Frequency Transformation on 四方喫茶舘

主动滤波器(9)：频率变换(4)

Mon, 25 Aug 2025 22:17:53 +0800

在频率变换（3）里，我们证明了频率变换（1）里直觉性的推导实际上是充分必要的解。基于我们的证明，我们提出了几种基本的从低通滤波器衍生其他三种高通，带通和带阻滤波器的方法。

除了这三种简单的频率变换之外，这一节我们讨论几种特殊的频率变换方法。

理查变换 (The Richard’s Transformation)

假如说我们想要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，但是这个带通滤波器要有周期性响应，如下图：

在图中，我们将原本带宽为1 rad/s的低通滤波器变换为中心频率为π，2π…以及π的整数倍的带通滤波器。我们该如何实现这种滤波器？

根据频率变换（1）里讲的两条基本原则：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点

我们知道，这个变换的零点一定在$0$, $\pm \pi, \pm 2\pi, \ldots, k\pi $的位置上，而变换的极点一定在$\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}, \ldots, (2k+1)\frac{\pi}{2}$的位置上$k \in \mathbb{Z}$。

也就是说，我们的变换应该满足这样的形式：

$$ \begin{aligned} f(\omega) &= \frac{l \omega (\omega^2 - \pi^2)(\omega^2 - (2\pi)^2)\ldots}{(\omega^2 - (\frac{\pi}{2})^2)(\omega^2 - (\frac{3\pi}{2})^2)\ldots} \\ &= l_1\frac{[\omega(1-\frac{\omega}{\pi}^2)(1-\frac{\omega}{(2\pi)}^2)\ldots(1-\frac{\omega}{(k\pi)}^2)]}{[(1-\frac{\omega}{(\frac{\pi}{2})}^2)(1-\frac{\omega}{(\frac{3\pi}{2})}^2)\ldots(1 - \frac{\omega}{k\pi + \frac{\pi}{2}}^2)]} \\ &= l_1 \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2)} \end{aligned} $$

实际上，如果我们绘制分子这个无限乘积，它看起来就像：

事实上，欧拉告诉我们这两个无限乘积都是三角函数：

$$ \begin{aligned} \sin(\omega) &= \prod_{k=1}^{\infty}\omega(1 - \frac{\omega}{(k\pi)}^2) \\ \cos(\omega) &= \prod_{k=0}^{\infty}(1 - \frac{\omega}{(k\pi + \frac{\pi}{2})}^2) \end{aligned} $$

因此，我们有：

$$ f(\omega) = l_1 \frac{\sin(\omega)}{\cos(\omega)} = l_1 \tan(\omega) $$

如果我们把复频率换回普通的频率：

$$\begin{aligned} f(s) = f(j\omega) &= jl_1 \tan(\omega) \\ &= jl_1 \tan(\frac{s}{j}) = l_1 \tanh (s) \end{aligned} $$

由于我们把$\omega \rightarrow l_1 \tan \omega$, 因此如果截止频率为1，那么新的截止频率满足$1 = l_1 \tan(\omega_{\text{bw}}) $，也就是说如果指定一个新的截止频率，$ s \rightarrow \frac{\tanh s}{\tan \omega_{\text{bw}}}$. 如果我们不想要在$\pi$的通带中心点，我们则可以使用放缩。因此，最后的变换公式为：

$$ s \rightarrow \frac{\tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}}}{\tan \omega_{\text{bw}}} $$

电路实现

为了简单起见，我们不改变截止频率，只改变中心频率，那么$ s \rightarrow l_1 \tanh \frac{s\pi}{\omega_{0}} $. 在此变换下，一个电感$sL$将会变换成一个$Ll_1\tanh(\frac{s\pi}{\omega_{0}})$.那么问题来了，我们真的有这样一个电子元件可以实现$\tanh$的频率响应特性吗？

传输线(Transmission Line)理论

这个电路就是我们熟知的传输线，如果读者对射频电路有所了解的话。一个传输线由两个平行导体和一个介质组成，信号在传输线中传播时，会在导体之间形成电场和磁场，从而实现信号的传输。传输线的特性阻抗与其几何结构和介质材料有关。波方程告诉我们，传输线需要满足电报员方程，而要满足电报员方程，我们只需要令正向传播的电压与电流和反向传播的电压与电流满足如下关系：

$$ \begin{cases} V(x) = V^+(x) + V^-(x) \\ I(x) = \frac{V^+(x)}{Z_0} - \frac{V^-(x)}{Z_0} \end{cases} $$

其中$Z_0$是传输线的特性阻抗（characteristic impedance）。

要描述一段传输线，除了传输线的特性阻抗之外，我们还需要这段传输线的时间差（time delay），这段时间差告诉我们电磁波从传输线的一端发射到另一端所需的时间，通常记为$\tau$。现在，假如我们在某个点满足传输线方程，我们把考虑的点左移动时间$\tau$，那么正向传播的时间将会被提前$\tau$，反向传播的时间将会被延后$\tau$，但是传输线方程依然需要成立：

$$ \begin{aligned} V^+ &\rightarrow V^+e^{s\tau_1} \\ V^- &\rightarrow V^-e^{-s\tau_1} \end{aligned} $$

假如我们把传输线的一端短路，那么欧姆定律一定要成立：

$$ V^+ = -V^-, V^- + V^+ = 0 $$

那么在传输线的另外一端，

$$ \begin{aligned} V_{in} &= V^+ (e^{s\tau} - e^{-s\tau}) \\ &= V^+ (2\sinh(s\tau)) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} I_{in} &= \frac{V^+e^{s\tau}}{Z_0} - -\frac{V^-e^{-s\tau}}{Z_0} \\ &= \frac{V^+}{Z_0} (e^{s\tau} + e^{-s\tau}) &= $$

主动滤波器(8)：频率变换(3)

Thu, 21 Aug 2025 20:58:21 +0800

在上一节中，我们得出了两个关于纯LC电路输入阻抗的重要结论：

阻抗的零点和极点必须位于虚轴上。
阻抗（以及导纳）的留数必须是正实数。

本节将进一步分析纯LC网络阻抗在虚轴上的行为，并探讨频率变换的唯一性与实现方式。

柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)

对于复平面上的解析函数 $f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 分别为实部和虚部，柯西-黎曼方程给出了函数解析的必要条件：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned} $$

由于LC网络的阻抗是有理函数，必然满足解析性，因此阻抗也必须满足柯西-黎曼方程。对于 $Z(s)$，有：

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] $$

也就是说，阻抗实部对实频率的变化率等于虚部对虚频率的变化率。

结合上一节的正实性结论，进一步有：

$$ \frac{\partial}{\partial \omega}\Im [Z(\sigma + j\omega)] = \frac{\partial}{\partial \sigma}\Re [Z(\sigma + j\omega)] > 0 $$

并且，如果输入信号频率为实数，阻抗为实数；若频率为纯虚数，阻抗也为纯虚数。因此：

$$ \left.Z(s)\right|_{s=j\omega} = jX(\omega) \quad \therefore \frac{dX(\omega)}{d\omega} > 0 $$

简单验证如下：

对于电感：$Z(j\omega) = j\omega L \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = L > 0$
对于电容：$Z(j\omega) = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{-\omega C} \implies \frac{dX(\omega)}{d\omega} = \frac{1}{\omega^2 C} > 0$

因此，LC网络输入阻抗在虚轴上的导数始终为正。这意味着在虚轴上不可能出现连续的极点或零点，否则会与单调性矛盾。如下图所示：

所以，极点和零点在虚轴上必定交替出现：

并且，零点数与极点数的差额最多为1。综合所有结论，频率变换的推导实际上是唯一的。

充分必要的频率变换

我们建立了所有需要证明充分性的理论基础，现在是时候来检验我们之前直觉推导的频率变换的唯一性了。

低通-带通变换

低通-带通变换的映射关系如下：

根据频率变换的第一节，变换函数需满足：

$$ f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

我们无法引入新的零点，因为差额已经为1.我们也无法引入新的极点。若新的极点为0，那么极点0的重数将不是1.若新的极点模长小于1，将不满足极点-零点交替出现的原则。若新的极点模长为1，将与零点抵消。若新的极点模长大于1，在频率为无穷大的时候的响应就不满足直觉。

由于无法引入新的极点或零点，唯一可调的是比例常数 $K$，且 $K$ 必须为正实数：

$$ f(\omega) = K\frac{(\omega - 1)(\omega + 1)}{\omega} $$

假设原低通滤波器带宽为 $\omega_{LP}$，则带通滤波器的两个截止频率满足：

$$ \omega_{LP} = K\frac{\omega^2 - 1}{\omega} $$

舍弃负频率，解得：

$$ \begin{cases} \omega_a = \frac{\omega_{LP}}{2K} + \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \\ \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{2K} - \sqrt{1 + \frac{\omega_{LP}^2}{4K^2}} \end{cases} $$

有：

$$ \omega_a \omega_b = \omega_{LP}^2 = 1 $$$$ \omega_a - \omega_b = \frac{\omega_{LP}}{K} $$

即，两个截止频率的几何平均为中心频率。带通滤波器的品质因子(Q) 定义为：

$$ Q = \frac{\text{Center Frequency}}{\text{Bandwidth}} = \frac{\omega_{LP}}{\omega_a - \omega_b} = K $$

最终映射为：

$$ s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right) $$

电感的变换：

$$ sL \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)L $$

即，电感 $L$ 变为电感 $\frac{LQ}{\omega_0}$ 与电容 $\frac{1}{QL\omega_0}$ 的串联：

这个结论符合我们的工程直觉，因为在DC的电感是一个短路，而在$\omega_0$的新电路也是短路。无穷频率的电感将是断路，而DC+无穷频率的新电路也是断路。

电容的变换：

$$ C \rightarrow \frac{QC}{\omega_0} \parallel \frac{1}{QC\omega_0} $$

即，电容 $C$ 变为电容 $\frac{QC}{\omega_0}$ 与电感 $\frac{1}{QC\omega_0}$ 的并联：

DC的电容是断路，而在$\omega_0$的新电路也是断路。无穷频率的电容是短路，而DC+无穷频率的新电路也是短路。

因此，低通-带通变换后，LC滤波器的阶数翻倍：

低通-高通变换

低通-高通变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{1}{\omega} $$

我们无法引入新的极点，否则零极点差额将会超过1.我们亦无法引入新的零点，否则无穷大的响应将不满足直觉。

因此我们能改变的只有成比例常数：

$$ f(\omega) = \frac{-K}{\omega} $$

我们一定要引入负号，否则新的阻抗不会是增函数。最终映射为：

$$ j\omega \rightarrow -j\frac{K}{\omega} \rightarrow \frac{K}{j\omega} $$

若需任意高通频率：

$$ s \rightarrow \frac{\omega_0}{s} $$

低通-高通变换后，电容变为电感，电感变为电容：

低通-带阻变换

低通-带阻变换如下：

变换关系为：

$$ f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1} $$

与带通变换一样，我们无法加入任何新的极点或零点。同样，唯一未知量为比例系数，且必须为负实数：

$$ f(\omega) = \frac{-K\omega}{\omega^2 - 1} $$

带阻滤波器的两个截止频率的几何平均为中心频率，品质因子定义同前。最终映射为：

$$ s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)} $$

电感变为电容与电感的并联，电容变为电容与电感的串联：

综上，频率变换的形式和参数均由网络的物理特性唯一决定，无法随意添加极点或零点。所有变换均严格遵循正实性和极点零点交替分布的原则。

频率变换类型总结表

下表总结了几种从低通出发的频率变换类型及其特性。

变换类型	变换公式	元件变换方式	阶数变化
低通 → 带通	$s \rightarrow Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)$	电感 $\rightarrow$ 串联电感+电容电容 $\rightarrow$ 并联电感+电容	翻倍
低通 → 高通	$s \rightarrow \frac{\omega_0}{s}$	电感 $\rightarrow$ 电容电容 $\rightarrow$ 电感	不变
低通 → 带阻	$s \rightarrow \frac{1}{Q\left(\frac{s}{\omega_0} + \frac{\omega_0}{s}\right)}$	电感 $\rightarrow$ 并联电感+电容电容 $\rightarrow$ 串联电感+电容	翻倍

主动滤波器(7)：频率变换(2)

Wed, 20 Aug 2025 19:57:30 +0800

在上一节中，我们讨论了频率变换的工程直觉。简而言之，频率变换的核心准则只有一条：

零频点应映射到新的零点，无穷频点应映射到新的极点。

基于这一原则，我们通过直觉推导了从低通滤波器到其他类型滤波器的映射关系。然而，这些推导仅能得到“成正比”的关系，属于必要但不充分条件。

本节将进一步探讨纯LC电路的实现特性，并给出充分性证明。

特勒根定理（Tellegen’s Theorem）

在深入分析任何网络之前，我们先引入特勒根定理，为后续推导提供新的数学工具。

考虑如下图所示的网络，底部节点接地，各节点已标注电压与电流。每条支路可包含任意被动或主动元件，且可能为线性或非线性。

我们约定如下：

电流方向：流入节点为正，流出为负。
电压极性：高电位端为正，低电位端为负。

首先，我们可在节点1、2、3建立KCL方程，或用矩阵形式表示：

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5 \\ i_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

记为 $\textbf{A}\textbf{I} = \textbf{0}$。

这一关系总是成立，否则电流将无故产生或消失，违背物理定律。$\textbf{A}$ 的每一行对应一个节点的KCL，每一列对应一条支路的电流方向。

定义支路电压（Branch Voltage） 为第n支路的电压，例如支路1的电压为 $V_1 - V_2$。构建支路电压向量，满足：

$$ \textbf{V}_B = - \textbf{A}^T \textbf{V} $$

以本例验证：

$$\textbf{V}_B=\begin{bmatrix} V_1 - V_2 \\ -V_2 + V_3 \\ -V_2 \\ -V_1 \\ V_1 - V_3 \\ -V_3 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{bmatrix} = -A^T V $$

由能量守恒，有：

$$ \textbf{V}_B^T \textbf{I} = 0 $$

或展开为：

$$ \sum_k v_{bk}i_k = 0 $$

证明如下：

$$ \begin{aligned} \textbf{V}_B^T \cdot \textbf{I} &= (-A^T \textbf{V}_B)^T \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T A \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

上述推导基于KCL和KVL，并未假设元件类型或线性特性。特勒根定理进一步指出，即使支路电流和支路电压分别对应不同网络的元件，这一广义能量守恒关系依然成立。

考虑如下两个网络，A与B实现方式完全不同，A可能由电容、电感组成，B则可能包含主动源或其他元件。

同样有：

$$ \begin{aligned} \sum_k{v_{b1k}i_{2k}} &= - [A^T \textbf{V}_1]^T \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T A \cdot \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$

这一结论极具普适性，表明只要网络结构相同，无论元件如何分布，广义能量守恒都成立。该定理适用于任意线性或非线性电路。

对于感性元件，功率定义为 $P = VI^*$，因此可得：

$$\textbf{V}^T_B \textbf{I}^* = \sum_k v_{bk} i_k^* = 0 $$

LC网络的极点与零点

考虑一个仅由LC元件组成的无损耗网络：

由能量守恒，有：

$$ \begin{aligned} |I_{1}(s)|^2 Z(s) &= \sum_{\text{All L and C}} v_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k i_k(s) i_k^*(s) + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} i_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s C_k} |I_k(s)|^2 \end{aligned} $$

令 $I_1(s) = 1$，则

$$ \begin{aligned} Z(s) &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} |I_k(s)|^2 \\ &= \sum_{\text{All L}} s P_1 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s} P_2 \end{aligned} $$

其中 $C$, $L$, $|I|^2$ 均为正实数，因此 $P_1, P_2 > 0$。

由此可得两点结论：

若频率变量 $s$ 为实数，则 $Z(s)$ 也为实数。
若 $s$ 有正实部，则 $Z(s)$ 的实部也为正。

我们将满足此性质的函数称为正实函数（Positive Real Function）。即对于仅含L和C的网络，有：

$$ \Re{[Z(s)]} \begin{cases} > 0 \text{ if } \Re[s] > 0 \\ = 0 \text{ if } \Re[s] = 0 \\ < 0 \text{ if } \Re[s] < 0 \end{cases} $$

复变函数的极点行为观察

观察复变函数在极点附近的行为。以 $\frac{1}{s - p_1}$ 为例，在极点 $p_1$ 左侧，函数实部为负；在右侧，实部为正。

若引入带有相位的留数（Residue），则分界线会随留数相位旋转。例如，绘制 $\frac{\angle 45^{\circ}}{s}$ 的实部分布：

若极点为重复极点，如 $\frac{1}{s^2}$，其实部分布如下：

而我们期望的函数实部行为应如下图所示：

因此，为使函数实部符合预期，需满足以下条件：

无左半平面极点，否则分界线将不在虚轴。
无右半平面极点，同理。
虚轴上的极点必须为简单极点（重数为1），否则分界线将非对称分割复平面。
留数必须为正实数，否则分界线将发生旋转。

此外，实系数函数的极点必以共轭对出现。上述讨论对导纳同样适用，因此零点也满足类似约束。

下一节将进一步探讨LC网络在虚轴上的零极点分布。

主动滤波器(6)：频率变换(1)

Wed, 23 Jul 2025 21:35:22 +0800

到目前为止，我们的所有讨论都是基于低通滤波器的。我们讨论了：

如何进行理想低通滤波器的近似
基本的网络合成方法：使用双端LC滤波器的标准形式来设计全极点滤波器，以及第二类切比雪夫滤波器

从这一节开始，我们讨论如何将一个低通滤波器转换为其他类型的滤波器，比如高通、带通和带阻滤波器。也就是说，在以后的工程实践中，我们并不需要从头开始设计每一种滤波器，而是可以通过频率变换，将一个低通原型滤波器转换为其他类型的滤波器。

1. 频率变换的基础：缩放操作

1.1 低通缩放(Scaling)

我们知道最基本的频率变换：缩放(Scaling) 。我们之前所有设计的滤波器的截止频率都是1 rad/s，然而在现实生活中，这个值显然不现实。对于一个吉他的效果器而言，我们可能需要的截止频率是1000 rad/s。我们可以通过缩放来实现这个目标。

假如我们原来的传递函数是$H(s)$，只要把$s$替换为$s/\omega_0$，就可以得到一个新的传递函数$H(s/\omega_0)$，其中$\omega_0$是我们想要的截止频率：

$$s \rightarrow \frac{s}{\omega_0} \quad \therefore \quad H(s) \rightarrow H\left(\frac{s}{\omega_0}\right)$$

使用缩放操作，我们有以下关系：

$$\omega \rightarrow \frac{\omega}{\omega_0}, \quad j\omega \rightarrow j\frac{\omega}{\omega_0}, \quad s \rightarrow \frac{s}{\omega_0}$$

1.2 元件阻抗的变换

我们可以看到，使用缩放操作，我们只需要变换原网络里的角频率。哪些元件的值里包括了角频率？答案是只有感性元件有这个特征，因此我们有下列表格展示在缩放情况下的阻抗变换：

元件类型	原阻抗	缩放后的阻抗	评论
电阻(R)	$R$	$R$	无变化
电感(L)	$sL$	$\frac{sL}{\omega_0}$	除以$\omega_0$
电容(C)	$\frac{1}{sC}$	$\frac{\omega_0}{sC}$	乘以$\omega_0$
主动元件(G)	$G$	$G$	无变化

重要结论：只有感性元件的阻抗在缩放时会发生变化。

这种低通到低通的变换非常简单，并且是线性操作。然而很不幸，如果我们要将一个低通滤波器转换为高通滤波器，转换函数将不会是一个线性函数。

一个值得注意的事实是，感性元件在经过变换之后，依然是感性元件。由于感性元件也是无损耗的，因此我们想要保留这个特性，从而保证在变换之后的滤波器依然是无损耗的。

2. 频率变换的基本原则

频率变换不是想怎么变就能怎么变的。假如我们有以下的变换映射：

$$\omega \rightarrow f(\omega)$$

那么，$f(\omega)$必须满足以下条件：

零点映射：$\omega = 0$必须移动到$f(\omega) = 0$，也就是说$\omega$的零点必须移动到$f(\omega)$的零点
极点映射：$\omega = \infty$必须移动到$f(\omega) = \infty$，也就是说$\omega$的极点必须移动到$f(\omega)$的极点
截止频率映射：$\omega$的截止频率也必须移动到$f(\omega)$的截止频率

2.1 带通滤波器的变换

根据上述原则，我们可以得知如果我们要把一个低通滤波器变成一个带通滤波器，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带通滤波器的零点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = 0$
- 我们同样做了归一化假设
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带通滤波器的极点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = \infty$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{(\omega + 1)(\omega - 1)}{\omega} = \frac{\omega^2 - 1}{\omega}$$

注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.2 高通滤波器的变换

同样的，对于高通滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到高通滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\infty) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到高通滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0) = 0$
截止频率映射：高通滤波器的截止频率满足$f(1) = 1$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{1}{\omega}$$

再次注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.3 带阻滤波器的变换

同样的，对于带阻滤波器而言，我们需要满足以下条件：

零点映射：低通滤波器的零点必须移动到带阻滤波器的极点，即$\omega = 0 \rightarrow f(\pm 1) = \infty$
极点映射：低通滤波器的极点必须移动到带阻滤波器的零点，即$\omega = \infty \rightarrow f(0, \pm \infty) = 0$

因此，我们可以得出结论，转换函数至少需要拥有如下形式：

$$f(\omega) \propto \frac{\omega}{(\omega + 1)(\omega - 1)} = \frac{\omega}{\omega^2 - 1}$$

我们需要做最后一次提示，注意到这只是一个成正比的关系，因为我们并不知道转换函数是否有其他的因子。

2.4 可实现性条件

除了要满足上述映射要求之外，滤波器的基本稳定性要求也必须得到满足。也就是说，滤波器的极点必须在左半平面内，否则滤波器就会不稳定。由于传递函数的倒函数也是一个有效的传递函数，因此这个要求也必须满足于零点上。

稳定性要求：

所有极点必须位于左半平面
所有零点也必须位于左半平面或虚轴上
变换后的滤波器必须保持因果性和稳定性

3. 变换函数的性质总结

通过以上分析，我们可以总结出各种滤波器变换的基本形式：

滤波器类型	变换函数形式	零点-极点映射特征
低通→低通	$s/\omega_0$	线性缩放
低通→高通	$1/\omega$	零极点互换
低通→带通	$(\omega^2-1)/\omega$	一个极点/零点分裂为两个
低通→带阻	$\omega/(\omega^2-1)$	一个极点/零点分裂为两个

最后一次提示，以上变换函数都是成正比的关系，实际应用中可能需要根据具体情况添加其他因子。但是在下一节中，我们将证明其他因子只会是一个常数。