在上一节中，我们讨论了频率变换的工程直觉。简而言之，频率变换的核心准则只有一条：
零频点应映射到新的零点，无穷频点应映射到新的极点。
基于这一原则，我们通过直觉推导了从低通滤波器到其他类型滤波器的映射关系。然而，这些推导仅能得到“成正比”的关系，属于必要但不充分条件。
本节将进一步探讨纯LC电路的实现特性，并给出充分性证明。
特勒根定理（Tellegen’s Theorem）
在深入分析任何网络之前，我们先引入特勒根定理，为后续推导提供新的数学工具。
考虑如下图所示的网络，底部节点接地，各节点已标注电压与电流。每条支路可包含任意被动或主动元件，且可能为线性或非线性。
我们约定如下：
- 电流方向：流入节点为正，流出为负。
- 电压极性：高电位端为正，低电位端为负。
首先，我们可在节点1、2、3建立KCL方程，或用矩阵形式表示：
$$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5 \\ i_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$记为 $\textbf{A}\textbf{I} = \textbf{0}$。
这一关系总是成立，否则电流将无故产生或消失，违背物理定律。$\textbf{A}$ 的每一行对应一个节点的KCL，每一列对应一条支路的电流方向。
定义支路电压（Branch Voltage） 为第n支路的电压，例如支路1的电压为 $V_1 - V_2$。构建支路电压向量，满足：
$$ \textbf{V}_B = - \textbf{A}^T \textbf{V} $$以本例验证：
$$\textbf{V}_B=\begin{bmatrix} V_1 - V_2 \\ -V_2 + V_3 \\ -V_2 \\ -V_1 \\ V_1 - V_3 \\ -V_3 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{bmatrix} = -A^T V $$由能量守恒，有：
$$ \textbf{V}_B^T \textbf{I} = 0 $$或展开为：
$$ \sum_k v_{bk}i_k = 0 $$证明如下：
$$ \begin{aligned} \textbf{V}_B^T \cdot \textbf{I} &= (-A^T \textbf{V}_B)^T \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T A \cdot \textbf{I} \\ &= -\textbf{V}_B^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$上述推导基于KCL和KVL，并未假设元件类型或线性特性。特勒根定理进一步指出，即使支路电流和支路电压分别对应不同网络的元件，这一广义能量守恒关系依然成立。
考虑如下两个网络，A与B实现方式完全不同，A可能由电容、电感组成，B则可能包含主动源或其他元件。
同样有：
$$ \begin{aligned} \sum_k{v_{b1k}i_{2k}} &= - [A^T \textbf{V}_1]^T \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T A \cdot \textbf{I}_2 \\ &= - \textbf{V}_1^T \cdot \textbf{0} \\ &= 0 \end{aligned} $$这一结论极具普适性，表明只要网络结构相同，无论元件如何分布，广义能量守恒都成立。该定理适用于任意线性或非线性电路。
对于感性元件，功率定义为 $P = VI^*$，因此可得：
$$\textbf{V}^T_B \textbf{I}^* = \sum_k v_{bk} i_k^* = 0 $$LC网络的极点与零点
考虑一个仅由LC元件组成的无损耗网络：
由能量守恒，有：
$$ \begin{aligned} |I_{1}(s)|^2 Z(s) &= \sum_{\text{All L and C}} v_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k i_k(s) i_k^*(s) + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} i_k(s) i_k^*(s) \\ &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s C_k} |I_k(s)|^2 \end{aligned} $$令 $I_1(s) = 1$，则
$$ \begin{aligned} Z(s) &= \sum_{\text{All L}} s L_k |I_k(s)|^2 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{sC_k} |I_k(s)|^2 \\ &= \sum_{\text{All L}} s P_1 + \sum_{\text{All C}} \frac{1}{s} P_2 \end{aligned} $$其中 $C$, $L$, $|I|^2$ 均为正实数，因此 $P_1, P_2 > 0$。
由此可得两点结论：
- 若频率变量 $s$ 为实数，则 $Z(s)$ 也为实数。
- 若 $s$ 有正实部，则 $Z(s)$ 的实部也为正。
我们将满足此性质的函数称为正实函数（Positive Real Function）。即对于仅含L和C的网络，有：
$$ \Re{[Z(s)]} \begin{cases} > 0 \text{ if } \Re[s] > 0 \\ = 0 \text{ if } \Re[s] = 0 \\ < 0 \text{ if } \Re[s] < 0 \end{cases} $$复变函数的极点行为观察
观察复变函数在极点附近的行为。以 $\frac{1}{s - p_1}$ 为例，在极点 $p_1$ 左侧，函数实部为负；在右侧，实部为正。
若引入带有相位的留数（Residue），则分界线会随留数相位旋转。例如，绘制 $\frac{\angle 45^{\circ}}{s}$ 的实部分布：
若极点为重复极点，如 $\frac{1}{s^2}$，其实部分布如下：
而我们期望的函数实部行为应如下图所示：
因此，为使函数实部符合预期，需满足以下条件：
- 无左半平面极点，否则分界线将不在虚轴。
- 无右半平面极点，同理。
- 虚轴上的极点必须为简单极点（重数为1），否则分界线将非对称分割复平面。
- 留数必须为正实数，否则分界线将发生旋转。
此外，实系数函数的极点必以共轭对出现。上述讨论对导纳同样适用，因此零点也满足类似约束。
下一节将进一步探讨LC网络在虚轴上的零极点分布。