐振回路的阻抗为无穷大

这个特殊的角频率称为谐振频率(Resonant Frequency)。利用谐振回路的这一特性，我们就可以在滤波器中插入有限零点。

2.2 设计实例：三阶第二类切比雪夫滤波器

让我们尝试实现一个三阶第二类切比雪夫滤波器，使用如下电路结构：

2.2.1 输入阻抗函数

三阶第二类切比雪夫滤波器对应的输入阻抗为：

$$Z_{in}(s) = \frac{2s^3 + 0.6746s^2 + 0.2271s + 0.0400}{0.6746s^2 + 0.2271s + 0.0400}$$

设计提示 (Shanthi Pavan): 当设计具有无理系数的滤波器时，舍入规则的经验法则是保持有效数字位数等于滤波器的阶数。例如，三阶滤波器应保留3位有效数字。否则，舍入误差会在求解电路其余部分时产生负阻抗。

2.2.2 高频特性分析

在无限频率时，由于电容短路，电感占据阻抗的主导地位，因此：

$$L_1 + L_2 \parallel L_3 = \frac{2}{0.6746}$$

2.2.3 零点条件

由于$Z_{in}(s) = sL_1 + Z_{in1}(s)$，我们需要确保在传递函数的零点处，串联谐振回路的阻抗为0。

这样设计的原因有两个：

在传递函数的零点处，反射系数为0
当谐振回路将剩余阻抗全部短路时，所有输入能量都被反射，负载端电压为0

因此，在零点频率$\omega_z$处：

$$Z_{in}(j\omega_z) = j\omega_z L_1$$

通过计算可得：$L_1 = 2.8384\text{H}$

2.2.4 剩余电路分析

去掉$L_1$后，剩余部分的输入导纳为：

$$Y_{in}(s) = \frac{0.6742s^2 + 0.2271s + 0.0400}{0.0852s^3 + 0.0299s^2 + 0.1135s + 0.0400}$$

串联谐振回路的导纳为：

$$Y_{\text{resonant}}(s) = \frac{sC_2}{1 + s^2L_2C_2}$$

在$\omega_z$处，导纳趋近于无穷大，且$\omega_z = \frac{1}{\sqrt{L_2C_2}}$。

关键观察：在接近$\omega_z$时，$Y_{\text{resonant}}(s)$和$Y_{in1}(s)$的行为非常相似：

$$\lim_{s \to j\omega_z} Y_{in1}(s) = \lim_{s \to j\omega_z} Y_{\text{resonant}}(s)$$

由于只有一个未知数，可求得：$C_2 = 5.6745\text{F}$

剩余求解过程比较直接。使用与上一节相同的方法，可求得：$L_3 = 2.838\text{H}$

代入所有值后，剩余阻抗为1Ω，正符合我们的负载预期。

2.3 偶数阶第二类切比雪夫滤波器的局限性

很遗憾，我们无法使用双端LC滤波器实现偶数阶第二类切比雪夫滤波器，因为在频率趋近无穷大时，要求的传递函数值非零，这与LC电路的物理特性相矛盾。

3. 总结

本节完成了对双端LC滤波器标准形式的总结，并介绍了如何使用谐振回路来实现奇数阶第二类切比雪夫滤波器。

到目前为止，我们的讨论都集中在低通滤波器的设计。读者可能会好奇：我们如何设计其他类型的滤波器——高通、带通、带阻滤波器？

在接下来的章节中，我们将展示一种优雅的数学变换方法，通过频率变换技术，可以将一个低通原型滤波器等价地转换为其他类型的滤波器。这种方法不仅在理论上具有重要意义，在工程实践中也有广泛应用。

主动滤波器(4)：双端LC滤波器(1)

Sun, 13 Jul 2025 13:38:51 +0800

我们在前三节中讨论了巴特沃斯滤波器以及两种切比雪夫滤波器的特性以及计算方法，但是我们还不知道应该怎么样使用电路元件制造这些对应的滤波器。从这一节开始，我们将从理论部分逐渐过渡到电路实现部分。

1. 双端LC滤波器(Doubly-Terminated LC Filter)

1.1 阻抗匹配(Impedance Matching)

在早期的电话通信系统中，我们想要拥有最大的功率传输效率。根据欧姆定律，我们知道阻抗匹配可以使得信号的功率最大化。如果读者有关于微波电路的基础知识，那么你应该知道仅仅使得输入和输出端实阻抗相等是不够的，因为输入和输出端的感抗元件会修改相位。

如果说输入端和输出端的阻抗是实数，那么令它们相等（阻抗匹配）就可以实现最大功率传输：

$$P = \frac{V^2}{4R}$$

如果说输出端和输入端的阻抗是复数，那么我们需要让输入端和输出端的阻抗满足共轭关系。如果我们无法实现共轭关系，那么我们需要让输入端和输出端的阻抗满足模长相等。

要使得两端阻抗成共轭关系，我们需要在输入端和输出端都引入一个匹配网络(Matching Network) 。匹配网络的作用是将输入端和输出端的阻抗变换为相同的共轭阻抗。一般来说，匹配网络会优先使用感抗元件（电容，电感）而非阻抗元件（电阻），因为感抗元件只消耗感性功率而不消耗有功功率，因此不消耗实际能量。

需要注意的是，阻抗匹配不一定能实现最大功率传输。最大功率传输的条件是输入端和输出端的阻抗完全相等，而阻抗匹配仅仅是使得输入端和输出端的阻抗模长相等。

1.2 双端LC滤波器的基本结构

滤波器的建立和匹配网络十分相似。我们把下面的电路称为双端LC滤波器(Doubly-Terminated LC Filter) ，也被称为双端LC标准型(Doubly-Terminated LC Canonical Form) ，或者双端LC梯形网络(Doubly-Terminated LC Ladder) 。它的基本结构如下：

使用双端LC滤波器的标准形式，我们可以实现任何全极点滤波器。需要注意的是，感抗元件的数量对应于滤波器的极点数量——对于全极点滤波器而言，这就是系统的阶数。

那么接下来的问题就是，假如说我们给定一个滤波器的传递函数，我们要如何设计双端LC滤波器的感抗元件呢？直觉上来说，我们可以建立这个二端网络的阻抗矩阵：

$$Z = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}$$

然后我们使用分压原理来计算输入端和输出端的阻抗，从而计算出传递函数。然而这样做十分复杂，因此我们需要一个更简单的方法。

1.3 无损网络(Lossless Network)，功率传输，反射系数（Reflection Coefficient）

如果说一个网络仅由感抗元件组成，这个网络也被称为无损网络(Lossless Network) ，因为不会有任何的功率耗散在网络里。

我们将传输给负载电阻的功率定义为$P_a$，那么由于无损网络的特性，我们可以列出以下等式：

$$\begin{aligned} P_a &= \frac{V_o^2}{Z_0} = \frac{|H(j\omega)|^2 V_i^2}{Z_0} \\ &= \frac{V_i^2}{|Z_0 + Z_{in}(s)|^2}\Re(Z_{in}(s)) \end{aligned}$$

我们的目标是找到$Z_{in}(s)$，使得上述等式成立。我们知道，最大功率在输入端和输出端的阻抗相等时实现，此时输出端的功率为：

$$P_{max} = \frac{V_i^2}{4Z_0}$$

如果我们将最大传输功率与实际传输功率取差：

$$\begin{aligned} P_{max} - P_a &= \frac{V_i^2}{4Z_0} - \frac{V_i^2}{|Z_0 + Z_{in}(s)|^2}\Re(Z_{in}(s)) \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} - \frac{V_i^2(Z_{in}+ Z_{in}^*)}{2(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} \frac{Z_0^2 - Z_0Z_{in}^* - Z_{in}Z_0 + Z_{in}Z_{in}^* }{(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \\ &= \frac{V_i^2}{4Z_0} \frac{(Z_{in} - Z_0)(Z_{in}^* - Z_0)}{(Z_0 + Z_{in})(Z_0 + Z_{in}^*)} \end{aligned}$$

如果我们定义：

$$\Gamma = \frac{Z_{in} - Z_0}{Z_{in} + Z_0}$$

那么我们可以得到：

$$P_{max} - P_a = \frac{V_i^2}{4Z_0} \Gamma \Gamma^* = \frac{V_i^2}{4Z_0} |\Gamma|^2$$

我们称$\Gamma$为反射系数(Reflection Coefficient) ，它表示了输入端和输出端的阻抗不匹配程度。反射系数的模长越大，表示输入端和输出端的阻抗越不匹配。当阻抗完全匹配时，反射系数为0，此时功率传输最大。

$$P_a = (1 - |\Gamma|^2) P_{max}$$

回顾我们的功率传输，

$$\frac{V_i^2}{4Z_0} (1 - |\Gamma|^2) = \frac{V_i^2 |H(j\omega)|^2}{Z_0}$$

我们可以得到：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1 - |\Gamma|^2}{4}$$

由于$|\Gamma| > 0$，因此这种低通滤波器的最大DC增益只能达到$\frac{1}{2}$。

1.4 通带，阻带与反射系数

比较上述反射系数与幅度响应的关系，我们可以得出以下结论：

在通带中 ，反射系数的模长$|\Gamma|$接近0，因此幅度响应$|H(j\omega)|$接近1。
- 此时，全部的功率都传输到负载电阻上。
在阻带中 ，反射系数的模长$|\Gamma|$接近1，因此幅度响应$|H(j\omega)|$接近0。
- 此时，全部的功率都被反射回输入端，没有传输到负载电阻上。

这符合我们的直觉，因为在通带中，信号可以通过滤波器传输到负载，而在阻带中，信号被滤波器阻挡，无法传输到负载。

1.5 例：三阶巴特沃斯滤波器

让我们来看一个具体的例子。我们设计这样一个双端LC滤波器，使得它的传递函数为三阶巴特沃斯滤波器。我们归一化截止频率与阻抗。

首先我们可以列出以下方程：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \omega^6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 - |\Gamma|^2}{4}$$

那么，

$$|\Gamma|^2 = \frac{\omega^6}{1 + \omega^6} = \Gamma(j\omega)\Gamma(-j\omega)$$

因此我们可以推得，

$$\Gamma(s) = \frac{s^3}{(s+1)(s^2 + s + 1)}$$

使用归一化条件$Z_0 = 1$，我们可以求得输入阻抗：

$$Z_{in}(s) = \frac{2s^3 + 2s^2 + 2s + 1}{2s^2 + 2s + 1}$$

现在让我们来思考一个问题。以下的两个网络都是三阶标准型，我们应该选择哪一个来实现我们的滤波器？

答案应该是左边的网络，因为当频率趋近于无穷大时，我们希望阻抗趋近于无穷大，而只有左边的网络才能满足这个条件。右边的网络在高频时的阻抗趋近于0，这会导致信号被短路。

在$s \to \infty$时，阻抗大小趋近于1，因此可以求得第一个电感的值为1H。移除掉这个电感，再对接下来的电路进行同样的分析，我们可以得到第二个电容的值为2F，第二个电感的值为1H，而最后的负载电阻值为1Ω，正如我们所期望的。

1.6 小结

在这个例子中，我们展示了如何使用双端LC滤波器的标准形式来实现一个三阶巴特沃斯滤波器。我们通过计算反射系数和输入阻抗来设计滤波器的感抗元件，并确保在高频时阻抗趋近于无穷大。这个方法依然可以用在第一类切比雪夫滤波器的设计上，但是对于第二类切比雪夫滤波器，由于有限的零点，我们需要引入谐振回路(Resonant Tank) 来实现有限的零点。我们将在下一节中讨论这个例子。

主动滤波器(3)：第二类切比雪夫滤波器

Sun, 13 Jul 2025 11:15:41 +0800

引言

在前一节中，我们详细讨论了切比雪夫滤波器的设计原理与数学推导。简言之，切比雪夫滤波器通过允许通带(passband) 内的纹波来实现更陡峭的过渡带，从而在给定的阻带衰减要求下，使用更少的元件。我们可以把切比雪夫滤波器视为巴特沃斯滤波器的一种推广。

然而，切比雪夫滤波器和巴特沃斯滤波器对阻带(stopband) 没有任何特殊要求，这也就是说这两个滤波器专注于设计通带的特性，而阻带的特性是伴随而来的。第二类切比雪夫滤波器(Inverse Chebyshev Filter) 则是切比雪夫滤波器的一个变种，它允许在阻带内引入纹波，从而进一步优化通带和阻带的特性；然而通带的特性便是伴随而来的。

1. 第二类切比雪夫滤波器的基本特性

第二类切比雪夫滤波器，也被称为反切比雪夫滤波器(Inverse Chebyshev Filter) ，是切比雪夫滤波器的一个变种。它的幅度响应如下：

可以看到，第二类切比雪夫滤波器在阻带内引入了纹波。第二类切比雪夫滤波器相比切比雪夫滤波器而言，有了一个本质上的区别：由于阻带内的纹波，我们需要在阻带内引入零点。也就是说，第二类切比雪夫滤波器的传递函数不再是一个全极点滤波器。我们将在后面的章节中看到，这个区别将导致第二类切比雪夫滤波器在电路实现上有显著区别。

1.1 主要特点总结

通带特性：最大平坦（类似巴特沃斯滤波器）
阻带特性：等纹波响应
传递函数：既有极点也有零点
滚降速度：由于阻带零点的存在，比巴特沃斯滤波器更快

2. 第二类切比雪夫滤波器的数学推导

2.1 幅度响应函数的构造

我们同样来构造幅度响应的分母函数。与第一类切比雪夫滤波器类似，我们定义：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2} F(\omega^2)}$$

$F$函数应该长得像这样：

可以发现，如果经过x轴和y轴的反函数变换，$F$函数可以直接用切比雪夫多项式来表示：

$$F(\omega^2) = \frac{1}{T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}$$

2.2 完整的幅度响应表达式

因此，第二类切比雪夫滤波器的幅度响应可以表示为：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}{1 + \epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}$$

或者等价地写成：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega}\right)}}$$

2.3 极点的求解

如果要求得第二类切比雪夫滤波器的极点，我们需要解以下方程：

$$1 + \frac{1}{\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{s}{j}\right)} = 0$$

即：

$$T_n\left(\frac{s}{j}\right) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

利用第一类切比雪夫滤波器的极点结果，通过变换$s \to \frac{1}{s}$，我们可以得到第二类切比雪夫滤波器的极点。

如果第一类切比雪夫滤波器的极点为$p_k$，则第二类切比雪夫滤波器的极点为：

$$p_{k,inv} = \frac{1}{p_k}$$

3. 设计实例：三阶第二类切比雪夫滤波器

3.1 极点的计算

让我们来设计一个三阶的第二类切比雪夫滤波器。

首先，从上一节可以求得，三阶切比雪夫滤波器的三个极点为：

$$\begin{aligned} p_1, p_2 &= -\sin\frac{\pi}{6} \sinh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ &\quad \pm j \cos\frac{\pi}{6} \cosh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ p_3 &= -\sin\frac{\pi}{2} \sinh\left(\frac{1}{3}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \end{aligned}$$

切比雪夫滤波器的分母函数因此可以表示为：

$$\begin{aligned} D(s) &= \left(1 - \frac{s}{p_1}\right)\left(1 - \frac{s}{p_2}\right)\left(1 - \frac{s}{p_3}\right) \\ &= 1 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 \end{aligned}$$

那么对于第二类切比雪夫滤波器，它的分母就应该是：

$$D_{inv}(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3$$

3.2 零点的计算

除了极点之外，我们还需要求得第二类切比雪夫滤波器的零点。零点满足：

$$\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = 0$$

在这个例子中：

$$T_3\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = \cos\left(3 \cos^{-1}\left(\frac{1}{\omega_z}\right)\right) = 0$$

因此，零点满足：

$$3 \cos^{-1}\left(\frac{1}{\omega_z}\right) = \frac{(2k+1)\pi}{2}, \quad k = 0, 1, 2$$

即：

$$\frac{1}{\omega_z} = \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{6}\right), \quad k = 0, 1, 2$$

计算得到零点为：

$$\begin{aligned} \omega_{z1}, \omega_{z2} &= \pm \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \omega_{z3} &= \frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)} = \infty \end{aligned}$$

因此我们可以看到三阶第二类切比雪夫滤波器有两个有限的零点和一个无限零点。

3.3 传递函数的完整形式

三阶第二类切比雪夫滤波器的传递函数可以写成：

$$H(s) = K \frac{s^2 + \omega_{z1}^2}{s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3}$$

其中$K$是增益常数，通过归一化条件确定。

4. 偶数阶第二类切比雪夫滤波器的特殊性质

对于偶数阶第二类切比雪夫滤波器而言，在$\omega \to \infty$的时候，幅度响应并不会趋近于0，而是会趋近于：

$$\lim_{\omega \to \infty} |H(j\omega)| = \frac{\epsilon}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}$$

这个特性带来了一个重要的工程后果：我们将无法使用被动元件实现偶数阶第二类切比雪夫滤波器。这是因为被动LC滤波器在高频时的增益必须趋于零，而偶数阶反切比雪夫滤波器在高频时具有非零增益。

5. 第二类切比雪夫滤波器的通带分析

第二类切比雪夫滤波器在通带中会有怎样的特性？我们通过使$\omega \to 0$来分析通带的特性。

在$\omega \to 0$时，以下近似成立：

$$\cos^{-1}\frac{1}{\omega} \approx \ln\frac{2}{\omega}$$$$\cosh\left(n \cos^{-1}\frac{1}{\omega}\right) \approx \frac{1}{2} e^{n \ln\frac{2}{\omega}} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{\omega}\right)^n$$

因此：

$$\begin{aligned} |H(j\omega)|^2 &\approx \frac{1}{1 + \frac{1}{\epsilon^2 \left(\frac{2}{\omega}\right)^{2n}}} \\ &= \frac{1}{1 + \frac{\omega^{2n}}{4^n \epsilon^2}} \\ &= \frac{1}{1 + \frac{1}{4^n \epsilon^2}\omega^{2n}} \end{aligned}$$

这表明在通带中第二类切比雪夫滤波器趋近于巴特沃斯滤波器的响应形式，但是由于阻带的零点，滚降速度会更快。

6. 椭圆函数滤波器简介

我们看到在通带和在阻带中引入纹波可以改善滤波器的滚降速度。是否能够在通带和阻带中都引入纹波，从而进一步改善滚降速度呢？答案是肯定的，这就是椭圆函数滤波器(Elliptic Filter) 。

椭圆函数滤波器的主要特点：

通带：等纹波响应
阻带：等纹波响应
滚降速度：在所有滤波器类型中最陡峭
复杂性：数学推导最为复杂，需要椭圆积分理论

椭圆函数滤波器允许在通带和阻带中都引入纹波，从而实现最陡峭的滚降速度。椭圆函数滤波器的数学推导涉及椭圆积分和雅可比椭圆函数，较为复杂，我们这里不再详细展开。

7. 总结与对比

7.1 四种经典滤波器的比较

滤波器类型	通带特性	阻带特性	滚降速度	实现复杂度
巴特沃斯	最大平坦	单调下降	最慢	最简单
切比雪夫I	等纹波	单调下降	较快	中等
切比雪夫II	最大平坦	等纹波	较快	中等
椭圆函数	等纹波	等纹波	最快	最复杂

7.2 设计选择指南

巴特沃斯滤波器：适用于对通带平坦度要求极高的应用
第一类切比雪夫滤波器：适用于对阻带衰减要求较高，可以容忍通带纹波的应用
第二类切比雪夫滤波器：适用于对通带平坦度要求较高，可以容忍阻带纹波的应用
椭圆函数滤波器：适用于对滚降速度要求极高，可以容忍通带和阻带纹波的应用

下图展示了四种滤波器的典型幅度响应：

8. 常用的切比雪夫多项式表

阶数$n$	切比雪夫多项式 $T_n(x)$
1	$x$
2	$2x^2 - 1$
3	$4x^3 - 3x$
4	$8x^4 - 8x^2 + 1$
5	$16x^5 - 20x^3 + 5x$
6	$32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$
7	$64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$

8.1 递推关系

切比雪夫多项式满足以下递推关系：

$$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)$$

其中：

$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$

这个递推关系为高阶切比雪夫多项式的计算提供了便利。

在下一篇中，我们将讨论这些滤波器的实际电路实现方法。

主动滤波器(2)：切比雪夫近似

Sat, 12 Jul 2025 20:02:28 +0800

在上一篇中，我们讨论了巴特沃斯近似的设计方法及其特性。在深入探讨新的滤波器设计方法之前，我们需要首先分析一个关键问题：

1. 巴特沃斯滤波器的局限性分析

巴特沃斯滤波器因其设计简单而在滤波器工程中被广泛采用。然而，在某些应用场景下，巴特沃斯滤波器并非最优选择。

对于一个N阶滤波器，物理实现所需的最少无源元件（电感或电容）数量为N个。在实际工程设计中，通常给定通带最小增益和阻带最大增益的技术指标。巴特沃斯滤波器在通带内具有最大平坦特性，但这一特性在满足给定规格时可能过于严格。

如本文将要证明的，切比雪夫滤波器通过在通带内引入可控的纹波，能够以更低的阶数实现相同的阻带衰减性能。这一特性在早期模拟滤波器设计中具有重要意义，因为较少的元件意味着更低的成本和更小的体积。即使在现代集成电路设计中，减少电容和电感的使用仍然意味着更小的芯片面积和更低的功耗。

2. 第一类切比雪夫滤波器

2.1 设计原理与幅度响应特性

切比雪夫滤波器的典型幅度响应如下图所示：

我们引入参数$\epsilon$来控制通带内的纹波幅度。定义滤波器的幅度平方响应为：

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{D(\omega^2)} = \frac{1}{1 + \epsilon^2 F_1(\omega^2)}$$

其中$F_1(\omega^2)$的理想特性函数应具有如下形式：

2.2 切比雪夫多项式的数学推导

2.2.1 插值法构造多项式

基于$F_1$在$0$、$\omega_2$、$\omega_4$处的零点，可以构造如下多项式插值：

$$F_1(\omega^2) = k^2 \omega^2 (\omega^2 - \omega_2^2)^2(\omega^2 - \omega_4^2)^2$$

对于$F_1(\omega^2) - 1$，考虑到其在$\omega_1$、$\omega_3$、$1$处的零点，可得：

$$F_1(\omega^2) - 1 = k^2 (\omega^2 - \omega_1^2)(\omega^2 - \omega_3^2)(\omega^2 - 1)$$

设$C_5(\omega)^2 = F_1(\omega^2)$，则：

$$C_5(\omega) = k \omega (\omega^2 - \omega_2^2)(\omega^2 - \omega_4^2)$$

由于$C_5$在$\omega_1$、$\omega_3$处取得极值，对其求导可得：

$$\frac{dC_5(\omega)}{d\omega} = k_{unknown}(\omega^2 - \omega_1^2)(\omega^2 - \omega_3^2)$$

2.2.2 微分方程的建立与求解

当$\omega \to \infty$时，$C_5(\omega) \approx k \omega^5$，因此其导数的主导项系数为$5k$，从而$k_{unknown} = 5k$。

比较$F_1 - 1$的两种表达式，可建立如下微分方程：

$$(\frac{1}{5}\frac{dC_5}{d\omega})^2 = \frac{C_5^2 - 1}{\omega^2 - 1}$$

整理得：

$$\frac{dC_5}{\sqrt{C_5^2 - 1}} = \frac{5 d\omega}{\sqrt{\omega^2 - 1}}$$

对两边积分：

$$ \begin{aligned} \int \frac{dC_5}{\sqrt{C_5^2 - 1}} &= \int \frac{5 d\omega}{\sqrt{\omega^2 - 1}} \\ \cosh^{-1}(C_5) &= 5 \cosh^{-1}(\omega) + C_{constant} \end{aligned} $$

应用边界条件$C_5(1) = 1$，得$C_{constant} = -5 \cosh^{-1}(1) = 0$。

因此：

$$C_5(\omega) = \cosh(5\cosh^{-1}(\omega))$$

2.2.3 一般化结果

将上述结果推广至n阶情况：

$$C_n(\omega) = \cosh(n \cosh^{-1}(\omega))$$

2.3 切比雪夫多项式的完整定义

2.3.1 三角函数与双曲函数的关系

根据欧拉公式和双曲函数的定义，可得关键关系：

$$\cosh(jx) = \cos(x), \quad \cos(jx) = \cosh(x)$$

对于反函数的关系：

当$x > 1$时：$\cos^{-1}(x) = j \cosh^{-1}(x)$
当$0 < x < 1$时：$\cosh^{-1}(x) = j \cos^{-1}(x)$

2.3.2 切比雪夫多项式的定义

基于上述关系，切比雪夫多项式的完整定义为：

$$T_n(\omega) = \begin{cases} \cosh(n \cosh^{-1}(\omega)), & \text{当 }\omega \geq 1 \\ \cos(n \cos^{-1}(\omega)), & \text{当 }0 \leq \omega \leq 1 \end{cases}$$

2.3.3 多项式性质的验证

对于$|\omega| \leq 1$的情况，可以验证：

$$ \begin{aligned} T_1(\omega) &= \cos(\cos^{-1}(\omega)) = \omega \\ T_2(\omega) &= \cos(2\cos^{-1}(\omega)) = 2\omega^2 - 1 \end{aligned} $$

通过三角恒等式（倍角公式），可证明$T_n(\omega)$确实是$\omega$的n次多项式。

2.4 切比雪夫滤波器的工程术语

这种多项式以俄国数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）命名，称为切比雪夫多项式。基于切比雪夫近似的滤波器称为切比雪夫滤波器，在文献中也常见以下术语：

等纹波滤波器（Equal Ripple Filter）
- 因其通带内的最大纹波幅度恒定
最小最大值滤波器（Minimax Filter）
- 基于切比雪夫定理：在所有可能的n次多项式中，切比雪夫多项式使得其在给定区间内的最大偏差最小

3. 切比雪夫多项式的重要性质

3.1 偶数阶与奇数阶的区别

偶数阶切比雪夫多项式和奇数阶的最大最小值分布存在显著差异。

例题：四阶切比雪夫多项式在角频率为0时的值

$$T_4(0) = \cos(4\cos^{-1}(0)) = \cos(4 \times \frac{\pi}{2}) = \cos(2\pi) = 1$$

重要结论：

偶数阶切比雪夫多项式：在$\omega = 0$处取最大值
奇数阶切比雪夫多项式：在$\omega = 0$处取最小值

这导致偶数阶切比雪夫滤波器在直流处的幅度响应不为1，而是$\frac{1}{\sqrt{1 + \epsilon^2}}$，如下图所示：

3.2 通带极值点的分布

3.2.1 通带最大值

通带最大值对应于切比雪夫多项式的最小值：

$$\cos(n \cos^{-1}(\omega)) = 0$$

解得：

$$\omega = \cos\left(\frac{(2m + 1)\pi}{2n}\right), \quad m = 0, 1, \ldots, n - 1$$

3.2.2 通带最小值

通带最小值对应于切比雪夫多项式的最大值：

$$\cos(n \cos^{-1}(\omega)) = 1$$

解得：

$$\omega = \cos\left(\frac{2m\pi}{n}\right), \quad m = 0, 1, \ldots, n - 1$$

3.3 纹波与阻带衰减的关系

通过允许一定的纹波，切比雪夫滤波器能够在通带内实现更陡峭的滚降特性。纹波越大，阻带衰减也越大：

特殊情况：当$\epsilon = 0$时，切比雪夫滤波器退化为巴特沃斯滤波器。

4. 切比雪夫滤波器的极点分析

4.1 极点方程的建立

切比雪夫滤波器的极点满足：

$$1 + \epsilon^2 T_n^2(\omega) = 0$$

即：

$$\cos(n \cos^{-1}(\frac{s}{j})) = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

4.2 极点的求解过程

设$n \cos^{-1}(\frac{s}{j}) = u + jv$，其中$u, v \in \mathbb{R}$。

使用三角恒等式：

$$\cos(u + jv) = \cos u \cosh v - j \sin u \sinh v = \pm \frac{j}{\epsilon}$$

分离实部和虚部：

$$\begin{cases} \cos u \cosh v = 0 \\ -\sin u \sinh v = \pm \frac{1}{\epsilon} \end{cases}$$

由于$u$和$v$是实数，要使实部为0，必须满足：

$$u = (2m + 1) \frac{\pi}{2}, \quad m = 0, 1, 2, \ldots$$

这使得$\sin u = (-1)^m$。解第二个方程：

$$v = \pm \sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}$$

4.3 极点的最终表达式

代入得到极点的形式：

$$s = \pm \sin\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) + j \cos\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$$

4.4 极点的几何分布

极点的实部和虚部分别为：

$$\begin{cases} \sigma_0 = \pm \sin\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \\ \omega_0 = \cos\left(\frac{(2m + 1) \pi}{2n}\right) \cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right) \end{cases}$$

可以得到椭圆方程：

$$\frac{\sigma_0^2}{\sinh^2\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)} + \frac{\omega_0^2}{\cosh^2\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)} = 1$$

这表明切比雪夫滤波器的极点分布在椭圆上，椭圆的半长轴和半短轴分别为：

半长轴（虚轴）：$\cosh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$
半短轴（实轴）：$\sinh\left(\frac{1}{n}\sinh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)$

特殊情况：当$\epsilon \to 0$时，椭圆退化为单位圆，对应巴特沃斯滤波器。

以下是5阶切比雪夫滤波器的极点分布示意图（$\epsilon = 0.1$）：

在下一篇中，我们将讨论切比雪夫滤波器的变种，即第二类切比雪夫滤波器，也被称为反切比雪夫滤波器。

相位噪声与抖动的关系

Mon, 07 Jul 2025 20:42:16 +0800

在现代数字通信系统和时钟生成电路中，相位噪声和抖动是两个关键的性能指标。本文将从理论基础出发，深入分析相位噪声与抖动之间的数学关系，并探讨其在工程实践中的应用意义。

1. 理论基础

1.1 随机过程与平稳性

在分析相位噪声与抖动的关系之前，需要建立必要的随机过程理论基础。

1.1.1 平稳过程的定义

平稳过程（Stationary Process） 是指其统计特性不随时间变化的随机过程。对于平稳过程，其均值和方差在时间上保持恒定。

宽平稳过程（Wide-Sense Stationary Process） 是平稳过程的一个重要特例，其定义为：

均值恒定：$E[X(t)] = \mu_X$（常数）
自相关函数仅依赖于时间差：$R_X(t_1, t_2) = R_X(t_2 - t_1)$

白噪声是宽平稳过程的典型例子。

1.1.2 自相关函数

自相关函数（Autocorrelation Function） 描述了随机过程在不同时间点之间的相关性：

$$R_x(\tau) = E[X(t)X(t+\tau)]$$

对于白噪声，自相关函数具有以下特性：

$$R_{\text{white}}(\tau) = \sigma^2 \delta(\tau)$$

其中$\sigma^2$为噪声功率，$\delta(\tau)$为狄拉克函数。

1.2 频域分析理论

1.2.1 功率谱密度

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD） 描述了随机过程在频域中的功率分布：

$$S_x(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} E[|X_T(f)|^2]$$

1.2.2 维纳-辛钦定理

维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem） 建立了时域自相关函数与频域功率谱密度之间的重要关系：

$$S_x(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$$$R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) e^{j2\pi f\tau} df$$

这表明功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换。

1.2.3 帕萨瓦尔定理

帕萨瓦尔定理（Parseval’s Theorem） 给出了时域和频域能量的等价关系：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) df$$

对于周期信号，有：

$$\int_{-\infty}^{\infty} S_x(f) df = T \int_{-\frac{1}{2T}}^{\frac{1}{2T}} |x(t)|^2 dt$$

其中$T$为信号周期。

1.3 时间与相位关系

相位与时间的基本关系由下式给出：

$$\Delta \phi = \omega \Delta t$$

其中：

$\Delta \phi$：相位变化
$\omega$：角频率
$\Delta t$：时间间隔

2. 抖动标准差与相位噪声的数学关系

2.1 绝对抖动的定义

对于矩形波信号，绝对抖动（Absolute Jitter） 定义为信号边沿相对于理想时刻的偏移。

考虑第$k$个周期，如果相位噪声的时域表示为$\phi_n(t_k)$，则实际的相位满足：

$$\omega_0 t_k + \phi_n(t_k) = 2\pi k$$

因此，绝对抖动可以表示为：

$$ \begin{aligned} a_k &= t_k - \frac{2\pi k}{\omega_0} \\ &= \frac{\phi_n(t_k)}{\omega_0} \end{aligned} $$

2.2 小信号近似分析

基于以下工程假设：

绝对抖动是小量
相位噪声在$kT_0$附近缓慢变化

对相位噪声进行一阶泰勒展开：

$$ \begin{aligned} \phi_n(t_k) &\approx \phi_n(kT_0 + a_k) \\ &= \phi_n(kT_0) + \frac{d\phi_n(t)}{dt}\bigg|_{t=kT_0} a_k \end{aligned} $$

将此式代入绝对抖动的表达式：

$$ a_k = \frac{\phi_n(kT_0)}{\omega_0 - \frac{d\phi_n(t)}{dt}\bigg|_{t=kT_0}} $$

在小信号近似下，$\frac{d\phi_n(t)}{dt} \ll \omega_0$，因此：

$$a_k \approx \frac{\phi_n(kT_0)}{\omega_0}$$

2.3 统计特性分析

2.3.1 自相关函数关系

将相位噪声视为宽平稳过程，其自相关函数为：

$$R_{\phi}(\tau) = E[\phi_n(t)\phi_n(t+\tau)]$$

相应地，抖动的自相关函数为：

$$R_{a}(m) = E[a_k a_{k+m}]$$

由于抖动是相位噪声的比例采样结果，可得：

$$R_{a}(m) = \frac{1}{\omega_0^2} R_{\phi}(mT_0)$$

2.3.2 功率谱密度关系

应用维纳-辛钦定理，抖动的功率谱密度与相位噪声功率谱密度之间存在以下关系：

$$S_a(f) = \frac{1}{\omega_0^2} S_{\phi}(f)$$

2.4 抖动方差的计算

假设抖动为零均值过程，其方差（即均方根抖动）可通过以下方式计算：

$$ \begin{aligned} \sigma_a^2 &= R_a(0) \\ &= \frac{1}{\omega_0^2} R_{\phi}(0) \\ &= \frac{1}{\omega_0^2} \int_{-\infty}^{\infty} S_{\phi}(f) df \end{aligned} $$

这是相位噪声与抖动关系的核心结论：

随机抖动的方差等于相位噪声功率谱密度的积分除以角频率的平方。